\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлсон вектор орон зай байх үед, \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн шугаман хувиргалтуудын цуглуулга нь вектор орон зай болно. Ялангуяа \(X\) нь норм орон зай байх үед \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн тасралтгүй шугаман функционалуудын цуглуулгыг \(X\)-ийн хослол орон зай гэж нэрлэж \(X'\)-ээр тэмдэглэнэ. \(X'\) нь оператор нормоор тодотгогдсон бөгөөд энэ үүднээс \(X'\) нь норм орон зай юм.
\(X\) нь норм орон зай байх үед \(X\)-ийн хослол орон зайн хослол орон зай \((X')'\)-г авч үзэж болно. Энэ орон зайг \(X''\)-ээр тэмдэглэнэ. Энэ нийтлэлд өөр дурдаагүй бол \(X\) нь норм вектор орон зайг илэрхийлнэ гэж тохиролцоно.
Тодорхойлолт 1. (Хоёрдахь хослол орон зай)
\(X\) нь норм вектор орон зай байх үед, \(X''\) орон зайг \(X\)-ийн хоёрдахь хослол орон зай (second dual) гэж нэрлэнэ.
Одоо \(x \in X\) бүрийн хувьд \(X''\)-ийн элементийг дараах байдлаар харгалзуулж болно.
Туслах теорем 2.
\(x \in X\) гэж үзье. Энэ үед \(F_x : X' \rightarrow \mathbb{F}\)-г \(f \in X'\) бүрийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлъё. \[F_x(f) = f(x).\] Тэгвэл \(F_x \in X''\) бөгөөд \(\lVert F_x \rVert = \lVert x \rVert\) болно.
Нотолгоо
\(\alpha,\, \beta \in \mathbb{F}\) ба \(f,\, g \in X'\) гэж үзье. \(F_x\)-ийн тодорхойлолтоор \[\begin{aligned} F_x(\alpha f + \beta g) &= \alpha f(x) + \beta g(x) \\[6pt] &= \alpha F_x(f) + \beta F_x(g) \end{aligned}\] тул \(F_x\) нь шугаман юм. Түүнчлэн \[|F_x(f)| = |f(x)| \leq \lVert f \rVert \lVert x \rVert\] тул \(F_x \in X''\) ба \(\lVert F_x \rVert \leq \lVert x \rVert\) болно. Мөн \[\lVert x \rVert = \sup_{\lVert f \rVert = 1} |f(x)| = \sup_{\lVert f \rVert = 1} |F_x(f)| = \lVert F_x \rVert\] тул \(\lVert F_x \rVert = \lVert x \rVert\) болно.
Дээрх туслах теоремийг үндэслэн дараах харгалзлыг тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт 3. (Байгалийн харгалзал)
\(X\) нь норм вектор орон зай байх үед, \(J_X : X \rightarrow X''\) функцийг \(x \in X\) бүрийн хувьд \[J_X x = F_x\] гэж тодорхойлно.
\(J_X\)-ийн тодорхойлолтоор \(x \in X\) ба \(f \in X'\) бүрийн хувьд \[(J_X x)(f) = f(x)\] гэдгийг мэдэж болно.
Туслах теорем 4. (\(J_X\) функцийн шинж чанар)
\(J_X : X \rightarrow X''\) функц нь шугаман бөгөөд зайлшгүй зураглал юм. Өөрөөр хэлбэл дараах зүйлс биелнэ.
- \(X\) нь \(X''\)-ийн дэд олонлогтой зайлшгүй изоморф юм.
- \(X\) нь Банах орон зайн нягт дэд олонлогтой зайлшгүй изоморф юм.
Нотолгоо
Туслах теорем 2-оор \(J\) нь шугаман бөгөөд зайлшгүй зураглал гэдэг үр дүнг олно. Энэ баримтаас (a)-г олно. Мөн (a) ба \(X''\) нь Банах орон зай гэдэг баримтаас (b)-г олно. Өөрөөр хэлбэл \(J_X(X)\)-ийн хаалт нь Банах орон зай юм.
\(X\) нь Банах орон зай биш норм вектор орон зай бол \(J_X(X) \neq X''\) болох ба энэ тохиолдолд \(J_X(X)\) нь Банах орон зай биш харин \(X''\) нь Банах орон зай учраас тэгэж болно. \(X\) нь Банах орон зай байсан ч \(J_X(X) \neq X''\) байж болно. Тиймээс дараах тодорхойлолтыг оруулна.
Тодорхойлолт 5. (Тусгал орон зай)
\(J_X(X) = X''\) байх үед \(X\)-г тусгал орон зай (reflexive space) гэж нэрлэнэ.
Хүртэл харсан тодорхойлолтуудыг нэгтгэвэл \(X\) нь тусгал орон зай байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(\psi \in X''\) бүрийн хувьд \(\psi = J_X x_\psi\) болох \(x_\psi \in X\) оршин байх явдал юм. Өөрөөр хэлбэл \(f \in X'\) бүрийн хувьд дараахийг хангах явдал юм. \[\psi(f) = (J_X x_\psi)(f) = f(x_\psi).\] \(X\) нь тусгал байхын тулд \(J_X\) функц нь \(X\)-с \(X''\) руу чиглэсэн зайлшгүй изоморф зураглал байх ёстой. \(X\) нь зөвхөн \(X''\)-тэй зайлшгүй изоморф байх нь хангалтгүй юм. Бодитоор \(X''\)-тэй зайлшгүй изоморф боловч тусгал биш Банах орон зай \(X\)-ийн жишээ мэдэгдэж байна.
Өмнөх тайлбараар тусгал байж болох цорын ганц норм вектор орон зай нь Банах орон зай юм. Гэвч бүх Банах орон зай тусгал биш юм. Одоо өмнөх нийтлэлд харсан хослол орон зайтай норм орон зайнууд тусгал мөн эсэхийг шалгаж үзье.
Жишээ 6. (Хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зайн тусгал шинж чанар)
\(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст норм вектор орон зай бол \(X\) нь тусгал юм.
Шийдэл
\(X\)-ийн хэмжээсийг \(n\) гэвэл \[\dim X = \dim X' = \dim X'' = n\] болно. Тиймээс \(J_X(X)\) нь \(n\) хэмжээст вектор орон зай \(X''\)-ийн \(n\) хэмжээст дэд орон зай тул \(J_X(X) = X''\) ба түүнээс болж \(X\) нь тусгал юм.
Жишээ 7. (Гильберт орон зайн тусгал шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь Гильберт орон зай бол \(\mathcal{H}\) нь тусгал юм.
Шийдэл
\(\mathcal{H}'\) нь Гильберт орон зай тул \(T_{\mathcal{H}'} : \mathcal{H}' \rightarrow \mathcal{H}''\) зөв тодорхойлогдсон бөгөөд энэ функц нь нэг нэгэнт харгалзал юм. Ялангуяа \(f \in \mathcal{H}'\) ба \(\psi \in \mathcal{H}''\) бүр өвөрмөц \(x,\, y \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \(f = T_{\mathcal{H}}x\) ба \(\psi = T_{\mathcal{H}'}(T_{\mathcal{H}}y)\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Одоо \[\begin{aligned} J_{\mathcal{H}}(y)(f) &= f(y) = \langle y,\, x\rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \langle T_{\mathcal{H}}x,\, T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} \\[6pt] &= \langle f,\, T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} \\[6pt] &= T_{\mathcal{H}'}(T_{\mathcal{H}}y)(f) = \psi(f) \end{aligned}\] тул \(\psi = J_{\mathcal{H}}(y)\) болно. Тиймээс \(J_{\mathcal{H}}\) нь дээш функц бөгөөд \(\mathcal{H}\) нь тусгал орон зай юм.
Дараах жишээ нь Гильберт орон зай биш тусгал хязгааргүй хэмжээст Банах орон зай оршин байгааг харуулна. \(\ell^p\) орон зай нь зөвхөн \(p = 2\) үед л Гильберт орон зай гэдгийг санаарай.
Жишээ 8. (\(\ell^p\)-ийн тусгал шинж чанар)
\(1 < p < \infty\) үед \(\ell^p\) нь тусгал орон зай юм.
Жишээ 9. (\(L^p\)-ийн тусгал шинж чанар)
\(1 < p < \infty\) үед \(L^p(\mathbb{R})\) орон зай ч тусгал юм.
Одоо \(\ell^1\) ба \(\ell^{\infty}\) хоёр орон зай тусгал биш болохыг харъя. Үүний өмнө тусгал байдалтай холбоотой хэдэн шинж чанарыг харъя.
Теорем 10. (\(X\) ба \(X'\)-ийн тусгал байдлын хамаарал)
Банах орон зай \(X\) нь тусгал байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(X'\) нь тусгал байх явдал юм.
Нотолгоо
\(X\) нь тусгал гэж үзье. \(\rho \in X'''\) гэж үзье. Тэгвэл \(\rho \circ J_X \in X'\) болно. Учир нь \(\rho \circ J_X\) нь хязгаарлагдмал шугаман операторуудын нийлмэл учраас тэгэж болно. \(f = \rho \circ J_X\) гэж тавиад \(\psi \in X''\) гэж үзье. \(X\) нь тусгал тул \(\psi = J_X(x)\) болох \(x \in X\) оршин байна. Түүнээс болж \[\begin{aligned} (J_{X'}(f))(\psi) &= \psi(f) = f(x) \\[6pt] &= \rho \circ J_X(x) = \rho(\psi) \end{aligned}\] болно. Өөрөөр хэлбэл \(\rho = J_{X'}(f)\) тул \(X'\) нь тусгал юм.
Эсрэг талыг нотолъё. \(X'\) нь тусгал боловч \(\omega \in X'' \setminus J(X)\) болох \(\omega\) оршин байна гэж үзье. \(J_X(X)\) нь хаалттай тул \(\omega(g) = 0\) боловч \(x \in X\) бүрийн хувьд \(\kappa(J_X x) = 0\) болох \(\kappa \in X'''\) оршин байна. \(X'\) нь тусгал тул \(\kappa = J_{X'}(g)\) болох \(g \in X'\) оршин байна. Тиймээс \[g(x) = (J_X x)(g) = \kappa(J_X x) = 0,\quad x \in X\] тул \(g = 0\) болно. \(\omega(g) = \kappa(\omega) = 0\) тул энэ нь зөрчилдөөнтэй юм. Тиймээс \(X\) нь тусгал юм.
Теорем 11. (Дэд орон зайн тусгал шинж чанар)
\(X\) нь тусгал орон зай бөгөөд \(Y\) нь \(X\)-ийн хаалттай дэд орон зай бол \(Y\) нь тусгал орон зай юм.
Нотолгоо
\(f \in X'\)-ийн хувьд \(f|_Y \in Y'\)-г \(f\)-ийн тодорхойлох мужийг \(Y\) руу хязгаарласан функц гэж үзье. \(Y'\)-ийн дурын элемент нь \(f \in X'\) болон \(f|_Y\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Тиймээс тусгал байдлын тодорхойлолтоор \(g_Y \in Y''\) бүрийн хувьд дараахийг хангах \(y_g \in Y\) оршин байгааг харуулах ёстой. \[g_Y(f|_Y) = f(y_g),\quad f \in X'. \tag{1}\] \(y_g\)-г бүтээхээр эхлээд \(g_X : X' \rightarrow \mathbb{F}\)-г \(f \in X'\) бүрийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлъё. \[g_X(f) = g_Y(f|_Y).\] Тэгвэл \(f \in X'\) бүрийн хувьд \[|g_X(f)| \leq \lVert g_Y \rVert \lVert f|_Y \rVert \leq \lVert g_Y \rVert \lVert f \rVert\] тул \(g_X \in X''\) болно. \(X\) нь тусгал тул \(f \in X'\) бүрийн хувьд дараахийг хангах \(y_g \in X\) оршин байна. \[g_X(f) = f(y_g).\] Одоо дээрх тэгшитгэлээр \(y_g \in Y\) болохыг харуулбал хангалттай.
\(y_g \notin Y\) гэж үзье. Тэгвэл \(f_g(y_g) = 1\) бөгөөд \(y \in Y\) бүрийн хувьд \(f_g(y) = 0\) болох \(f_g \in X'\) оршин байна. Өөрөөр хэлбэл \(f_g|_Y = 0\) болно. Гэвч дээрх тэгшитгэлээр \[1 = f_g(y_g) = g_X(f_g) = g_Y(f_g|_Y) = 0\] тул энэ нь зөрчилдөөнтэй юм. Өөрөөр хэлбэл \(y_g \in Y\) тул хүссэн үр дүнг олно.
Хүртэлх жишээгээр бүх Банах орон зай тусгал байх болов уу гэж таамаглаж болох ч ерөнхийдөө тийм биш юм. Гэвч Банах орон зай тусгал биш болохыг харуулах нь ихэвчлэн хэцүү байдаг. Бид \(\ell^{\infty}\) ба \(\ell^1\) нь тусгал биш болохыг харуулна. Үүнийг гүйцэтгэх хэд хэдэн арга байдаг. Тэдгээрийн нэг нь олонлогийн 'устгагч (annihilator)'-ыг ашиглах арга юм. Эдгээр нь Гильберт орон зайн дэд олонлогийн ортогонал комплементтэй төстэй юм. Гэвч ортогонал комплементоос ялгаатай нь олонлогийн устгагч нь анхны орон зайтай хослол орон зайд тодорхойлогддог. Тиймээс анхны дэд олонлог нь норм орон зайд байгаа эсвэл норм орон зайн хослолд байгаагаас хамааран хоёр өөр төрлийн устгагч байдаг.
Тодорхойлолт 12. (Устгагч)
\(X\) нь норм орон зай, \(W\) нь \(X\)-ийн хоосон биш дэд олонлог, \(Z\) нь \(X'\)-ийн хоосон биш дэд олонлог гэж үзье. \(W\) ба \(Z\)-ийн устгагч (annihilator)-ыг тус тус дараах байдлаар тодорхойлно. \[\begin{aligned} W^\circ &= \{f \in X' \,\vert\, f(x) = 0 \text{ бүх } x \in W \text{-ийн хувьд}\}, \\[6pt] ^\circ Z &= \{x \in X \,\vert\, f(x) = 0 \text{ бүх } f \in Z \text{-ийн хувьд}\}. \end{aligned}\]
Устгагчийн шинж чанаруудын зарим нь ортогонал комплементийн шинж чанартай төстэй юм.
Туслах теорем 13. (Устгагчийн шинж чанар)
\(X\) нь норм орон зай, \(W_1\) ба \(W_2\) нь \(X\)-ийн хоосон биш дэд олонлог, \(Z_1\) ба \(Z_2\) нь \(X'\)-ийн хоосон биш дэд олонлог гэж үзье. Мөн \(W_1 \subseteq W_2\) ба \(Z_1 \subseteq Z_2\) гэж үзье.
- \(W_2^\circ \subseteq W_1^\circ\) ба \(^\circ Z_2 \subseteq \,^\circ Z_1\) болно.
- \(W_1 \subseteq \,^\circ(W_1^\circ)\) ба \(Z_1 \subseteq (^\circ Z_1)^\circ\) болно.
- \(W_1^\circ\) ба \(^\circ Z_1\) нь хаалттай дэд вектор орон зай юм.
Хүртэл харсан теоремийг харгалзан \(W = \,^\circ\!(W^\circ)\) эсвэл \(Z = (^\circ Z)^\circ\) болох эсэхийг асуух нь байгалийн хэрэг юм. Устгагч нь хаалттай дэд вектор орон зай болохыг харгалзан зөвхөн хаалттай дэд орон зай л ийм тэгшитгэлийг хангаж чадна. Дараах үр дүн нь энэ асуултын хариулт нь тусгал байдалтай холбоотой болохыг харуулна.
Теорем 14.
\(X\) нь норм шугаман орон зай, \(W\) нь \(X\)-ийн хаалттай дэд вектор орон зай, \(Z\) нь \(X'\)-ийн хаалттай дэд вектор орон зай гэж үзье. Энэ үед дараах зүйлс биелнэ.
- \(W = \,^\circ(W^\circ).\)
- \(X\) нь тусгал бол \(Z = (^\circ Z)^\circ\) болно.
Нотолгоо
- Туслах теорем 13-аар \(W \subseteq \,^\circ(W^\circ)\) болно. \(p \in \,^\circ(W^\circ) \setminus W\) гэж үзье. Хан-Банах теоремоор \(w \in W\) бүрийн хувьд \(f(w) = 0\) боловч \(f(p) \neq 0\) болох \(f \in X'\) оршин байна. Тиймээс \(f \in W^\circ\) ба \(p \notin \,^\circ(W^\circ)\) болох нь зөрчилдөөнтэй юм. Тиймээс \(W = \,^\circ(W^\circ)\) болно.
- Туслах теорем 13-аар \(Z \subseteq (^\circ Z)^\circ\) болно. \(g \in (^\circ Z)^\circ \setminus Z\) гэж үзье. Тэгвэл \(f \in Z\)-ийн хувьд \(\psi(f) = 0\) боловч \(\psi(g) \neq 0\) болох \(\psi \in X''\) оршин байна. \(X\) нь тусгал тул \(\psi = J_X(q)\) болох \(q \in X\) оршин байна. Тиймээс \(f \in Z\) бүрийн хувьд \(f(q) = 0\) боловч \(g(q) \neq 0\) болно. Тиймээс \(q \in ^\circ Z\) ба \(g \notin (^\circ Z)^\circ\) болох нь зөрчилдөөнтэй юм. Тиймээс \(Z = (^\circ Z)^\circ\) болно.
Теорем 14-ийн (b)-д \(X\) нь тусгал биш тохиолдолд \(Z\) нь \((^\circ Z)^\circ\)-ийн жинхэнэ дэд олонлог байж болно. Дараах жишээг харъя.
Жишээ 15.
\(V\) ба \(Z\) олонлогуудыг тус тус \[\begin{aligned} V &= \left\{\{a_n\} \in \ell^1 \,\Bigg\vert\, \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = 0 \right\}, \\[6pt] Z &= T_{c_0}(V) \subset c_0' \end{aligned}\] гэж үзье. Энд \(T_{c_0} : \ell^1 \rightarrow c_0'\) нь \(a \in \ell^1\) бүрийн хувьд \[T_{c_0}(a) = f_a\] гэж тодорхойлсон изоморфизм бөгөөд \(f_a\) нь \(x \in \ell^1\) бүрийн хувьд \[f_a(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n\] гэж тодорхойлсон функц юм. Тэгвэл \(V\) ба \(Z\) нь тус тус \(\ell^1\) ба \(c_0'\)-ийн жинхэнэ дэд олонлог бөгөөд хаалттай дэд вектор орон зай юм. Мөн \((^\circ Z)^\circ = c_0'\) болно.
Шийдэл
\(z = \{(-1)^n\} \in \ell^{\infty}\) гэж тавиад \(f_z \in (\ell^1)'\)-г жишээд тодорхойлсон функц гэж үзье. Илэрхий нь \(V = \operatorname{ker} f_z\) тул \(V\) нь хаалттай дэд вектор орон зай бөгөөд \(f_z\) нь тэг функц биш тул \(V \neq \ell^1\) болно. \(T_{c_0}\) нь изоморфизм тул \(Z\) нь \(c_0'\)-ийн жинхэнэ дэд олонлог бөгөөд хаалттай дэд вектор орон зай юм.
Одоо \(p = \{p_n\} \in ^\circ Z \subset c_0\) гэж үзье. \(n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(v_n = e_n + e_{n+1}\) гэж үзье. Тэгвэл \(v_n \in V\) тул тодорхойлолтоор \(T_{c_0} v_n \in Z\) ба түүнээс болж \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[0 = (T_{c_0} v_n)(p) = f_{v_n}(p) = p_n + p_{n+1}\] болно. Энд \[\lim_{n \rightarrow \infty} p_n = 0\] тул \(n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(p_n = 0\) ба түүнээс болж \(^\circ Z = \{0\}\) болно. Тиймээс \((^\circ Z)^\circ = c_0'\) болно.
Дагавар теорем 16.
\(c_0\) ба \(\ell^{\infty}\) орон зайнууд тусгал биш юм.
Нотолгоо
Теорем 14-ийн (b) ба Жишээ 15-аар \(c_0\) нь тусгал биш юм. Мөн \(c_0\) нь \(\ell^{\infty}\)-ийн хаалттай дэд орон зай тул Теорем 11-ээр \(\ell^{\infty}\) нь тусгал биш юм.
Одоо шугаман операторын хослол оператор ба давхар хослол операторыг харъя.
Теорем 17.
\(X\) ба \(Y\) нь норм вектор орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) гэж үзье. Тэгвэл \(x \in X\) ба \(f \in Y'\) бүрийн хувьд \[T'(f)(x) = f(Tx)\] ийг хангах \(T' \in B(Y',\, X')\) оператор өвөрмөцөөр оршин байна.
Нотолгоо
\(f \in Y'\) бүрийн хувьд \(T'(f) = f \circ T\) гэж тодорхойлъё. \(T\) ба \(f\) нь хязгаарлагдмал шугаман оператор тул \(T'(f) \in X'\) болно. \(T'\) нь \(Y'\)-с \(X'\) руу чиглэсэн функц бөгөөд \(x \in X\) ба \(f \in Y'\) бүрийн хувьд \(T'(f)(x) = f(T(x))\)-г хангана. Мөн \(x \in X\) ба \(f \in Y'\) бүрийн хувьд \(S(f)(x) = f(T(x))\)-г хангах \(S \in B(Y',\, X')\) байвал \(f \in Y'\) бүрийн хувьд \(S(f) = T'(f)\) тул \(S = T'\) болно. Тиймээс \(T'\) нь өвөрмөц юм.
Одоо \(T' \in B(Y',\, X')\) болохыг харуулбал болно. \(f,\, g \in Y'\) ба \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\) гэж үзье. Тэгвэл \[(\lambda f + \mu g) \circ T = \lambda(f \circ T) + \mu(g \circ T)\] болно. Тиймээс \(T'(\lambda f + \mu g) = \lambda T'(f) + \mu T'(g)\), өөрөөр хэлбэл \(T'\) нь шугаман юм. Мөн \[\lVert T'(f) \rVert = \lVert f \circ T \rVert \leq \lVert f \rVert \lVert T \rVert\] тул \(T'\) нь хязгаарлагдмал ба \(\lVert T' \rVert \leq \lVert T \rVert\) болно.
Тодорхойлолт 18. (Хослол оператор)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) гэж үзье. Теорем 17-д бүтээсэн \(T' \in B(Y',\, X')\) операторыг \(T\)-ийн хослол оператор гэж нэрлэнэ.
\(\mathcal{H}\) ба \(\mathcal{K}\) нь Гильберт орон зай, \(T \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\) бол \(T\)-д харгалзах \(T^* \in B(\mathcal{K},\, \mathcal{H})\) оршин байх ба үүнийг \(T\)-ийн хэрмит оператор (adjoint) гэж нэрлэнэ. Хэрмит оператор нь хослол операторыг бодвол олон хэрэгтэй шинж чанартай байдаг. Гэвч хослол оператор ч дараах хэрэгтэй шинж чанартай байдаг.
Туслах теорем 19. (Хослол операторын шинж чанар)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) гэж үзье.
- \(\lVert T' \rVert = \lVert T \rVert.\)
- \(\operatorname{ker} T' = (\operatorname{im} T)^\circ.\)
- \(\operatorname{ker} T = \,^\circ\!(\operatorname{im} T').\)
Нотолгоо
- Теорем 17-ийн нотолгооноос \(\lVert T' \rVert \leq \lVert T \rVert\)-г олно. \(x \in X\) гэж үзье. Тэгвэл \(f(Tx) = \lVert Tx \rVert\) ба \(\lVert f \rVert = 1\)-г хангах \(f \in Y'\) оршин байна. Тиймээс \[\begin{aligned} \lVert Tx \rVert &= f(Tx) = T'(f)(x) \\[6pt] &\leq \lVert T'(f) \rVert \lVert x \rVert \\[6pt] &\leq \lVert T' \rVert \lVert f \rVert \lVert x \rVert \\[6pt] &= \lVert T' \rVert \lVert x \rVert \end{aligned}\] тул \(\lVert T \rVert \leq \lVert T' \rVert\) болно. Тиймээс \(\lVert T \rVert = \lVert T' \rVert\) болно.
- \(f \in \operatorname{ker} T'\) ба \(z \in \operatorname{im} T\) гэж үзье. \(z \in \operatorname{im} T\) тул \(z = T(x)\) болох \(x \in X\) оршин байна. Тиймээс
\[f(T(x)) = T'(f)(x) = 0\]
болно. Учир нь \(f \in \operatorname{ker} T'\) учраас тэгэж болно. Тиймээс \(f \in (\operatorname{im} T)^\circ\) ба \(\operatorname{ker} T' \subseteq (\operatorname{im} T)^\circ\) болно.
Дараа нь \(f \in (\operatorname{im} T)^\circ\) гэж үзье. Тэгвэл \(x \in X\) бүрийн хувьд \[T'(f)(x) = f(T(x)) = 0\] болно. Энэ нь \(T(x) \in \operatorname{im} T\) учраас тэгэж болно. Тиймээс \(T'(f) = 0\) ба \(f \in \operatorname{ker} T'\) болно. Тиймээс \((\operatorname{im} T)^\circ \subseteq \operatorname{ker} T'\) ба \(\operatorname{ker} T' = (\operatorname{im} T)^\circ\) болно. - Өмнөх нотолгоотой адил.
Теорем 20. (Изоморфизмын хослол оператор)
\(X\) ба \(Y\) нь норм вектор орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) гэж үзье.
- \(T\) нь изоморфизм бол \(T'\) ч изоморфизм ба \((T')^{-1} = (T^{-1})'\) болно.
- \(T\) нь зайлшгүй изоморфизм бол \(T'\) ч зайлшгүй изоморфизм болно.
Нотолгоо
- \(S = T^{-1}\) гэж үзье. \(S \in B(Y,\, X)\) тул хослол оператор \(S' \in B(X',\, Y')\) зөв тодорхойлогдоно. Тиймээс \(f \in X'\) ба \(x \in X\) бүрийн хувьд
\[\begin{aligned}
T'(S'(f))(x) &= S'(f)(Tx) \\[6pt]
&= f(S(Tx)) \\[6pt]
&= f(x)
\end{aligned}\]
болно. Өөрөөр хэлбэл \(T'(S'f) = f\) тул \(T' \circ S' = I_{X'}\) болно.
Адилхан \(S' \circ T' = I_{Y'}\) болно. - Адил аргаар нотолно.
Теорем 20-ийн (b)-г дараах байдлаар илэрхийлж болно.
Дагавар теорем 21.
Норм вектор орон зай \(X\) ба \(Y\) хоорондоо изоморф бол \(X'\) ба \(Y'\) ч хоорондоо изоморф болно.
\(X\) ба \(Y\) нь норм вектор орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) үед хослол оператор \(T' \in B(Y',\, X')\)-г тодорхойлсон. Энэ үйл явцыг дахин хэрэглэж давхар хослол оператор \(T'' \in B(X'',\, Y'')\)-г олж болно. \(T''\) оператор нь зайлшгүй зураглал \(J_X,\, J_Y\)-тай дараах хамаарал байна.
Теорем 22. (Давхар хослол операторын шинж чанар)
\(X\) ба \(Y\) нь норм вектор орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) гэж үзье. Тэгвэл \[J_Y \circ T = T'' \circ J_X\] биелнэ.
Нотолгоо
\(x \in X\) ба \(g \in Y'\) гэж үзье. \(J_X\) ба \(J_Y\)-ийн тодорхойлолтоор \[\begin{aligned} J_Y(Tx)(g) &= g(Tx) \\[6pt] &= (T'g)(x) \\[6pt] &= J_X(x)(T'g) \\[6pt] &= T''(J_X x)(g) \end{aligned}\] болно. Тиймээс \(J_Y(Tx) = T''(J_X x)\) болно.
Теорем 20-ийн (b) ба Теорем 22-г нэгтгэвэл дараах дагавар теоремийг олно.
Дагавар теорем 23.
Норм шугаман орон зай \(X\) ба \(Y\) изоморф гэж үзье. Энэ үед \(X\) нь тусгал байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(Y\) нь тусгал байх явдал юм.
Дагавар теорем 24.
\(\ell^1\) нь тусгал биш юм.
Нотолгоо
Дагавар теорем 16-аар \(c_0\) нь тусгал биш юм. Тиймээс Теорем 10-аар \(c_0'\) ч тусгал биш юм. \(\ell^1\) нь \(c_0'\)-тэй изоморф тул Дагавар теорем 23-аар \(\ell^1\) нь тусгал биш юм.
Хэрэв \(X\)-г \(X''\)-ийн дэд олонлог гэж үзвэл Теорем 22 нь \(T''\) нь \(T\)-ийн өргөтгөл гэж үзэж болохыг харуулна. (Мэдээжийн хэрэг \(X\) нь \(X''\)-ийн дэд олонлог биш юм.) Энэ нь зөвхөн \(X\) нь тусгал биш үед л утга учиртай юм.
\(Y\) нь скаляр орон зай болох тохиолдолд Теорем 22 нь Хан-Банах теоремын тусгай тохиолдлын эсрэг боловч зөвхөн \(X''\)-ийн дэд вектор орон зай \(J_X(X)\)-ийн хувьд л хүчинтэй юм. Энэ үүднээс Теорем 22 нь Хан-Банах теоремоос сул гэж хэлж болно. Нөгөө талаас Теорем 22 нь скаляр орон зай төдийгүй дурын норм орон зай руу чиглэсэн шугаман операторт хэрэглэгддэг тул Хан-Банах теоремоос хүчирхэг гэж ч хэлж болно.