Векторын орон зайд дотоод үржвэр тодорхойлогдсон үед дотоод үржвэрийг ашиглан норм тодорхойлж 'векторын урт' ойлголтыг ашиглаж болно. Гэхдээ дотоод үржвэрийн орон зай нь 'векторын урт'-ын гадна векторын перпендикуляр байдал гэсэн ойлголтыг нэмэлтээр ашиглаж болох ба энэ ойлголтоос баялаг шинж чанаруудыг гаргаж авч болно.
\(X\) нь бодит дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(x,\) \(y\) нь тэг биш вектор бол Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус байдлаас дараах нь биелнэ. \[-1 \leq \frac{\langle x,\,y \rangle}{\|x\|\|y\|} \leq 1 .\] Энэ томъёогоос \(x,\) \(y\) хоорондын өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. \[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\langle x,\,y \rangle}{\|x\|\|y\|}\right), \,\, 0\le \theta \le \pi .\] Комплекс дотоод үржвэрийн орон зайд нөхцөл байдал илүү төвөгтэй байна. Дотоод үржвэр \(\langle x,\,y \rangle\)-ийн утга төсөөт тоо байж болох ба 'комплекс өнцөг' гэдэг нь юуг илэрхийлдэг нь тодорхойгүй байдаг. Гэхдээ бүх өнцгийг авч үзэхгүй байсан ч бодит векторын орон зай болон комплекс векторын орон зайд нийтлэгээр \(\langle x,\,y \rangle = 0\) байх тохиолдол буюу векторууд хоорондоо перпендикуляр байх тохиолдлыг авч үзэж болно.
Тодорхойлолт 1. (Перпендикуляр вектор)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай байг. Вектор \(x,\,y \in X\) нь \(\langle x,\,y \rangle = 0\)-ийг хангах үед "\(x\) болон \(y\) перпендикуляр байна (orthogonal)" гэж илэрхийлнэ. Хоёр вектор перпендикуляр байхыг "хоёр вектор босоо" гэж илэрхийлж болно.
Хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай дахь нормчилсан перпендикуляр олонлогийн ойлголтыг шугаман алгебрт үзсэн. Энэ ойлголтыг ямар ч дотоод үржвэрийн орон зайд өргөжүүлж болно.
Тодорхойлолт 2. (Нормчилсан перпендикуляр олонлог)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд олонлог \(E = \{e_1,\,\ldots,\,e_k\} \subset X\) нь \(X\)-ийн дэд олонлог байг. Хэрэв энэ олонлог хоёр нөхцлийг хоёуланг хангавал \(E\)-ийг нормчилсан перпендикуляр олонлог (orthonormal set) гэж нэрлэнэ.
- Бүх \(1 \leq n \leq k\)-ийн хувьд \(\|e_n\| = 1\) болно.
- \(1 \leq m \leq k ,\) \(1 \leq n \leq k, \) \(m \neq n\) байх ямар ч \(m,\) \(n\)-ийн хувьд \(\langle e_m,\,e_n \rangle = 0\) болно.
Хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зайд үзсэн нормчилсан перпендикуляр олонлогийн шинж чанарыг дурсахын тулд дараах теоремөөр танилцуулна.
Туслах лемм 3. (Нормчилсан перпендикуляр олонлогийн шинж чанар)
\(X\) нь дотоод үржвэрийн орон зай байг.
- \(E = \{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь \(X\) дэх нормчилсан перпендикуляр олонлог бол \(E\) нь шугаман бие даасан байна. Ялангуяа \(X\) нь \(k\) хэмжээтэй бол олонлог \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь \(X\)-ийн суурь болж ямар ч вектор \(x \in X\)-ийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно. \[x = \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n . \tag{*}\] Энэ тохиолдолд \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)-ийг нормчилсан перпендикуляр суурь (orthonormal basis) гэж нэрлэж скаляр \(\langle x,\,e_n \rangle\)-ийг энэ сууринд харгалзах \(x\)-ийн бүрэлдэхүүн гэж нэрлэнэ.
- \(\{v_1,\,\ldots,\,v_k\}\) нь дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-ийн шугаман бие даасан дэд олонлог бөгөөд \(S = \operatorname{span}\{v_1,\,\ldots,\,v_k\}\) байг. Тэгвэл \(S\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) байна.
Батламж
- \(\alpha_n \in \mathbb{F}\), \(n = 1,\,\ldots,\,k\) байх \(\alpha_n\)-ийн хувьд
\[\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n = 0\]
гэж үзье. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг \(e_m\)-тэй дотоод үржвэрлэж нормчилсан перпендикуляр шинж чанарыг ашиглахад
\[0 = \left\langle\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n,\,e_m\right\rangle = \alpha_m\]
болно. Энэ тэгшитгэл \(m = 1,\,\ldots,\,k\)-ийн хувьд биелнэ. Тиймээс олонлог \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь шугаман бие даасан байна.
Дараа нь \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь суурь гэж үзье. Тэгвэл \(\lambda_n \in \mathbb{F}\), \(n = 1,\,\ldots,\,k\) байх \(\lambda_n\) байж \[x = \sum_{n=1}^k \lambda_n e_n\] хангана. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг \(e_m\)-тэй дотоод үржвэрлэж нормчилсан перпендикуляр шинж чанарыг ашиглахад \[\langle x,\,e_m \rangle = \left\langle\sum_{n=1}^k \lambda_n e_n,\,e_m\right\rangle = \sum_{n=1}^k \lambda_n \langle e_n,\,e_m \rangle = \lambda_m\] болж энэ тэгшитгэл \(m = 1,\,\ldots,\,k\)-ийн хувьд биелнэ. - \(k\)-д дээрх математик индукцээр батална.
\(k = 1\) үед \(v_1 \neq 0\) тул \(v_1 \neq 0\) болно. Энэ үед \[e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}\] гэж тавивал \(\{e_1\}\) нь нормчилсан перпендикуляр сууриийн эхний элемент болно.
Одоо ямар ч бүхэл тоо \(k \geq 1\)-ийн хувьд үр дүн биелдэг гэж үзье. \(\{v_1,\,\ldots,\,v_{k+1}\}\) нь шугаман бие даасан олонлог бөгөөд \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь \(\operatorname{span}\{v_1,\,\ldots,\,v_k\}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь гэж үзье. \(\{v_1,\,\ldots,\,v_{k+1}\}\) шугаман бие даасан тул \(v_{k+1} \notin \operatorname{span}\{v_1,\,\ldots,\,v_k\}\) бөгөөд \(v_{k+1} \notin \operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) болно. \[b_{k+1} = v_{k+1} - \sum_{n=1}^k \langle v_{k+1},\,e_n \rangle e_n\] гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(b_{k+1} \in \operatorname{span}\{v_1,\,\ldots,\,v_{k+1}\}\) бөгөөд \(b_{k+1} \neq 0\) болно. (Тэгэхгүй бол \(v_{k+1} \in \operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) болох тул.) Мөн \(m = 1,\,\ldots,\,k\) бүрийн хувьд \[\begin{aligned} \langle b_{k+1},\,e_m \rangle &= \langle v_{k+1},\,e_m \rangle - \sum_{n=1}^k \langle v_{k+1},\,e_n \rangle\langle e_n,\,e_m \rangle \\ &= \langle v_{k+1},\,e_m \rangle - \langle v_{k+1},\,e_m \rangle = 0 \end{aligned}\] болно. (Олонлог \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр шинж чанараас тэгшитгэл биелнэ.) Тиймээс \(b_{k+1}\) нь \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)-ийн бүх векторт перпендикуляр байна. \[e_{k+1} = \frac{b_{k+1}}{\|b_{k+1}\|}\] гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(\{e_1,\,\ldots,\,e_{k+1}\}\) нь нормчилсан перпендикуляр олонлог болж \[\operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_{k+1}\} \subset \operatorname{span}\{v_1,\,\ldots,\,v_{k+1}\}\] болно. Гэхдээ эдгээр дэд орон зайнууд бүгд \((k+1)\) хэмжээтэй тул тэнцүү байх ёстой.
Тиймээс математик индукцийн аргаар ийм процессоор бүтээсэн вектор \(e_n , \) \(n = 1,\,2,\,\ldots ,\, k\) нь \(X\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь үүсгэнэ.
Дээрх теоремын (b) хэсэгт сууриыг индуктив байдлаар бүтээх явцад дараах томъёог ашигладаг. \[\begin{aligned} b_{k+1} &= v_{k+1} - \sum_{n=1}^k \langle v_{k+1},\,e_n \rangle e_n, \\ e_{k+1} &= \frac{b_{k+1}}{\|b_{k+1}\|} . \end{aligned}\] Энэ аргыг Грам-Шмидтийн алгоритм гэж нэрлэнэ.
Хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зайд нормчилсан перпендикуляр суурь ашиглавал векторын бүрэлдэхүүнийг ашиглан векторын нормыг хялбараар тооцоолж болно. Дараах теорем нь Пифагорын теоремын ерөнхийлөл юм.
Теорем 4. (Ерөнхийлсөн Пифагорын теорем)
\(X\)-ийг \(k\) хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)-ийг \(X\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь байг. Тэгвэл ямар ч скаляр \(\alpha_n \in \mathbb{F}\), \(n = 1,\,\ldots,\,k\)-ийн хувьд дараах нь биелнэ. \[\left\|\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 = \sum_{n=1}^k |\alpha_n|^2.\]
Батламж
Нормчилсан перпендикуляр шинж чанар болон дотоод үржвэрийн шинж чанарыг ашиглахад дараах тэгшитгэлийг олно. \[\begin{aligned} \left\|\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 &= \left\langle\sum_{m=1}^k \alpha_m e_m,\,\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right\rangle \\ &= \sum_{m=1}^k\sum_{n=1}^k \alpha_m\overline{\alpha_n}\langle e_m,\,e_n \rangle \\ &= \sum_{n=1}^k \alpha_n\overline{\alpha_n} = \sum_{n=1}^k |\alpha_n|^2. \end{aligned}\]
Нормын орон зайтай холбоотой онолыг хэлэлцэхэд бүрэн байдал маш чухал үүрэг гүйцэтгэж байсантай адилаар дотоод үржвэрийн орон зайд ч бүрэн байдал маш чухал үүрэг гүйцэтгэнэ. Бүрэн нормын орон зайг Банахын орон зай гэж нэрлэдэгтэй адилаар бүрэн дотоод үржвэрийн орон зайд ч нэр байдаг.
Тодорхойлолт 5. (Хилбертийн орон зай)
Дотоод үржвэрээс үүдэн гарсан норм болон холбоотой зайн хувьд бүрэн байх дотоод үржвэрийн орон зайг Хилбертийн орон зай (Hilbert space) гэж нэрлэнэ.
Өмнөх нийтлэлд үзсэн үр дүнгээс дараах Хилбертийн орон зайн жишээг олно.
Жишээ 6. (Ихэвчлэн хэрэглэх Хилбертийн орон зайн жишээ)
- Хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай бүгд Хилбертийн орон зай юм. (Хязгааргүй хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай бүрэн биш байж болно.)
- Стандарт дотоод үржвэр бүхий орон зай \(L^2(X)\) нь Хилбертийн орон зай юм.
- Стандарт дотоод үржвэр бүхий орон зай \(\ell^2\) нь Хилбертийн орон зай юм.
Банахын орон зайн дэд векторын орон зай бүрэн байх шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь тэр дэд орон зай хаалттай олонлог байх явдлыг үзсэн. Хилбертийн орон зайд ч ижил төстэй үр дүн биелдэг.
Туслах лемм 7. (Хилбертийн орон зайн хаалттай дэд орон зай)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай бөгөөд \(Y \subset \mathcal{H}\) нь дэд векторын орон зай байг. Энэ үед \(Y\) нь Хилбертийн орон зай болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(Y\) нь \(\mathcal{H}\)-д хаалттай байх явдал юм.
Батламж
Хилбертийн орон зайн тодорхойлолтоор \(Y\) нь зөвхөн бүрэн байх үедээ л Хилбертийн орон зай болно. Гэхдээ бүрэн зайны орон зайн дэд олонлог нь зөвхөн хаалттай байх үедээ л бүрэн байдаг. Энэ баримтаас теоремын үр дүнг олно.