\(X\) нь хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай бол \(X\)-д тодорхойлогддог нормууд бүгд хоорондоо зэрэг байна. Гэхдээ \(X\)-ийн хэмжээ хязгааргүй бол \(X\) дээр зэрэг биш өөр өөр нормууд байж болно.
Жишээ 1. (Зэрэг биш норм)
\(\mathcal{P}\) нь завсар \([0,\,1]\)-д тодорхойлогдсон бүх олон гишүүнт функцээс бүрдсэн векторын орон зай байг. \(\mathcal{P}\) нь \(C_\mathbb{F} ( [0,\,1])\)-ийн дэд орон зай тул \[\lVert p \rVert_1 = \operatorname{sup} \left\{ | p(x) | \,\vert\, x\in [ 0,\,1] \right\}\] гэж тодорхойлогдсон норм \(\lVert \cdot \rVert_1\)-ийг бодож болно. Мөн \(\mathcal{P}\) нь \(L^1 [0,\,1]\)-ийн дэд орон зай тул \[\lVert p \rVert_2 = \int_0^1 | p(x) | dx\] гэж тодорхойлогдсон норм \(\lVert \cdot \rVert_2\)-ийг бодож болно.
Хоёр норм \(\lVert \cdot \rVert_1\) болон \(\lVert \cdot \rVert_2\) зэрэг биш болохыг харуулъя. Хүссэн дүгнэлттэй эсрэг тэмцээд хоёр норм зэрэг гэж үзье. Тэгвэл эерэг тоо \(M,\) \(m\) байж ямар ч \(p\in \mathcal{P}\)-ийн хувьд \[m \lVert p \rVert_1 \le \lVert p \rVert_2 \le M \lVert p \rVert_1 \] хангана. \(m > 0\) тул \(\frac{1}{n} < m\) байх байгалийн тоо \(n\) байна. Олон гишүүнт функц \(p_n : [0,\,1] \rightarrow \mathbb{R}\)-ийг \(p_n (x) = x^n\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(\lVert p_n \rVert_1 = 1\) бөгөөд \(\lVert p_n \rVert_2 = \frac{1}{n+1}\) болно. Тиймээс \[m = m\lVert p_n \rVert _1 \le \lVert p_n \rVert_2 = \frac{1}{n+1}\] болно. Энэ нь зөрчилдөөнө. Тиймээс хоёр норм зэрэг биш байна.
Нэмэхээр хязгаартай хэмжээтэй нормтой векторын орон зайд үзсэн теорем нь хязгааргүй хэмжээтэй нормтой векторын орон зайд байгалийн байдлаар тэлэгдэхгүй байна. Жишээлбэл нормтой векторын орон зайн хязгаартай хэмжээтэй дэд орон зай хаалттай байдаг ч хязгааргүй хэмжээтэй дэд орон зай тийм биш байж болно.
Жишээ 2. (Хаалттай бус дэд орон зай)
\(\ell^\infty\)-ийн дэд олонлог \(S\)-ийг дараах байдлаар тодорхойлъё. \[S = \left\{ \left\{ x_n \right\} \in \ell^{\infty} \,\vert\, \text{there exists } N \in \mathbb{N} \text{ such that } x_n = 0 \text{ for } n \ge N \right\}.\] Тэгвэл \(S\) нь хязгаартай олон гишүүн л \(0\) биш дарааллуудаас бүрдсэн \(\ell^{\infty}\)-ийн дэд орон зай юм. Гэхдээ \(S\) хаалттай биш байна. Энэ баримтыг батлая.
\(x = \left(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\ldots\right)\) гэж үзвэл \(x \in \ell^{\infty} \setminus S\) болно. Одоо \[x_n = \left(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\ldots,\,\frac{1}{n},\,0,\,0,\,\ldots\right)\] гэж үзье. Тэгвэл \(x_n \in S\) бөгөөд \[\|x - x_n\| = \left\|\left(0,\,0,\,\ldots,\,0,\,\frac{1}{n+1},\,\frac{1}{n+2},\,\ldots\right)\right\| = \frac{1}{n+1}\] болно. Тиймээс \[\lim_{n \to \infty} \|x - x_n\| = 0\] болохоор \[\lim_{n \to \infty} x_n = x\] болно. Тиймээс \(x \in \overline{S} \setminus S\) болж \(S\) хаалттай биш байна.
Олон тохиолдолд хаалттай дэд орон зай нь хаалттай бус дэд орон зайгаас илүү хэрэгтэй ашиглагддаг. Тиймээс \(S\) хаалттай бус дэд орон зай бол түүний хаалт болох \(\overline{S}\)-ийг \(S\)-ийн оронд ашиглахыг бодож болно. Гэхдээ эхлээд нормтой векторын орон зайн дэд орон зайн хаалт ч мөн дэд орон зай болохыг харуулах хэрэгтэй.
Туслах лемм 3. (Дэд орон зайн хаалт)
\(X\) нь нормтой векторын орон зай бөгөөд \(S\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай байг. Тэгвэл \(\overline{S}\) ч мөн \(X\)-ийн дэд орон зай болно.
Батламж
\(\overline{S}\) нь векторын нийлбэр ба скаляр үржвэрт хаалттай эсэхийг шалгая.
\(x,\,y \in \overline{S}\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) байг. \(x,\,y \in \overline{S}\) тул \(S\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\) болон \(\{y_n\}\) байж \[x = \lim_{n \to \infty} x_n, \quad y = \lim_{n \to \infty} y_n\] хангана. \(S\) нь дэд орон зай тул бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(x_n + y_n \in S\) болж \[x + y = \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) \in \overline{S}\] болно. Ижлээр бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\alpha x_n \in S\) тул \[\alpha x = \lim_{n \to \infty} \alpha x_n \in \overline{S}\] болно. Тиймээс \(\overline{S}\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай болно.
\(X\) нь нормтой векторын орон зай бөгөөд \(E\) нь \(X\)-ийн хоосон биш дэд олонлог байг. \(\operatorname{span}E\) нь \(E\)-ийн бүх элементийн шугаман хослолын олонлог эсвэл \(E\)-ийг агуулсан бүх дэд орон зайн огтлолцол гэж тодорхойлогддог. \(X\) нь \(E\)-ийг агуулсан \(X\)-ийн хаалттай дэд орон зай тул хаалттай дэд орон зайгаар ч ижил огтлолцлыг үүсгэж болно.
Тодорхойлолт 4. (Хаалттай үүсгэл)
\(X\) нь нормтой векторын орон зай бөгөөд \(E\) нь \(X\)-ийн хоосон биш дэд олонлог байг. \(E\)-ийг агуулсан бүх хаалттай дэд орон зайн огтлолцлыг \(E\)-ийн хаалттай үүсгэл (closed linear span) гэж нэрлэж \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) гэж тэмдэглэнэ.
Одоо \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) болон \(\operatorname{span}(E)\) хоорондын харьцааг үзье.
Туслах лемм 5. (Хаалттай үүсгэл ба үүсгэлийн харьцаа)
\(X\) нь нормын орон зай бөгөөд \(E\) нь \(X\)-ийн хоосон биш дэд олонлог байг. Тэгвэл дараах нь биелнэ.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\), өөрөөр хэлбэл \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) нь \(\operatorname{span}(E)\)-ийн хаалт юм.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) нь \(E\)-ийг агуулсан хамгийн жижиг хаалттай дэд орон зай юм.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\).
Батламж
- \(\operatorname{span}(E)\) нь тодорхойлолтоор \(E\)-ийг агуулсан хамгийн жижиг дэд орон зай юм. Тиймээс бүх хаалттай дэд орон зай \(Y\)-ийн хувьд \(E \subset Y\) бол \(\operatorname{span}(E) \subset Y\) болно. Мөн \(Y\) хаалттай тул \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset Y\) болно. Тиймээс \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\) болно.
Нөгөө талаар туслах лемм 3-аас \(\overline{\operatorname{span}(E)}\) нь дэд орон зай бөгөөд \(\overline{\operatorname{span}(E)}\) хаалттай тул \(\overline{\operatorname{span}(E)}\) нь \(E\)-ийг агуулсан хаалттай дэд орон зай болно. Тиймээс \(\overline{\operatorname{span}}(E) \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\) болно. Тиймээс \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\) болно. - (a)-аас \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\) болно. \(\operatorname{span}(E) \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\) тул \(E \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\) болно. Мөн \(\overline{\operatorname{span}(E)}\) нь хаалттай дэд орон зай юм. Хэрэв \(Y\) нь \(E\)-ийг агуулсан ямар ч хаалттай дэд орон зай бол \(\operatorname{span}(E) \subset Y\) бөгөөд \(Y\) хаалттай тул \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset Y\) болно. Тиймээс \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\) нь \(E\)-ийг агуулсан хамгийн жижиг хаалттай дэд орон зай болно.
- \(E \subset \overline{E}\) тул \(\operatorname{span}(E) \subset \operatorname{span}(\overline{E})\) болж \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset \overline{\operatorname{span}(\overline{E})}\) болно. Өөрөөр хэлбэл \(\overline{\operatorname{span}}(E) \subset \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\) болно.
Эсрэгээр (b)-ээс \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) нь \(E\)-ийг агуулсан хаалттай дэд орон зай тул \(\overline{E} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\) болно. Тиймээс \(\operatorname{span}(\overline{E}) \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\) болж \(\overline{\operatorname{span}}(E)\) хаалттай тул \(\overline{\operatorname{span}(\overline{E})} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\) болно.
Тиймээс \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\) болно.
Дараах теорем нь хаалттай дэд орон зайн ач холбогдлыг тайлбарлана. Энэ теоремд "хаалттай" нөхцлийг хассан бол үр дүн цаашид биелэхгүй байж болно.
Теорем 6. (Риесийн туслах лемм)
\(X\) нь нормтой векторын орон зай бөгөөд \(Y\) нь \(Y \neq X\) байх \(X\)-ийн хаалттай дэд орон зай, \(\alpha\) нь \(0 < \alpha < 1\) байх бодит тоо байг. Тэгвэл \(\|x_\alpha\| = 1\) бөгөөд бүх \(y \in Y\)-ийн хувьд \(\|x_\alpha - y\| > \alpha\) хангах \(x_\alpha \in X\) байна.
Батламж
\(Y \neq X\) тул \(x \in X \setminus Y\) байх цэг \(x\) байна. Мөн \(Y\) хаалттай олонлог тул \[d = \inf\{\|x - z\| \,\vert\, z \in Y\} > 0\] болно. Тиймээс \(0 < \alpha < 1\) тул \(d < d\alpha^{-1}\) болно. Тиймээс \(\|x - z\| < d\alpha^{-1}\) хангах \(z \in Y\) байна. \[x_\alpha = \frac{x - z}{\|x - z\|}\] гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(\|x_\alpha\| = 1\) бөгөөд ямар ч \(y \in Y\)-ийн хувьд
\[\begin{aligned} \|x_\alpha - y\| &= \left\|\frac{x - z}{\|x - z\|} - y\right\| \\[6pt] &= \left\|\frac{x}{\|x - z\|} - \frac{z}{\|x - z\|} - y\right\| \\[6pt] &= \frac{1}{\|x - z\|}\left\|x - z - \|x - z\|y\right\| \end{aligned}\] болно. \(Y\) нь дэд орон зай тул \(z + \|x - z\|y \in Y\) болно. Тиймээс \(d\)-ийн тодорхойлолтоор \[\|x - (z + \|x - z\|y)\| \geq d\] болно. Тиймээс \[\begin{aligned} \|x_\alpha - y\| &= \frac{\|x - (z + \|x - z\|y)\|}{\|x - z\|} \\ &\geq \frac{d}{\|x - z\|} > \frac{d}{d\alpha^{-1}} = \alpha \end{aligned}\] болно. Тиймээс ямар ч \(y \in Y\)-ийн хувьд \(\|x_\alpha - y\| > \alpha\) болно.
Теорем 7. (Хязгааргүй хэмжээтэй хаалттай бөмбөрцгийн компакт бус байдал)
\(X\) нь хязгааргүй хэмжээтэй нормтой векторын орон зай бол хоёр олонлог \[\begin{aligned} D &= \{x \in X \,\vert\, \|x\| \leq 1\} ,\\[6pt] K &= \{x \in X \,\vert\, \|x\| = 1\} \end{aligned}\] аль нь ч компакт биш байна.
Батламж
\(x_1 \in K\) байг. \(X\) хязгааргүй хэмжээтэй тул \(\operatorname{span}\{x_1\} \neq X\) бөгөөд \(\operatorname{span}\{x_1\}\) хязгаартай хэмжээтэй тул \(\operatorname{span}\{x_1\}\) хаалттай байна. Тиймээс Риесийн туслах леммээс ямар ч \(\alpha \in \mathbb{F}\)-ийн хувьд \[\|x_2 - \alpha x_1\| \geq \frac{3}{4}\] хангах \(x_2 \in K\) байна. Ижлээр \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\} \neq X\) бөгөөд \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\}\) хязгаартай хэмжээтэй тул \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\}\) хаалттай байна. Тиймээс Риесийн туслах леммээс ямар ч \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\)-ийн хувьд \[\|x_3 - \alpha x_1 - \beta x_2\| \geq \frac{3}{4}\] хангах \(x_3 \in K\) байна.
Ийм аргаар үргэлжлүүлэхэд \(n \neq m\) үед \[\|x_n - x_m\| \geq \frac{3}{4}\] хангах \(K\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\) олно. Энэ дараалал нийлэх дэд дараалалтай байж чадахгүй тул \(D\) болон \(K\) аль нь ч компакт биш байна.
Компакт байдал нь маш хэрэгтэй зайны орон зайн шинж чанар юм. Бид хязгаартай хэмжээтэй нормын орон зайд хязгаартай бөгөөд хаалттай бүх олонлог компакт болохыг үзсэн. Гэхдээ теорем 7-оос харахад хичээл татсан байдлаар хязгааргүй хэмжээтэй нормын орон зайд хязгаартай хэмжээтэй орон зайшиг компакт олонлог тийм ч олон биш байна. Энэ нь хязгаартай хэмжээтэй нормын орон зай болон хязгааргүй хэмжээтэй нормын орон зайн зайны орон зайн бүтцийн хоорондын гол ялгаа юм. Тиймээс хэмжээ хязгааргүй үед хэрэгтэй янз бүрийн шинж чанар нь зөвхөн бүрэн орон зайд л гарч ирэх магадлал өндөр байна.
Тодорхойлолт 8. (Банахын орон зай)
\(X\) нь нормтой векторын орон зай байг. Хэрэв \(X\)-ийн нормоос үүдэн гарсан зайн хувьд зайны орон зай \(X\) бүрэн байх үед нормын орон зай \(X\)-ийг Банахын орон зай (Banach space) гэж нэрлэнэ.
Өмнөх нийтлэлд үзсэн нормтой векторын орон зайн олон жишээ нь Банахын орон зай юм. Үүнийг дараах байдлаар нэгтгэнэ.
Теорем 9. (Ихэвчлэн хэрэглэгддэг Банахын орон зай)
- Бүх хязгаартай хэмжээтэй нормтой векторын орон зай нь Банахын орон зай юм.
- \(X\) нь компакт зайны орон зай бол \(C_{\mathbb{F}}(X)\) нь Банахын орон зай юм.
- \((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай бол \(1 \leq p \leq \infty\)-ийн хувьд \(L^p(X)\) нь Банахын орон зай юм.
- \(1 \leq p \leq \infty\)-ийн хувьд \(\ell^p\) нь Банахын орон зай юм.
- \(X\) нь Банахын орон зай бөгөөд \(Y\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай бол \(Y\) нь Банахын орон зай болох нь \(Y\) нь \(X\)-д хаалттай байхтай зэрэг юм.
Батламж
(a), (b), (c) нь өмнөх нийтлэлд батлагдсан.
(d) нь \(\mathbb{N}\)-д тоолуурын хэмжээ өгсөн үед (c)-аас үүдэн биелнэ.
(e) \(Y\) нь норм өгөгдсөн дэд орон зай тул \(Y\) нь Банахын орон зай болох нь \(Y\) бүрэн байхтай зэрэг юм. Гэхдээ бүрэн зайны орон зайн дэд олонлог нь зөвхөн хаалттай байх үедээ л бүрэн байдаг. Тиймээс \(Y\) нь Банахын орон зай болох нь \(Y\) нь \(X\)-д хаалттай байхтай зэрэг юм.
Бүрэн байдал хэр чухал үүрэг гүйцэтгэдгийг баталгаажуулах зорилгоор үндсэн шинжилгээ судлалд үзсэн үнэмлэхүй нийлэх цувааны шинж чанарыг Банахын орон зайд ерөнхийлсөн үр дүнг үзье.
Тодорхойлолт 10. (Цувааны нийлэл)
\(X\) нь нормын орон зай бөгөөд \(\{x_k\}\) нь \(X\)-ийн дараалал байг. Эерэг бүхэл тоо \(n\) бүрийн хувьд \[s_n = \sum_{k=1}^n x_k\] нь дарааллын \(n\) дэх хэсэгчилсэн нийлбэр байг. Цуваа \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\) нийлнэ (converge) гэдэг нь \(\lim_{n \to \infty} s_n\) нь \(X\)-д байдаг гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд \[\sum_{k=1}^{\infty} x_k = \lim_{n \to \infty} s_n\] гэж тодорхойлно.
Теорем 11. (Банахын орон зайд цувааны үнэмлэхүй нийлэл)
\(X\) нь Банахын орон зай бөгөөд \(\{x_n\}\) нь \(X\)-ийн дараалал байг. Хэрэв цуваа \(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\) нийлэх бол цуваа \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\) ч мөн нийлэнэ.
Батламж
\(\epsilon > 0\) бөгөөд \(s_n = \sum_{k=1}^n x_k\) нь цувааны \(n\) дэх хэсэгчилсэн нийлбэр байг.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\) нийлэх тул \(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\)-ийн хэсэгчилсэн нийлбэр нь Кошийн дараалал болно. Тиймээс \(N\in\mathbb{N}\) байж \(m > n \geq N\) үед \(\sum_{k=n+1}^{m} \|x_k\| < \epsilon\) хангана. Ийм \(N\)-ийн хувьд гурвалжны тэнцэтгэл бус байдлаас \(m > n \geq N\) үед \[\|s_m - s_n\| = \left\|\sum_{k=n+1}^{m} x_k\right\| \leq \sum_{k=n+1}^{m} \|x_k\| < \epsilon\] биелнэ. Тиймээс \(\{s_n\}\) нь Кошийн дараалал болно.
\(X\) бүрэн тул \(\{s_n\}\) нийлэнэ. Өөрөөр хэлбэл \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\) нийлэнэ.