Дотоод үржвэрийн орон зайд хоёр векторын перпендикуляр байдлыг тодорхойлж болно. Энэ ойлголтыг өргөжүүлэн өгөгдсөн векторт перпендикуляр байх векторын олонлогийг бодож болох эсвэл векторын олонлог өгөгдсөн үед тэр олонлогийн бүх векторт перпендикуляр байх векторын олонлогийг бодож болно.
Тодорхойлолт 1. (Олонлогийн перпендикулярын комплемент орон зай)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(A\)-г \(X\)-ийн дэд олонлог байг. \(A\)-ийн перпендикулярын комплемент орон зай \(A^\perp\) нь дараах олонлог юм.
\[A^{\perp} = \{x \in X \,\vert\, \langle x,\,a \rangle = 0 \text{ for all } a \in A\}.\]
Тиймээс олонлог \(A^{\perp}\) нь \(A\)-ийн бүх векторт перпендикуляр байх \(X\)-ийн векторуудаас бүрдэж байна. Ялангуяа \(A = \varnothing\) бол \(A^{\perp} = X\) болно. Энд \(A^{\perp}\) нь \(A\)-ийн комплемент \(A^C\)-тэй өөр олонлог болохыг анхаарах хэрэгтэй.
\(x\in A^\perp\) болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь "бүх \(a\in A\)-ийн хувьд \(\langle x,\,a \rangle = 0\)" байх тул \(A^\perp\)-ийг бүтээхэд ийм перпендикуляр нөхцлийг ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ 2. (Перпендикулярын комплемент орон зайн бүтээх)
\(X = \mathbb{R}^3\) бөгөөд \(A = \{(a_1,\,a_2,\,0) \,\vert\, a_1,\,a_2 \in \mathbb{R}\}\) бол \(A^{\perp} = \{(0,\,0,\,x_3) \,\vert\, x_3 \in \mathbb{R}\}\) болно.
Шийдвэр
Перпендикулярын комплемент орон зайн тодорхойлолтоор өгөгдсөн вектор \(x = (x_1,\,x_2,\,x_3)\) нь \(A^{\perp}\)-т харьяалагдах шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь ямар ч \(a = (a_1,\,a_2,\,0)\)-ийн хувьд \[\langle x,\,a \rangle = x_1a_1 + x_2a_2 = 0\] байх явдал юм. \(a_1 = x_1\), \(a_2 = x_2\) гэж орлуулбал \(x \in A^{\perp}\) болохын тулд \(x_1 = x_2 = 0\) байх ёстойг мэдэж болно. Мөн \(x_1 = x_2 = 0\) бол \(x \in A^{\perp}\) болохыг мэдэж болно.
Дээрх жишээ энгийн боловч перпендикулярын комплемент орон зайн ойлголтыг ойлгоход хэрэгтэй. Дээрх жишээг ерөнхийлж дараах жишээг олно.
Жишээ 3. (Хязгаартай хэмжээтэй орон зай дахь перпендикулярын комплемент орон зайн бүтээх)
\(X\)-ийг \(k\)-хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\)-ийг \(X\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь байг. Хэрэв \(A = \operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_p\}\) бөгөөд \(1 \leq p < k\) бол \(A^{\perp} = \operatorname{span}\{e_{p+1},\,\ldots,\,e_k\}\) болно.
Дээрх жишээний үр дүнг ашиглахад хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зайн дэд олонлог \(A\)-ийн перпендикулярын комплемент орон зай \(A^{\perp}\)-ийг хялбараар олж болно. Одоо ерөнхий дотоод үржвэрийн орон зайд шилжиж перпендикулярын комплемент орон зайн гол шинж чанаруудыг үзье.
Теорем 4. (Перпендикулярын комплемент орон зайн шинж чанар)
\(X\) нь дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(A \subset X\) байг. Тэгвэл дараах нь биелнэ.
- \(0 \in A^{\perp}\).
- Хэрэв \(0 \in A\) бол \(A \cap A^{\perp} = \{0\}\) болно. Хэрэв \(0 \notin A\) бол \(A \cap A^{\perp} = \varnothing\) болно.
- \(\{0\}^{\perp} = X\) бөгөөд \(X^{\perp} = \{0\}\) болно.
- Хэрэв тохирох \(a \in X\) болон эерэг бодит тоо \(r > 0\)-ийн хувьд \(A\) нь нээлттэй бөмбөрцөг \(B(a,\,r)\)-ийг агуулбал \(A^{\perp} = \{0\}\) болно. Ялангуяа \(A\) нь хоосон биш нээлттэй олонлог бол \(A^{\perp} = \{0\}\) болно.
- Хэрэв \(B \subset A\) бол \(A^{\perp} \subset B^{\perp}\) болно.
- \(A^{\perp}\) нь \(X\)-ийн хаалттай дэд орон зай юм.
- \(A \subset (A^{\perp})^{\perp} .\)
Батламж
- Бүх \(a \in A\)-ийн хувьд \(\langle 0,\,a \rangle = 0\) тул \(0 \in A^{\perp}\) болно.
- \(x \in A \cap A^{\perp}\) гэж үзье. Тэгвэл \(\langle x,\,x \rangle = 0\) болохоор \(x = 0\) болно.
- \(A = \{0\}\) гэж үзье. Тэгвэл ямар ч \(x \in X\) болон ямар ч \(a \in A\)-ийн хувьд \(\langle x,\,a \rangle = \langle x,\,0 \rangle = 0\) болохоор \(x \in A^{\perp}\) болж \(A^{\perp} = X\) болно.
\(A = X\) бөгөөд \(x \in A^{\perp}\) бол ямар ч \(a \in X\)-ийн хувьд \(\langle x,\,a \rangle = 0\) болно. Ялангуяа \(a = x\) гэж тавибал \(\langle x,\,x \rangle = 0\) болохоор \(x = 0\) болно. Тиймээс \(A^{\perp} = \{0\}\) болно. - \(x \in A^{\perp}\) нь тэг вектор биш гэж үзээд \(y = \|x\|^{-1}x \neq 0\) гэж тавъя. \(a \in A\) бол тодорхойлолтоор \(\langle y,\,a \rangle = 0\) болно. Мөн \(a + \frac{1}{2}ry \in A\) тул \[0 = \left\langle y,\,a + \frac{1}{2}ry \right\rangle = \langle y,\,a \rangle + \frac{1}{2}r\langle y,\,y \rangle\] болно. Энэ нь \(\langle y,\,y \rangle = 0\)-ийг илэрхийлэх тул \(y = 0\) болно. Энэ нь зөрчилдөөн тул \(A^{\perp}\)-т тэг биш элемент байхгүй.
- \(x \in A^{\perp}\) бөгөөд \(b \in B\) гэж үзье. \(B \subset A\) тул \(b \in A\) болж \(\langle x,\,b \rangle = 0\) болно. Энэ нь ямар ч \(b \in B\)-ийн хувьд биелэх тул \(x \in B^{\perp}\) болно. Тиймээс \(A^{\perp} \subset B^{\perp}\) болно.
- \(y,\,z \in A^{\perp}\), \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\), \(a \in A\) гэж үзье. Тэгвэл \[\langle \alpha y + \beta z,\,a \rangle = \alpha\langle y,\,a \rangle + \beta\langle z,\,a \rangle = 0\] болохоор \(\alpha y + \beta z \in A^{\perp}\) болж \(A^{\perp}\) нь дэд векторын орон зай болно. Дараа нь \(\{x_n\}\)-ийг \(A^{\perp}\)-с \(X\)-ийн элемент \(x\) рүү нийлэх дараалал байг. Ямар ч \(a \in A\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} 0 &= \lim_{n \to \infty}\langle x - x_n,\,a \rangle \\[6pt] &= \langle x,\,a \rangle - \lim_{n \to \infty}\langle x_n,\,a \rangle \\[6pt] &= \langle x,\,a \rangle - \lim_{n \to \infty} 0 = \langle x,\,a \rangle \end{aligned}\] болно. Тиймээс \(x \in A^{\perp}\) болж \(A^{\perp}\) нь хаалттай олонлог болно.
- \(a \in A\) гэж үзье. Тэгвэл бүх \(x \in A^{\perp}\)-ийн хувьд \(\langle a,\,x \rangle = \overline{\langle x,\,a \rangle} = 0\) болохоор \(a \in (A^{\perp})^{\perp}\) болно. Тиймээс \(A \subset (A^{\perp})^{\perp}\) болно.
Дээрх теоремын (e)-ээс олонлог \(A\) томрох тусам \(A\)-ийн перпендикулярын комплемент орон зай жижигрэх болохыг харж болно. Энэ нь (c)-ийн үр дүнтэй нийцэж байна.
Одоо дэд векторын орон зайн перпендикулярын комплемент орон зайг олоход хэрэгтэй шинж чанарыг танилцуулна.
Теорем 5. (Дэд векторын орон зайн перпендикулярын комплемент орон зай)
\(Y\)-г дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-ийн дэд векторын орон зай байг. Тэгвэл \(x\in Y^\perp\) болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь ямар ч \(y\in Y\)-ийн хувьд \(\lVert x-y \rVert \ge \lVert x \rVert\) байх явдал юм.
Батламж
(⇒) Ямар ч \(x \in X\), \(y \in Y\), \(\alpha \in \mathbb{F}\)-ийн хувьд дараах нь биелнэ \[\|x - \alpha y\|^2 = \langle x - \alpha y,\,x - \alpha y \rangle = \|x\|^2 - \overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle - \alpha\langle y,\,x \rangle + |\alpha|^2\|y\|^2 .\tag{1}\] \(x \in Y^{\perp}\) бөгөөд \(y \in Y\) гэж үзье. Тэгвэл \(\langle x,\,y \rangle = \langle y,\,x \rangle = 0\) болохоор (1)-д \(\alpha = 1\) орлуулбал дараах үр дүнг олно. \[\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \geq \|x\|^2.\] (⇐) Одоо бүх \(y \in Y\)-ийн хувьд \(\|x - y\|^2 \geq \|x\|^2\) гэж үзье. \(Y\) нь дэд векторын орон зай тул ямар ч \(y \in Y\) болон \(\alpha \in \mathbb{F}\)-ийн хувьд \(\alpha y \in Y\) болно. Тиймээс (1)-ээс \[0 \leq -\overline{\alpha}\langle y,\,x \rangle - \alpha\langle y,\,x \rangle + |\alpha|^2\|y\|^2\] болно. Хэрэв \(\langle y,\,x \rangle \neq 0\) бол \[\beta = \frac{|\langle x,\,y \rangle|}{\langle y,\,x \rangle}\] гэж тавиад \(\alpha = t\beta ,\) \(t \in \mathbb{R} ,\) \(t > 0\) гэж үзье. Тэгвэл \[-t|\langle x,\,y \rangle| - t|\langle x,\,y \rangle| + t^2\|y\|^2 \geq 0\] болохоор \[|\langle x,\,y \rangle| \leq \frac{1}{2}t\|y\|^2\] болно. Энэ тэнцэтгэл бус байдал бүх \(t > 0\)-ийн хувьд биелнэ. Тиймээс \[|\langle x,\,y \rangle| \leq \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2}t\|y\|^2 = 0\] болохоор \(|\langle x,\,y \rangle| = 0\) болж \(x \in Y^{\perp}\) болно.
Дээрх үр дүн дараа танилцуулах гүдгэр олонлогийн ойлголттой хослуулан Хилбертийн орон зайд \(A\) болон \(A^{\perp}\)-ийн талаар баялаг мэдээлэл өгнө. Эхлээд гүдгэр олонлогийн тодорхойлолтыг нэвтрүүлнэ.
Тодорхойлолт 6. (Гүдгэр олонлог)
\(A\) нь векторын орон зай \(X\)-ийн дэд олонлог байг. Хэрэв ямар ч \(x,\,y \in A\) болон ямар ч \(\lambda \in [0,\,1]\)-ийн хувьд \(\lambda x + (1 - \lambda)y \in A\) бол "\(A\) нь гүдгэр байна (convex)" гэж хэлнэ.
Геометрийн хувьнаас тайлбарлахад \(A\) гүдгэр байна гэдэг нь \(A\) дахь ямар ч хоёр цэг \(x,\,y\)-ийн хувьд \(x\) болон \(y\)-г холбосон шугамын хэсэг нь \(A\)-д байна гэсэн үг юм. Ялангуяа бүх дэд векторын орон зай нь гүдгэр олонлог юм.
Теорем 7. (Хаалттай гүдгэр олонлог дахь хамгийн ойр цэг)
\(A\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн гүдгэр дэд олонлог бөгөөд хоосон биш байг. Мөн \(p \in \mathcal{H}\) байг. Тэгвэл дараахыг хангах \(q \in A\) цор ганц байна. \[\|p - q\| = \inf\{\|p - a\| \,\vert\, a \in A\}.\]
Батламж
\(\gamma = \inf\{\|p - a\| \,\vert\, a \in A\}\) гэж тавъя. Баруун талын олонлог хоосон биш бөгөөд доошоо хязгаартай тул \(\gamma\) сайн тодорхойлогдоно.
Эхлээд \(q\)-ийн оршихыг батлая. \(\gamma\)-ийн тодорхойлолтоор \(n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд дараахыг хангах \(q_n \in A\) байна.
\[\gamma^2 \leq \|p - q_n\|^2 < \gamma^2 + \frac{1}{n} .\tag{2}\]
Дараалал \(\{q_n\}\) нь Кошийн дараалал болохыг харуулъя. \(p - q_n\) болон \(p - q_m\)-д зэргэлдээ дөрвөлжний хуулийг хэрэглэхэд дараахыг олно.
\[\begin{aligned}
\|(p - q_n) + (p - q_m)\|^2 & + \|(p - q_n) - (p - q_m)\|^2 \\[6pt]&= 2\|p - q_n\|^2 + 2\|p - q_m\|^2 .
\end{aligned}\]
Тиймээс
\[\|2p - (q_n + q_m)\|^2 + \|q_n - q_m\|^2 < 4\gamma^2 + 2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)\]
болно.
\(q_m,\,q_n \in A\) бөгөөд \(A\) гүдгэр тул \(\frac{1}{2}(q_m + q_n) \in A\) болж
\[\|2p - (q_n + q_m)\|^2 = 4\|p - \frac{1}{2}(q_m + q_n)\|^2 \geq 4\gamma^2\]
болно. Тиймээс
\[\|q_n - q_m\|^2 < 4\gamma^2 + 2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) - 4\gamma^2 = 2 \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right).\]
Тиймээс дараалал \(\{q_n\}\) нь Кошийн дараалал болно. \(\mathcal{H}\) нь бүрэн зайны орон зай тул \(\left\{ q_n \right\}\) нь ямар нэг цэг \(q \in \mathcal{H}\) рүү нийлэх ёстой. \(A\) хаалттай тул \(q \in A\) болно. Мөн (2)-оос
\[\gamma^2 \leq \lim_{n \to \infty} \|p - q_n\|^2 = \|p - q\|^2 \leq \lim_{n \to \infty}(\gamma^2 + n^{-1}) = \gamma^2\]
болно. Тиймээс \(\|p - q\| = \gamma\) болно. Ингээд \(q\) байгааг харуулсан.
Одоо \(q\)-ийн цор ганц байдлыг батлая. \(w \in A\) бөгөөд \(\|p - w\| = \gamma\) гэж үзье. \(A\) гүдгэр тул \[\frac{1}{2}(q + w) \in A\] болж \[\|p - \frac{1}{2}(q + w)\| \geq \gamma\] болно. \(p - w\) болон \(p - q\)-д зэргэлдээ дөрвөлжний хуулийг хэрэглэхэд \[\begin{aligned} \|(p - w) + (p - q)\|^2 &+ \|(p - w) - (p - q)\|^2 \\[6pt] &= 2\|p - w\|^2 + 2\|p - q\|^2 \end{aligned}\] болно. Тиймээс \[\|q - w\|^2 = 2\gamma^2 + 2\gamma^2 - 4\|p - \frac{1}{2}(q + w)\|^2 \leq 4\gamma^2 - 4\gamma^2 = 0\] болно. Тиймээс \(w = q\) болно.
Дээрх теорем нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай гүдгэр дэд олонлог \(A\) хоосон биш байх үед \(\mathcal{H}\)-ийн цэг \(p\)-ээс \(A\) рүүх хамгийн ойр цэг цор ганц байдаг болохыг харуулна. Хязгаартай хэмжээтэй орон зайд олонлог \(A\) гүдгэр биш байсан ч ижил аргаар цэг \(q\)-ийн оршихыг батлаж болно. (Хязгаартай хаалттай олонлогийн компакт шинж чанарыг ашиглан шаардлагатай дарааллыг олж болно.) Гэхдээ энэ тохиолдолд цэг \(q\) цор ганц биш байж болно. (Жишээлбэл \(A\)-г хавтгайн тойрог гэж үзээд \(p\)-ийг түүний төв гэвэл \(q\) нь \(A\) дээрх ямар ч цэг байж болно.) Хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд хязгаартай хаалттай олонлог компакт биш байж болох тул оршихыг батлах нь илүү төвөгтэй болж ялангуяа \(A\) гүдгэр биш бол \(q\) байхгүй байж болно.
Теорем 8. (Хилбертийн орон зай дахь перпендикуляр задаргаа)
\(Y\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай бөгөөд \(x \in \mathcal{H}\) байг. Тэгвэл \(x = y + z\)-ийг хангах \(y \in Y\) болон \(z \in Y^{\perp}\) тус тус цор ганц байна. Мөн \(\|x\|^2 = \|y\|^2 + \|z\|^2\) болно.
Батламж
\(Y\) нь хоосон биш, хаалттай, гүдгэр олонлог тул \(y \in Y\) байж ямар ч \(u \in Y\)-ийн хувьд \[\|x - y\| \leq \|x - u\|\] хангана. \(z = x - y\) гэж тавъя. Тэгвэл \(y + u \in Y\) болохоор ямар ч \(u \in Y\)-ийн хувьд \[\|z - u\| = \|x - (y + u)\| \geq \|x - y\| = \|z\|\] болно. Тиймээс \(z \in Y^{\perp}\) болно. Ингээд \(y,\,z\)-ийн оршихыг харуулсан.
Одоо цор ганц байдлыг батлая. \(x = y_1 + z_1 = y_2 + z_2\) бөгөөд \(y_1,\,y_2 \in Y\), \(z_1,\,z_2 \in Y^{\perp}\) гэж үзье. Тэгвэл \(y_1 - y_2 = z_2 - z_1\) болно. Гэхдээ \(y_1 - y_2 \in Y\) бөгөөд \(z_2 - z_1 \in Y^{\perp}\) тул \(y_1 - y_2 \in Y \cap Y^{\perp} = \{0\}\) болно. Тиймээс \(y_1 = y_2\) болж \(z_1 = z_2\) болно.
Эцэст нь дараах нь биелнэ. \[\begin{aligned} \|x\|^2 &= \|y + z\|^2 \\[6pt] &= \langle y + z,\,y + z \rangle \\[6pt] &= \|y\|^2 + \langle y,\,z \rangle + \langle z,\,y \rangle + \|z\|^2 \\[6pt] &= \|y\|^2 + \|z\|^2 . \end{aligned}\] Энд хамгийн сүүлийн тэгшитгэл нь \(z \in Y^{\perp}\) үед \(\langle y,\,z \rangle = \langle z,\,y \rangle = 0\) болохыг ашигласан.
\(Y\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай бөгөөд \(x \in \mathcal{H}\) үед тэгшитгэл \[x = y + z\] хангах \(y \in Y ,\) \(z \in Y^{\perp}\) цор ганц байна. Дээрх тэгшитгэлийг \(Y\)-д харгалзах \(x\)-ийн перпендикуляр задаргаа (orthogonal decomposition) гэж нэрлэнэ.
Дэд орон зай \(Y\)-ийн перпендикулярын комплемент орон зай \(Y^{\perp}\)-ийг үзсэн тул \(Y^{\perp}\)-ийн перпендикулярын комплемент орон зай юу болох талаар асуудал гарч ирнэ. Энэ орон зайг \(Y^{\perp\perp} = (Y^{\perp})^{\perp}\) гэж тэмдэглэе. Жишээ 2 болон жишээ 3-ийн үр дүнгээс \[Y = \{u = (u_1,\,u_2,\,0) \,\vert\, u_1,\,u_2 \in \mathbb{R}\}\] үед \[Y^{\perp} = \{x = (0,\,0,\,x_3) \,\vert\, x_3 \in \mathbb{R}\}\] болж \(Y^{\perp\perp} = Y\) болохыг мэдэж болно. Энэ тэгшитгэл ерөнхийдөө биелдэг.
Дагалдах теорем 9. (Хаалттай дэд орон зайн давхар перпендикулярын комплемент орон зай)
\(Y\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай бол \(Y^{\perp\perp} = Y\) болно.
Батламж
Теорем 4-ийн (g)-ээс \(Y \subset Y^{\perp\perp}\) болно.
Одоо \(x \in Y^{\perp\perp}\) гэж үзье. Тэгвэл перпендикуляр задаргааны теоремээс \(x = y + z\) байх \(y \in Y\), \(z \in Y^{\perp}\) тус тус цор ганц байна. \(y \in Y\) бөгөөд \(x \in Y^{\perp\perp}\) тул \(\langle x,\,z \rangle = 0 = \langle y,\,z \rangle\) болно. Тиймээс \[0= \langle x,\,z \rangle = \langle y,\,z \rangle + \langle z,\,z \rangle = \|z\|^2 \] болно. Тиймээс \(z = 0\) болж \(x = y \in Y\) болно. Тиймээс \(Y^{\perp\perp} \subset Y\) болно.
Теорем 4-ийн (f)-ээс \(Y^{\perp\perp}\) нь хаалттай олонлог тул дээрх үр дүн хаалттай бус дэд орон зайд биелэхгүй байж болно. Гэхдээ дараах үр дүн биелдэг.
Дагалдах теорем 10. (Ерөнхий дэд орон зайн давхар перпендикулярын комплемент орон зай)
\(Y\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн дэд векторын орон зай бол \(Y^{\perp\perp} = \overline{Y}\) болно.
Батламж
\(Y \subset \overline{Y}\) тул теорем 4-ийн (e)-ээс \(\overline{Y}^{\perp} \subset Y^{\perp}\) болж \(Y^{\perp\perp} \subset \overline{Y}^{\perp\perp}\) болно. Гэхдээ \(\overline{Y}\) хаалттай тул \(\overline{Y}^{\perp\perp} = \overline{Y}\) болж \(Y^{\perp\perp} \subset \overline{Y}\) болно. Дараа нь теорем 4-ийн (g)-ээс \(Y \subset Y^{\perp\perp}\) болно. Гэхдээ \(Y^{\perp\perp}\) хаалттай тул \(\overline{Y} \subset Y^{\perp\perp}\) болно. Тиймээс \(Y^{\perp\perp} = \overline{Y}\) болно.