Норм (norm) нь бодит тооны хэмжээтэй төстэй үүрэг гүйцэтгэдэг ба норм өгөгдсөн орон зайд элементийн зайг хэмжиж болно. Векторын орон зайд норм өгөгдсөн тохиолдолд тэр векторын орон зайг нормтой векторын орон зай (normed vector space) эсвэл нормтой шугаман орон зай (normed linear space) гэж нэрлэх ба норм өгөгдсөн орон зай нь векторын орон зай болох нь тодорхой бол энгийнээр нормын орон зай гэж нэрлэнэ. Дотоод үржвэрийг ашиглан норм тодорхойлж болохоор ямар ч дотоод үржвэрийн орон зай нь нормын орон зай юм.
Янз бүрийн векторын орон зайд норм тодорхойлж, нормтой векторын орон зайн шинж чанарыг судалж болно. Тэр дундаа энэ нийтлэлд танил хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайд тодорхойлогддог нормын шинж чанарыг үзье.
\(\mathbb{F}\) талбар дээр тодорхойлогдсон хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай нь Евклидийн орон зай \(\mathbb{F}^k\)-тай ижоморф бөгөөд \(\mathbb{F}^k\)-д үргэлж стандарт норм тодорхойлж болохоор хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайд үргэлж норм тодорхойлж болно. Гэхдээ нэг орон зайд норм заавал нэг л байдлаар тодорхойлогддоггүй. Жишээлбэл \(\mathbb{R}^2\)-д дараах байдлаар өөр өөр норм тодорхойлж болно.
- \(\lVert (x,\,y) \rVert = \sqrt{ x^2 + y^2 }.\)
- \(\lVert (x,\,y) \rVert = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert .\)
Гадаад харагдахдаа хоёр норм их ялгаатай харагдана. Тэгвэл хоёр норм "хэр" ялгаатай вэ? \(\mathbb{R}^2\)-д тодорхойлогдсон дарааллын дунд (a)-ийн нормын хувьд нийлж байгаа ч (b)-ийн нормын хувьд зөрж байгаа эсвэл эсрэг тохиолдол байна уу? Ийм тохиолдлыг хэлэлцэхээр нормын "зэрэг" ойлголтыг нэвтрүүлнэ.
Тодорхойлолт 1. (Зэрэг норм)
\(X\) нь векторын орон зай бөгөөд \(\|\cdot\|_1\) болон \(\|\cdot\|_2\) нь \(X\) дээрх хоёр норм байг. Хэрэв эерэг тоо \(M,\) \(m\) байж бүх \(x \in X\)-ийн хувьд
\[m\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq M\|x\|_1\]
хангагддаг бол "норм \(\|\cdot\|_2\) нь норм \(\|\cdot\|_1\)-тэй зэрэг (equivalent)" гэж хэлнэ.
"Зэрэг" гэдэг нэртэй тохирч хоёр норм зэрэг байх харьцаа нь зэрэг харьцаа юм. Өөрөөр хэлбэл хоёр норм зэрэг байх харьцаа нь рефлексив, симметр, транзитив шинж чанартай байна.
Теорем 2. (Зэрэг нормын шинж чанар)
\(X\) нь векторын орон зай бөгөөд \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_3\) нь \(X\) дээрх гурван норм байг. Мөн \(\|\cdot\|_2\) нь \(\|\cdot\|_1\)-тэй зэрэг бөгөөд \(\|\cdot\|_3\) нь \(\|\cdot\|_2\)-тэй зэрэг байг.
- \(\|\cdot\|_1\) нь \(\|\cdot\|_2\)-тэй зэрэг байна.
- \(\|\cdot\|_3\) нь \(\|\cdot\|_1\)-тэй зэрэг байна.
Батламж
Таамаглалтаар "бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(m\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq M\|x\|_1\)" хангах \(M,\,m > 0\) байх ба "бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(k\|x\|_2 \leq \|x\|_3 \leq K\|x\|_2\)" хангах \(K,\,k > 0\) байна. Тиймээс дараах нь биелнэ.
- Бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\frac{1}{M}\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq \frac{1}{m}\|x\|_2\) болохоор \(\|\cdot\|_1\) нь \(\|\cdot\|_2\)-тэй зэрэг байна.
- Бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(km\|x\|_1 \leq \|x\|_3 \leq KM\|x\|_1\) болохоор \(\|\cdot\|_3\) нь \(\|\cdot\|_1\)-тэй зэрэг байна.
Одоо нэг векторын орон зайд зэрэг хоёр норм өгөгдсөн үед норм бүрээс үүдэн гарах зайны орон зайн шинж чанар ижил болохыг үзье.
Туслах лемм 3. (Зэрэг нормоос үүдэн гарсан зайн шинж чанар)
\(X\) нь векторын орон зай бөгөөд \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) нь \(X\) дээрх норм байг. \(d\) болон \(d_1\) нь тус тус \[\begin{aligned} d(x,\,y) &= \|x - y\| ,\\[6pt] d_1(x,\,y) &= \|x - y\|_1 \end{aligned} \] гэж тодорхойлогдсон зай байг. "Ямар ч \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|x\| \leq K\|x\|_1\)" хангах \(K > 0\) байна гэж үзье. Мөн \(\{x_n\}\) нь \(X\)-ийн дараалал байг.
- Хэрэв \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д \(x\) рүү нийлэх бол \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д \(x\) рүү нийлэнэ.
- Хэрэв \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д Кошийн дараалал бол \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д Кошийн дараалал болно.
Батламж
(a)-ийг батлая. \(\epsilon > 0\) байг. \(n \geq N\) үед \(\|x_n - x\|_1 < \frac{\epsilon}{K}\) байх \(N \in \mathbb{N}\) байна. Тиймээс \(n \geq N\) үед \[\|x_n - x\| \leq K\|x_n - x\|_1 < \epsilon\] болно. Тиймээс \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д \(x\) рүү нийлэнэ.
(b) мөн (a)-тай төстэй аргаар батлагдана.
Дагалдах теорем 4. (Зэрэг нормоос үүдэн гарсан зайн шинж чанар)
\(X\) нь векторын орон зай бөгөөд \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) нь \(X\) дээрх зэрэг норм байг. \(d\) болон \(d_1\) нь \(d(x,\,y) = \|x - y\|\) ба \(d_1(x,\,y) = \|x - y\|_1\) гэж тодорхойлогдсон зай байг. Мөн \(\{x_n\}\) нь \(X\)-ийн дараалал байг.
- \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д \(x\) рүү нийлэх нь \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д \(x\) рүү нийлэхтэй зэрэг юм.
- \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д Кошийн дараалал болох нь \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д Кошийн дараалал болохтой зэрэг юм.
- \((X,\,d)\) бүрэн болох нь \((X,\,d_1)\) бүрэн болохтой зэрэг юм.
Батламж
\(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) нь \(X\) дээрх зэрэг норм тул бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(m\|x\| \leq \|x\|_1 \leq M\|x\|\) хангах \(M,\,m > 0\) байна.
- Бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|x\|_1 \leq M\|x\|\) болохоор хэрэв \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д \(x\) рүү нийлэх бол туслах лемм 3-аас \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д \(x\) рүү нийлэнэ.
Эсрэгээр бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|x\| \leq \frac{1}{m}\|x\|_1\) болохоор хэрэв \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д \(x\) рүү нийлэх бол туслах лемм 3-аас \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д \(x\) рүү нийлэнэ. - (a)-тай ижил аргаар батлагдана.
- \((X,\,d)\) бүрэн гэж үзээд \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д Кошийн дараалал байг. Тэгвэл (b)-ээс \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д Кошийн дараалал болж \((X,\,d)\) бүрэн тул \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d)\)-д ямар нэг цэг \(x\) рүү нийлэнэ. Тиймээс (a)-ээс \(\{x_n\}\) нь зайны орон зай \((X,\,d_1)\)-д \(x\) рүү нийлж \((X,\,d_1)\) бүрэн болно. Симметр шинж чанараар урвуу нь ч биелнэ.
\(X\) нь хоёр норм \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) бүхий векторын орон зай бөгөөд \(x \in X\) байг. \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) нь зэрэг норм байсан ч \(\|x\| \neq \|x\|_1\) байж болно. Гэхдээ дагалдах теорем 4-ээс зайны орон зайн хүрээнд нийлэлтэй холбоотой асуудлыг хэлэлцэхэд хоёр нормын алийг нь ашиглаж ч ижил үр дүн гарна. Тиймээс нормтой векторын орон зайд нийлэлтэй холбоотой шинж чанарыг хэлэлцэхэд илүү хялбар нормыг сонгоход сайн байх болно.
\(X\) нь хязгаартай хэмжээтэй орон зай бол \(X\) нь наад зах нь нэг норм гартай байна. Одоо \(X\) дээрх бүх норм хоорондоо зэрэг болохыг харуулж үүгээр дамжуулан хязгаартай хэмжээтэй нормтой векторын орон зайн олон шинж чанарыг гаргахыг зорино.
Теорем 5. (Хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайн нормын зэрэг байдал)
\(X\) нь норм \(\|\cdot\|\) бүхий хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай бөгөөд \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь байг. Дараах байдлаар \(X\) дээрх өөр норм тодорхойлъё. \[\left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\|_1 = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2}.\tag{*}\] Энэ үед хоёр норм \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) зэрэг байна.
Батламж
\(M = \left(\sum_{j=1}^n \|e_j\|^2\right)^{1/2}\) байг. Тэгвэл \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь тул \(M > 0\) болно. Мөн \[\begin{aligned} \left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\| &\leq \sum_{j=1}^n \|\lambda_j e_j\| \\[6pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|\|e_j\| \\[6pt] &\leq \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{j=1}^n \|e_j\|^2\right)^{1/2} \\[6pt] &= M\left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\|_1 \end{aligned}\] болно. Одоо функц \(f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}\)-ийг дараах байдлаар тодорхойлъё. \[f(\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_n) = \left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j \, e_j \,\right\|.\] Функц \(f\) нь \(\mathbb{F}^n\) дээрх стандарт зайн хувьд тасралтгүй байна. Одоо \[S = \left\{(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n) \in \mathbb{F}^n \,\bigg\vert\, \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 = 1\right\}\] гэж үзвэл \(S\) нь компакт тул \((\mu_1,\,\mu_2,\,\ldots,\,\mu_n) \in S\) байж бүх \((\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n) \in S\)-ийн хувьд \[m = f(\mu_1,\,\mu_2,\,\ldots,\,\mu_n) \leq f(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n)\] хангана.
\(m = 0\) бол \(\left\|\sum_{j=1}^n \mu_j \,e_j\right\| = 0\) болохоор \(\sum_{j=1}^n \mu_j \,e_j = 0\) болж энэ нь \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь гэдэгтэй зөрчилдөнө. Тиймээс \(m > 0\) болно. Нэмэхээр \(\|\cdot\|_1\)-ийн тодорхойлолтоор \(\|x\|_1 = 1\) бол \(\|x\| \geq m\) болно. Тиймээс \(y \in X \setminus \{0\}\) бол \(\left\|\frac{y}{\|y\|_1}\right\|_1 = 1\) болохоор \(\left\|\frac{y}{\|y\|_1}\right\| \geq m\) болж \[\|y\| \geq m\|y\|_1\] болно.
\(y = 0\) үед ч \(\|y\| \geq m\|y\|_1\) болохоор \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) зэрэг байна.
Дагалдах теорем 6. (Хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайн нормын зэрэг байдал)
\(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_2\) нь хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай \(X\) дээрх хоёр норм бол тэд зэрэг байна.
Батламж
\(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)-ийг \(X\)-ийн суурь гэж үзээд \(\|\cdot\|_1\)-ийг (*)-д тодорхойлсон \(X\) дээрх норм байг. Тэгвэл \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_2\) хоёулаа теорем 5-аас \(\|\cdot\|_1\)-тэй зэрэг тул \(\|\cdot\|_2\) нь \(\|\cdot\|\)-тэй зэрэг байна.
\(X\) нь хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай үед \(X\)-д тодорхойлогддог бүх норм хоорондоо зэрэг болохыг харуулсан тул одоо нормтой векторын орон зайд зайны орон зайтай холбоотой шинж чанарыг хэлэлцэхэд тодорхой норм нэгийг л авч үзэх хангалттай.
Туслах лемм 7. (Хязгаартай хэмжээтэй нормын орон зайн бүрэн байдал)
\(X\) нь \(\mathbb{F}\) талбар дээрх хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай бөгөөд \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь байг. Хэрэв \(\|\cdot\|_1 : X \to \mathbb{R}\) нь (*)-аар тодорхойлогдсон \(X\) дээрх норм бол \(X\) нь бүрэн зайны орон зай болно.
Батламж
\(\{x_m\}\) нь \(X\)-д Кошийн дараалал бөгөөд \(\epsilon > 0\) байг. Дарааллын элемент бүрийг \[x_m = \sum_{j=1}^n \lambda_{j,\,m}\,e_j\] гэж илэрхийлж болно. (Иймэрхүү \(\lambda_{j,\,m} \in \mathbb{F}\) байдаг гэсэн үг.) \(\{x_m\}\) нь Кошийн дараалал тул \(N\in\mathbb{N}\) байж \(k,\,m \geq N\) үед \[\sum_{j=1}^n |\lambda_{j,k} - \lambda_{j,m}|^2 = \|x_k - x_m\|_1^2 \leq \epsilon^2\] хангана. Тиймээс \(k,\,m \geq N\) үед \(1 \leq j \leq n\) байх \(j\)-ийн хувьд \[|\lambda_{j,k} - \lambda_{j,m}|^2 \leq \epsilon^2\] болно. Тиймээс \(\{\lambda_{j,m}\}\) нь \(1 \leq j \leq n\) байх \(j\)-ийн хувьд \(\mathbb{F}\)-д Кошийн дараалал болж \(\mathbb{F}\) бүрэн тул \[\lim_{m \to \infty} \lambda_{j,m} = \lambda_j\] байх \(\lambda_j \in \mathbb{F}\) байна. Тиймээс \(1 \leq j \leq n\) байх \(j\)-ийн хувьд \(m \geq N_j\) үед \[|\lambda_{j,m} - \lambda_j|^2 \leq \frac{\epsilon^2}{n}\] хангах \(N_j \in \mathbb{N}\) байна.
\(N_0 = \max(N_1,\,N_2,\,\ldots,\,N_n)\) гэж үзээд \(x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j\) байг. Тэгвэл \(m \geq N_0\) үед \[\|x_m - x\|_1^2 = \sum_{j=1}^n |\lambda_{j,m} - \lambda_j|^2 \leq \sum_{j=1}^n \frac{\epsilon^2}{n} = \epsilon^2\] болно. Тиймээс \(\{x_m\}\) нь \(x\) рүү нийлэнэ. Өөрөөр хэлбэл \(X\) бүрэн байна.
Дагалдах теорем 8. (Хязгаартай хэмжээтэй нормын орон зайн бүрэн байдал)
\(\|\cdot\|\) нь хязгаартай хэмжээтэй орон зай \(X\) дээрх ямар ч норм бол \(X\) нь бүрэн зайны орон зай болно.
Батламж
\(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)-ийг \(X\)-ийн суурь гэж үзээд \(\|\cdot\|_1 : X \to \mathbb{R}\)-ийг (*)-аар тодорхойлсон \(X\) дээрх норм байг. Дагалдах теорем 6-аас норм \(\|\cdot\|\) болон \(\|\cdot\|_1\) зэрэг байна. Туслах лемм 7-оос норм \(\|\cdot\|_1\) бүхий \(X\) бүрэн байна. Тиймээс дагалдах теорем 4-ээс норм \(\|\cdot\|\) бүхий \(X\) ч мөн бүрэн байна.
Дагалдах теорем 9. (Хязгаартай хэмжээтэй дэд орон зайн хаалттай байдал)
\(Y\) нь нормтой векторын орон зай \(X\)-ийн хязгаартай хэмжээтэй дэд орон зай бол \(Y\) хаалттай байна.
Батламж
\(Y\) өөрөө нормтой векторын орон зай тул дагалдах теорем 8-аас бүрэн зайны орон зай болно. Зайны орон зайн бүрэн дэд олонлог хаалттай тул \(Y\) хаалттай байна.
Эдгээр үр дүн нь зайны орон зайн хүрээнд бүх хязгаартай хэмжээтэй нормын орон зайн шинж чанар \(\mathbb{F}^n\)-ийн шинж чанартай төстэй болохыг харуулна. Гэхдээ хязгаартай хэмжээтэй орон зайн норм бүр өөр өөр нормын орон зайн шинж чанартай байж болно.