Lecture Notes

“Функцийн анализийн амталгаа” нь миний функцийн анализийг сурах явцдаа эмхэтгэсэн нийтлэл юм. Бакалаврын түвшинд үзэж болохуйц агуулгыг хамарсан байна. Энгийн ойлголтын хураангуй биш харин гол агуулгыг системтэй байдлаар эмхэтгэхийг хичээсэн бөгөөд шугаман алгебрын мэдлэгийг үндэслэн ойлгомжтой байдлаар ойлгоход чиглэсэн байдлаар бичсэн. Нийт 29 нийтлэлээс бүрдэх бөгөөд голчлон шугаман алгебрт авч …

Энэ нийтлэлд комплекс Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон өөртөө хослол компакт операторын спектрийг авч үзье. Өөртөө хослол компакт операторын хувьд ерөнхий компакт операторуудаас илүү спектртэй холбоотой илүү сайн дүгнэлт гаргаж болно. Учир нь өөртөө хослол гэсэн нөхцөл нэмэгдэх үед тэр операторт хамаарах инвариант орон зайг авч үзэж болдог. Тодорхойлолт 1. (Инвариант …

Хязгаарлагдмал хэмжээст Гильбертын орон зайд шугаман оператор \(T\)-ийн спектр \(\sigma (T)\) нь давталт нь хязгаарлагдмал байх хязгаарлагдмал тооны өөрийн утгуудаас бүрдэнэ. Хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон шугаман операторын спектр нь маш өөр хэлбэртэй байж болно. Гэхдээ компакт операторын спектр нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугаман операторын спектртэй …

Компакт оператор нь хязгаарлагдмал хэмжээст шугаман алгебрт судалж үзсэн шугаман хувиргалтын олон шинж чанарыг хязгаарлагдмал бус хэмжээст орон зайд хадгалж байдаг хэрэгтэй оператор юм. Энэ нийтлэлд компакт операторын ойлголт болон түүний шинж чанарыг авч үзнэ. Тусгайлан дурдахгүй бол энэ нийтлэлд векторын орон зай нь комплекс биет дээр тодорхойлогдсон гэж үзнэ. …

\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(S \in B(\mathcal{H})\) нь өөртөө хослол оператор бол дараах хоёр нөхцөл нь хоорондоо шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байна. \(\sigma(S) \subseteq [0, \,\infty)\) Бүх \(x \in \mathcal{H}\)-д \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\) байна. Ийм нөхцлийг хангадаг оператор нь хэрэгтэй шинж чанартай байдаг. Энэ нийтлэлд дээрх …

Дөрвөлжин матриц \(A\) өгөгдсөн үед энэ матрицын өөрийн утгатай холбоотой авч үзэх ёстой чухал олонлог нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно. \[\mathcal{A} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, A – \lambda I \text{ нь урвуу биш.}\}\] Бодит байдал дээр олонлог \(\mathcal{A}\) нь матриц \(A\)-ийн өөрийн утгуудын олонлог юм. Хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зайг …

Хэрмит оператор нь олон төрлийн операторын шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог үзэл баримтлал юм. Ялангуяа хэрмит операторыг ашиглан хэвийн оператор, өөрийн хэрмит оператор, унитар операторыг тодорхойлж болно. Эдгээр операторууд нь шугаман алгебр болон функц анализд байнга гарч ирдэг. Эхлээд хэвийн операторыг харъя. Тодорхойлолт 1. (Хэвийн оператор ба хэвийн матриц) \(\mathcal{H}\) …

Гильберт орон зайд тодорхойлсон операторын орон зайд тодорхой бүтэц өгснөөр операторын урвуу байдлын тодорхойлолттой холбоотой хэрэгтэй үр дүнг олж болно. Энэ нь яг “хэрмит оператор” юм. Энэ нийтлэлд хэрмит операторын үзэл баримтлалыг авч үзээд хэрмит операторыг олох хэдэн жишээг харна. Дараа нь хэрмит операторын шинж чанарыг авч үзээд ийм шинж …

\(\mathbb{R}\) эсвэл \(\mathbb{C}\) дээр тодорхойлсон хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зайн дэд олонлог компакт байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь хязгаарлагдмал бөгөөд хаалттай олонлог байх явдал юм. Гэвч хязгааргүй хэмжээст орон зайд ийм зайлшгүй хангалттай нөхцөл биелдэггүй. Энэ нийтлэлд хүртэл ашигласан конвергенцээс сул конвергенцийн тодорхойлолтыг оруулж, ийм тодорхойлолтыг үндэслэн олонлог компакт байхын …

Гильберт орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд вектор орон зай \(Y\) өгөгдсөн үед \(Y\)-ийн ортогонал комплемент орон зай \(Y^{\perp}\)-г тодорхойлж болно. Мөн \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(x = y + z\) болох \(y \in Y\) ба \(z \in Y^{\perp}\) тус тус өвөрмөцөөр оршин байна. Ийм задралын хэлбэр нь комплемент орон …

\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлсон вектор орон зай байх үед, \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн шугаман хувиргалтуудын цуглуулга нь вектор орон зай болно. Ялангуяа \(X\) нь норм орон зай байх үед \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн тасралтгүй шугаман функционалуудын цуглуулгыг \(X\)-ийн хослол орон зай гэж нэрлэж \(X’\)-ээр тэмдэглэнэ. \(X’\) нь оператор нормоор …

Өмнөх нийтлэлд нотолгоогүйгээр Хан-Банахын теоремийг танилцуулсан. Мөн тусгай тохиолдол болгон норм векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийн нотолгоог танилцуулсан. Энэ нийтлэлд ерөнхий тохиолдлын Хан-Банахын теоремын нотолгоог танилцуулна. Тодорхойлолт 1. (Хэсэгчилсэн эрэмбэ ба бүрэн эрэмбэ) \(\mathcal{M}\) нь хоосон биш олонлог ба \(\prec\) нь \(M\) дэх эрэмбийн харилцаа гэж үзье. Хэрэв \(\prec\) …