Операторын спектр

Бодолт

\(\tau \in \mathbb{C}\) бол \(\tau I\) нь зөвхөн \(\tau = 0\) үед л урвуу биш байна. Тиймээс \(\sigma ( \mu I )\)-г олбол дараах байдал гарна. \[\begin{aligned} \sigma(\mu I) &= \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, \mu I - \lambda I\text{ нь урвуу биш.}\} \\[6pt] &= \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, (\mu - \lambda)I\text{ нь урвуу биш.}\} \\[6pt] &= \{\mu\}. \end{aligned}\]

Батламж

\(Tx = \lambda x\)-г хангадаг тэг биш вектор \(x \in \mathcal{H}\) байдаг тул \(x \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) байна. Тиймээс \(T - \lambda I\) нь урвуу биш байна.

Бодолт

\(\lambda\) нь \(S\)-ийн өөрийн утга гэж таамаглаад \(\lambda\)-д харгалзах тэг биш векторыг \(x = \{x_n\}\) гэе. Тэгвэл \[(0,\, x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots) = (\lambda x_1,\, \lambda x_2,\, \lambda x_3,\, \ldots)\] байна.

Хэрэв \(\lambda = 0\) бол энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг вектор тул \[0 = x_1 = x_2 = x_3 = \ldots = 0\]бөгөөд энэ нь \(x = 0\) гэсэн баримттай зөрчилдөнө. Хэрэв \(\lambda \neq 0\) бол \(\lambda x_1 = 0\) тул \(x_1 = 0\) байна. Тиймээс \(\lambda x_2 = x_1 = 0\)-ээс \(x_2 = 0\) байна. Ингэж үргэлжлүүлбэл дахин \[x_1 = x_2 = x_3 = \ldots = 0\]гэсэн үр дүн гарах бөгөөд энэ нь зөрчилдөнө. Тиймээс \(S\) нь өөрийн утгагүй байна.

Батламж

1. Хэрэв \(|\lambda| > \lVert T \rVert\) бол \(\lVert \lambda^{-1}T \rVert < 1\) тул \(I - \lambda^{-1}T\) нь урвуутай байна. Тиймээс \(\lambda I - T\) нь урвуутай бөгөөд \(\lambda \notin \sigma(T)\) байна.
2. \(F: \mathbb{C} \rightarrow B(\mathcal{H})\)-г \(F(\lambda) = \lambda I - T\) гэж тодорхойлье. Тэгвэл \[\lVert F(\mu) - F(\lambda) \rVert = \lVert \mu I - T - (\lambda I - T) \rVert = |\mu - \lambda|\] тул \(F\) нь тасралтгүй байна. Урвуутай элементүүдийн цуглуулга нь нээлттэй олонлог тул урвуу биш элементүүдийн цуглуулга нь хаалттай олонлог байна. Урвуу биш элементүүдийн цуглуулгыг \(\mathcal{C}\) гэвэл \[\sigma(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, F(\lambda) \in \mathcal{C}\}\] тул \(\sigma(T)\) нь хаалттай олонлог байна.

Батламж

Хэрэв \(\lambda \notin \sigma(T)\) бол \(T - \lambda I\) нь урвуутай бөгөөд тиймээс \[(T - \lambda I)^* = T^* - \overline{\lambda}I\]нь урвуутай байна. Тиймээс \(\overline{\lambda} \notin \sigma(T^*)\) байна. \(T^*\) оронд \(T\)-г ашиглан ижил аргументыг хэрэглэвэл \(\overline{\lambda} \notin \sigma(T^*)\) үед \(\lambda \notin \sigma(T)\) гэдгийг олно. Тиймээс \[\sigma(T^*) = \{\overline{\lambda} \,\vert\, \lambda \in \sigma(T)\}\] байна.

Бодолт

1. \(\lambda \in \mathbb{C}\), \(|\lambda| < 1\) байг. \[S^*(\{x_n\}) = \lambda\{x_n\}\] -г хангадаг тэг биш вектор \(\{x_n\} \in \ell^2\)-г олох хэрэгтэй. \[S^*(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_2, x_3, x_4, \ldots)\] тул \[(x_2,\, x_3,\, x_4,\, \ldots) = (\lambda x_1,\, \lambda x_2,\, \lambda x_3,\, \ldots)\] байна. Өөрөөр хэлбэл бүх \(n \in \mathbb{N}\)-д \(x_{n+1} = \lambda x_n\)-г хангадаг тэг биш \(\{x_n\} \in \ell^2\)-г олох хэрэгтэй.
   Энэ тэгшитгэлийн нэг шийд нь \(\{x_n\} = \{\lambda^{n-1}\}\) бөгөөд энэ нь тэг биш вектор юм. Түүнчлэн \(|\lambda| < 1\) тул \[\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2 = \sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^{2n} < \infty\] бөгөөд тиймээс \(\{x_n\} \in \ell^2\) байна. Тиймээс \(S^*(\{x_n\}) = \lambda\{x_n\}\) бөгөөд \(\lambda\) нь өөрийн вектор \(\{x_n\}\)-тэй \(S^*\)-ийн өөрийн утга байна.
2. (a) болон лемм 3-аас \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S^*)\] байна. Тиймээс лемм 6-аас \[\{\overline{\lambda} \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S)\] байна. Гэхдээ комплекс хавтгай дээрх хавтгай дүрсний шинж чанараар \[\{\overline{\lambda} \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\}\] тул \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S)\] байна. Теорем 5-аас \(\sigma(S)\) нь хаалттай олонлог тул \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\} \subseteq \sigma(S)\] байна. Нөгөө талаас хэрэв \(|\lambda| > 1\) бол \(\lVert S \rVert = 1\) тул теорем 5-аас \(\lambda \notin \sigma(S)\) байна. Тиймээс \[\sigma(S) = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\] байна.

Батламж

1. \(\lambda \in \mathbb{C}\), \(q(z) = \lambda - p(z)\) байг. Тэгвэл \(q\) ч мөн олон гишүүнт тул \[q(z) = c(z - \mu_1)(z - \mu_2)\ldots(z - \mu_n)\] хэлбэрээр задлаж болно. Энд \(c,\, \mu_1,\, \mu_2,\, \ldots,\, \mu_n \in \mathbb{C}\), \(c \neq 0\) байна. Тиймээс дараах шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг олно. \[\begin{aligned} \lambda \notin \sigma(p(T)) \,\,\, &\Leftrightarrow \quad \lambda I - p(T)\text{ нь урвуутай.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad q(T)\text{ нь урвуутай.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad c(T - \mu_1 I)(T - \mu_2 I)\ldots(T - \mu_n I)\text{ нь урвуутай.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad (T - \mu_j I)\text{ нь бүх } 1 \leq j \leq n\text{-д урвуутай.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad q\text{-ийн ямар ч тэг нь }\sigma(T)\text{-д байхгүй.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad q(\mu) \neq 0 \text{ бүх } \mu \in \sigma(T)\text{-д.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad \lambda \neq p(\mu) \text{ бүх } \mu \in \sigma(T)\text{-д.} \end{aligned}\] Тиймээс \(\sigma(p(T)) = \{p(\mu) \,\vert\, \mu \in \sigma(T)\}\) байна.
2. \(T\) нь урвуутай тул \(0 \notin \sigma(T)\) байна. Тиймээс \(\sigma(T^{-1})\)-ийн бүх элемент нь тохирох \(\mu \in \mathbb{C}\)-д \(\mu^{-1}\) хэлбэрээр бичигдэж болно. Түүнчлэн \[\mu^{-1}I - T^{-1} = -T^{-1}\mu^{-1}(\mu I - T)\] бөгөөд \(-T^{-1}\mu^{-1}\) нь урвуутай тул дараах шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг олно. \[\begin{aligned} \mu^{-1} \in \sigma(T^{-1}) \,\,\,&\Leftrightarrow\quad \mu^{-1}I - T^{-1}\text{ нь урвуу биш.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad -T^{-1}\mu^{-1}(\mu I - T)\text{ нь урвуу биш.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad \mu I - T\text{ нь урвуу биш.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad \mu \in \sigma(T) . \end{aligned}\] Тиймээс \(\sigma(T^{-1}) = \{\mu^{-1} \,\vert\, \mu \in \sigma(T)\}\) байна.

Батламж

\(U\) нь унитар оператор тул \(\lVert U \rVert = 1\) бөгөөд теорем 5-аас \[\sigma(U) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\] байна. Түүнчлэн \(U^*\) ч мөн унитар оператор тул \[\sigma(U^*) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\] байна. Гэхдээ \(U^* = U^{-1}\) тул теорем 8-аас \[\sigma(U) = \{\lambda^{-1} \,\vert\, \lambda \in \sigma(U^*)\} \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \geq 1\}\] байна.

Батламж

\(\lambda \in \sigma(T)\) байг. \(T-\lambda I\) нь хэвийн оператор тул \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert(T - \lambda I)x_n\rVert = 0\] -г хангадаг бөгөөд \(\lVert x_n \rVert = 1\)-г хангадаг \(\mathcal{H}\) дахь дараалал \(\{x_n\}\) байдаг. Тиймээс Коши-Шварцын тэнцэгсизлээр \[\lim_{n\rightarrow\infty}\langle(T - \lambda I)x_n,\,x_n\rangle = 0\] байна. Тиймээс \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left( \langle Tx_n,\,x_n\rangle - \lambda\langle x_n,\,x_n\rangle \right) = 0\] байна. Гэхдээ бүх \(n \in \mathbb{N}\)-д \(\langle x_n,\,x_n\rangle = 1\) тул \[\lim_{n\rightarrow\infty}\langle Tx_n,\,x_n\rangle = \lambda\] байна. Тиймээс \(\lambda\) нь \(V(T)\)-ийн хаалтын дотор байна.

Батламж

1. \(S\) нь өөртөө хослол оператор тул дурын \(x \in \mathcal{H}\)-д дараах зүйл биелнэ. \[\langle Sx,\,x\rangle = \langle x,\,Sx\rangle = \overline{\langle Sx,\,x\rangle} .\] Тиймээс бүх \(x \in \mathcal{H}\)-д \(\langle Sx,\,x\rangle \in \mathbb{R}\) байна. Тиймээс \(V(S) \subseteq \mathbb{R}\) байна.
2. Лемм 11-ээр \(\sigma(S)\) нь \(V(S)\)-ийн хаалтад агуулагддаг тул (a)-аар \(\sigma(S)\) нь \(\mathbb{R}\)-ийн дэд олонлог байна.
3. \(S = 0\) тохиолдолд хүссэн үр дүнг тодорхой байдлаар олно. Тиймээс \(S\ne 0\) гэе. Ялангуяа \(\lVert S \rVert^{-1}S\)-г ашигласнаар ерөнхийлөл алдалгүйгээр \(\lVert S \rVert = 1\) гэж таамаглаж болно. \(S\)-ийн нормын тодорхойлолтоор \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Sx_n \rVert = 1\] бөгөөд \(\lVert x_n \rVert = 1\) байх дараалал \(\{x_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-д байдаг. Тэгвэл \[\begin{aligned} \lVert(I - S^2)x_n\rVert^2 &= \langle(I - S^2)x_n,\,(I - S^2)x_n\rangle \\[6pt] &= \lVert x_n \rVert^2 + \lVert S^2x_n \rVert^2 - 2\langle S^2x_n,\,x_n\rangle \\[6pt] & \leq 2 - 2\langle Sx_n,\,Sx_n\rangle \\[6pt] &= 2 - 2\lVert Sx_n \rVert^2 \end{aligned}\] байна. Тиймээс \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert(I - S^2)x_n\rVert^2 = 0\] бөгөөд тиймээс \(1 \in \sigma(S^2)\) байна. Теорем 8-аар \(1 \in (\sigma(S))^2\) тул \(1\) эсвэл \(-1\) нь \(\sigma(S)\)-д байх ёстой.
4. Лемм 11 болон Коши-Шварцын тэнцэгсизлээр \[\lVert S \rVert \leq r_\sigma(S) \leq \sup\{|\tau| \,\vert\, \tau \in V(S)\} \leq \lVert S \rVert\] байна. Тиймээс теоремын тэнцэтгэлийг олно.
5. \(\alpha\) болон \(\beta\)-г тус тус дараах байдлаар тодорхойлье. \[\begin{aligned} \alpha &= \inf\{\lambda \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\}, \\[6pt] \beta &= \sup\{\lambda \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\} . \end{aligned}\] \(\lambda \in V(S)\) тул \(\lVert y \rVert = 1\), \(\lambda = \langle Sy,\,y\rangle\) байх \(y \in \mathcal{H}\) байдаг.
   Одоо дүгнэлттэй эсрэгээр \(\lambda \notin [\alpha, \beta]\) гэж таамаглая.
   \(\lambda < \alpha\) гэж таамаглая. Тэгвэл \(\beta I - S\)-ийн спектр нь \(\beta - \sigma(S)\) бөгөөд теорем 8-аар энэ спектр нь \([0, \, \beta - \alpha]\)-д агуулагдана. Тиймээс \(r_\sigma(\beta I - S) \leq \beta - \alpha\) байна. Гэхдээ \[\langle(\beta I - S)y,\,y\rangle = \beta\langle y,\,y\rangle - \langle Sy,\,y\rangle = \beta - \lambda > \beta - \alpha\] тул (d)-д өөртөө хослол оператор \(\beta I - S\)-г орлуулсан үр дүнд зөрчилдөнө.
   \(\lambda > \beta\) гэж таамаглая. Тэгвэл \(S - \alpha I\)-ийн спектр нь \(\sigma(S) - \alpha\) бөгөөд дахин теорем 8-аар энэ спектр нь \([0,\, \beta - \alpha]\)-д агуулагдана. Тиймээс \(r_\sigma(S - \alpha I) \leq \beta - \alpha\) байна. Гэхдээ \[\langle(S - \alpha I)y,\,y\rangle = \langle Sy,\,y\rangle - \alpha\langle y,\,y\rangle = \lambda - \alpha > \beta - \alpha\] тул (d)-д өөртөө хослол оператор \(S - \alpha I\)-г орлуулсан үр дүнд зөрчилдөнө.
   Тиймээс \(\lambda \in [\alpha, \beta]\) байна.

Батламж

1. \(\sigma(A)\) нь зөвхөн \(A\)-ийн өөрийн утгуудаас л бүрддэг тул теорем 12-оор \[\lVert A \rVert = r_\sigma(A) = \max\{|\lambda_1|, |\lambda_2|, \ldots, |\lambda_n|\}\] байна.
2. Гильбертын орон зай дахь тасралтгүй шугаман оператор \(T\)-д \(\lVert T^* T \rVert = \lVert T \rVert^2 \) байдаг баримт болон \(T^* T\) ба \(TT^*\) нь өөртөө хослол оператор байдаг баримтаас үр дүнг олно.