Векторын орон зайд норм (norm) тодорхойлбол векторын уртыг авч үзэх боломжтой болно. Гэхдээ Евклидийн орон зай \(\mathbb{R}^2\) эсвэл \(\mathbb{R}^3\)-д харж болохоор векторын геометрийн шинж чанар зөвхөн урт байдаггүй. Хэрэв \(x = (x_1,\,x_2,\,x_3)\) болон \(y = (y_1,\,y_2,\,y_3)\) нь \(\mathbb{R}^3\)-ийн вектор бол тэдгээрийн хоорондын өнцөг \(\theta\)-ийг дотоод үржвэр \[\langle x,\,y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = \|x\|\|y\|\cos\theta\] ашиглан олж болно. Энд \[\begin{aligned} \|x\| &= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{\langle x,\,x \rangle} , \\[6pt] \|y\| &= \sqrt{\langle y,\,y \rangle} \end{aligned}\] нь тус тус \(x\) болон \(y\)-ийн урт юм. Евклидийн орон зайд хэрэглэгддэг дотоод үржвэр нь маш хэрэгтэй ойлголт учир үүнийг илүү олон янзын орон зайд өргөжүүлэхийг зорино.
Тодорхойлолт 1. (Бодит векторын орон зай дахь дотоод үржвэр)
\(X\)-ийг бодит векторын орон зай байг. \(X\) дэх дотоод үржвэр (inner product) нь функц \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{R}\) бөгөөд энэ функц ямар ч \(x,\,y,\,z \in X\) болон ямар ч \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}\)-ийн хувьд дараах шинж чанарыг хангадаг гэсэн үг юм.
- \(\langle x,\,x \rangle \geq 0\)
- \(\langle x,\,x \rangle = 0\) байх шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(x = 0\) байх юм.
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,z \rangle = \alpha\langle x,\,z \rangle + \beta\langle y,\,z \rangle\)
- \(\langle x,\,y \rangle = \langle y,\,x \rangle\)
Жишээ 2. (Бодит Евклидийн орон зайн стандарт дотоод үржвэр)
Функц \(\langle·,\,·\rangle : \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}\)-ийг \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k x_n \, y_n\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(\mathbb{R}^k\) дэх дотоод үржвэр болно. Энэ дотоод үржвэрийг \(\mathbb{R}^k\) дэх стандарт дотоод үржвэр (standard inner product) гэж нэрлэнэ.
Комплекс векторын орон зайд дотоод үржвэр тодорхойлохдоо зарим өөрчлөлт хийх шаардлагатай. \(\mathbb{C}^3\)-ийг бодож жишээ 2-тэй төстэйгөөр дараах томъёог бодоё. \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^3 x_n \, y_n .\] \(x,\,y \in \mathbb{C}^3\) буюу комплекс вектор \(x,\) \(y\)-ийн хувьд \[\langle x,\,x \rangle = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\] нь бодит тоо биш байж болох ба эерэг тоо биш байж болно. Тиймээс тодорхойлолт 1-ийн шинж чанар (a) биелэхгүй байж болно.
Мөн \(x\) нь комплекс вектор үед \(\langle x,\,x \rangle\) бодит тоо биш байж болохоор энэ утгыг \(x\)-ийн урт гэж тайлбарлахад хэцүү байна. Харин \(|x_n|^2 = x_n \overline{x_n}\) нь \(0\)-ээс их эерэг бодит тоо тул \(\mathbb{C}^3\) дэх дотоод үржвэрийг \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^3 x_n \overline{y_n}\] гэж тодорхойлбол ийм асуудлаас зайлсхийж болно. Гэхдээ тодорхойлолтод \(y\) хувьсагчийн комплекс хослолоос болж комплекс орон зай дахь дотоод үржвэрийн тодорхойлолтыг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 3. (Комплекс векторын орон зай дахь дотоод үржвэр)
\(X\)-ийг комплекс векторын орон зай байг. \(X\) дэх дотоод үржвэр нь функц \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{C}\) бөгөөд энэ функц ямар ч \(x,\,y,\,z \in X\) болон ямар ч \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{C}\)-ийн хувьд дараах шинж чанарыг хангадаг гэсэн үг юм.
- \(\langle x,\,x \rangle \in \mathbb{R}\) бөгөөд \(\langle x,\,x \rangle \geq 0\) байна.
- \(\langle x,\,x \rangle = 0\) байх шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(x = 0\) байх юм.
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,z \rangle = \alpha\langle x,\,z \rangle + \beta\langle y,\,z \rangle\)
- \(\langle x,\,y \rangle = \overline{\langle y,\,x \rangle}\)
Бодит Евклидийн орон зайтай адилаар комплекс Евклидийн орон зайд ч стандарт дотоод үржвэр тодорхойлно.
Жишээ 4. (Комплекс Евклидийн орон зайн стандарт дотоод үржвэр)
Функц \(\langle·,\,·\rangle : \mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^k \to \mathbb{C}\)-ийг \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k x_n \overline{y_n}\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(\mathbb{C}^k\) дэх дотоод үржвэр болно. Энэ дотоод үржвэрийг \(\mathbb{C}^k\) дэх стандарт дотоод үржвэр гэж нэрлэнэ.
Одоо дотоод үржвэрийн орон зайг дараах байдлаар тодорхойлох нь байгалийн зүйтэй.
Тодорхойлолт 5. (Дотоод үржвэрийн орон зай)
\(X\) нь бодит векторын орон зай эсвэл комплекс векторын орон зай байг. \(X\)-д дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) тодорхойлогдсон үед \(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай (inner product space) гэж нэрлэнэ.
Нарийн ярвал дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) бүхий векторын орон зай \(X\) болон өөр дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle'\) бүхий ижил орон зайг ялгах хэрэгтэй. Гэхдээ ямар векторын орон зайд ямар дотоод үржвэр хэрэглэгдэж байгаа нь үргэлж тодорхой байх тул онцгой шаардлагатай тохиолдол биш бол 'дотоод үржвэрийн орон зай' гэхэд ямар нэгэн дотоод үржвэр өгөгдсөн бодит векторын орон зай эсвэл комплекс векторын орон зай гэж ойлгох хэрэгтэй. Тусгайлан дурдаагүй бол одооноос эхлэн \(\mathbb{R}^k\) болон \(\mathbb{C}^k\) нь үргэлж стандарт дотоод үржвэр бүхий дотоод үржвэрийн орон зайг илэрхийлнэ.
Бодит векторын орон зай болон комплекс векторын орон зай дахь дотоод үржвэрийн хоорондын цорын ганц ялгаа нь тодорхойлолт 3-ийн шинж чанар (d) дахь хослол комплекс тоонд байна. Адилхан байдлаар доор авч үзэх ихэнх үр дүн болон батламж нь хослол комплекс тооны шинж чанарыг ашигладаг гэдгээс бусад тохиолдолд бодит векторын орон зай болон комплекс векторын орон зай хоёуланд адилхан хэрэглэгддэг. Тиймээс цаашид тусгайлан заагаагүй бол векторын орон зай гэхэд бодит векторын орон зай болон комплекс векторын орон зай хоёуланг авч үзэх ба шаардлагатай тохиолдолд томъёог өрнүүлэх явцад хослол комплекс тоог оруулж, бодит векторын орон зайн тохиолдолд үүнийг үл тоомсорлоно.
Дараах теорем нь дотоод үржвэр ямар ч хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайд тодорхойлогдож болохыг тайлбарлана.
Жишээ 6. (Хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай дахь дотоод үржвэр)
\(X\) нь суурь \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) бүхий \(k\) хэмжээтэй векторын орон зай байг. \(x,\,y \in X\)-ийг \[x = \sum_{n=1}^k \lambda_n e_n , \quad y = \sum_{n=1}^k \mu_n e_n\] гэж илэрхийлэхэд функц \(\langle·,\,·\rangle : X \times X \to \mathbb{F}\)-ийг \[\langle x,\,y \rangle = \sum_{n=1}^k \lambda_n \overline{\mu_n}\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(X\) дэх дотоод үржвэр болно.
Дээрх дотоод үржвэр нь \(X\)-ийн сууриыг юугаар сонгохоос хамаарч өөр өөр болохыг анхаарах хэрэгтэй.
Одоо \(L^p(X)\) орон зай дахь дотоод үржвэрийг үзье. \(f,\,g \in L^2(X)\) байг. Тэгвэл Хөлдерийн тэнцэтгэл бус байдлын \(p=q=2\) гэж тавиад \(L^2 (X)\)-ийн тодорхойлолтыг ашиглахад \[\begin{gathered} \int_X |f\overline{g}| \, d\mu \leq \left(\int_X |f|^2 \, d\mu\right)^{1/2} \left(\int_X |g|^2 \, d\mu\right)^{1/2} < \infty \end{gathered}\] гэж олно. Өөрөөр хэлбэл \(f\overline{g} \in L^1(X)\) болно. Тиймээс \(L^p(X)\) орон зай дахь дотоод үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Жишээ 7. (\(L^p\)-ийн стандарт дотоод үржвэр)
\(f,\,g \in L^2(X)\)-ийн хувьд функц \(\langle·,\,·\rangle : L^2(X) \times L^2(X) \to \mathbb{F}\)-ийг \[\langle f,\,g \rangle = \int_X f\overline{g} \, d\mu\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(L^2(X)\) дэх дотоод үржвэр болно. Энэ дотоод үржвэрийг \(L^2(X)\) дэх стандарт дотоод үржвэр гэж нэрлэнэ.
Батламж
\(\langle \cdot , \cdot \rangle\) нь дотоод үржвэрийн тодорхойлолтыг бүгдийг хангадгийг харуулъя. Эхлээд \[\langle f,\,f \rangle = \int_X |f|^2 \, d\mu \geq 0\] бөгөөд \[\langle f,\,f \rangle = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \int_X |f|^2 \, d\mu = 0 \quad\Leftrightarrow f = 0 \,\, \text{a.e.}\] болно. Дараа нь \[\begin{aligned} \langle \alpha f + \beta g,\,h \rangle &= \int_X (\alpha f + \beta g)\overline{h} \, d\mu \\[6pt] &= \alpha \int_X f\overline{h} \, d\mu + \beta \int_X g\overline{h} \, d\mu \\[6pt] &= \alpha\langle f,\,h \rangle + \beta\langle g,\,h \rangle \end{aligned}\] болно. Эцэст нь \[\langle f,\,g \rangle = \int_X f\overline{g} \, d\mu = \int_X \overline{\overline{f}g} \, d\mu = \overline{\int_X \overline{f}g \, d\mu} = \overline{\langle g,\,f \rangle}\] болно. Тиймээс \(\langle \cdot ,\, \cdot \rangle\) нь дотоод үржвэрийн тодорхойлолтыг бүгдийг хангана.
\(\mathbb{N}\)-д тоолуурын хэмжээг бодож дээрх үр дүнг \(\ell^p\)-д хэрэглэхэд дараах үр дүнг олно.
Жишээ 8. (\(\ell^p\)-ийн стандарт дотоод үржвэр)
\(a = \{a_n\},\,b = \{b_n\} \in \ell^2\) бол \(\{a_n\overline{b_n}\} \in \ell^1\) болно. Энэ үед функц \(\langle·,\,·\rangle : \ell^2 \times \ell^2 \to \mathbb{F}\)-ийг \[\langle a,\,b \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\overline{b_n}\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(\ell^2\) дэх дотоод үржвэр болно. Энэ дотоод үржвэрийг \(\ell^2\) дэх стандарт дотоод үржвэр гэж нэрлэнэ.
Дараах жишээ нь дотоод үржвэрийн орон зайн дэд орон зай болон үржвэрийн орон зай ч мөн байгалийн аргаар тодорхойлогдсон дотоод үржвэрээр дамжуулан дотоод үржвэрийн орон зай болохыг харуулна.
Жишээ 9. (Дотоод үржвэрийн орон зайн дэд орон зай)
\(X\) нь дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) бүхий дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(S\)-ийг \(X\)-ийн дэд орон зай байг. Функц \(\langle·,\,·\rangle\)-ийн тодорхойлолтын мужийг \(S\times S\) болгон хязгаарласан функцийг \(\langle·,\,·\rangle_S\) гэвэл \(\langle·,\,·\rangle_S\) нь \(S\) дэх дотоод үржвэр болно.
Дээрх үүднээс \(S\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-ийн дэд орон зай гэж нэрлэнэ. Өөрөөр хэлбэл дотоод үржвэрийн орон зайн дэд орон зайг хэлэхэд тэр дэд орон зай ч мөн дээрх жишээтэй адил дотоод үржвэр бүхий дотоод үржвэрийн орон зай гэж үзнэ. Ялангуяа \(X\)-ийн дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) болон \(S\)-ийн дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle _S\) нь өөр функц боловч \(S\)-ийн векторын хувьд хоёр дотоод үржвэр үргэлж ижил утгатай тул \(S\)-ийн дотоод үржвэрийг ч \(X\)-ийн дотоод үржвэртэй адилаар \(\langle·,\,·\rangle\) гэж тэмдэглэхээр болно.
Жишээ 10. (Дотоод үржвэрийн орон зайн үржвэрийн орон зай)
\(X\) болон \(Y\) нь тус тус дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle_1\) болон \(\langle·,\,·\rangle_2\) бүхий дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(Z = X \times Y\)-ийг үржвэрийн орон зай байг. Функц \(\langle·,\,·\rangle : Z \times Z \to \mathbb{F}\)-ийг \[\langle(u,\,v),\,(x,\,y)\rangle = \langle u,\,x\rangle_1 + \langle v,\,y\rangle_2\] гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(Z\) дэх дотоод үржвэр болно.
Дээрх жишээнд үзсэн дотоод үржвэрээс үүдэн гарах норм нь дараах хэлбэртэй болно. \[\|(x,\,y)\| = \sqrt{\|x\|_1^2 + \|y\|_2^2} \tag{1}.\] Энд \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\) нь тус тус дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle_1\), \(\langle·,\,·\rangle_2\)-оос үүдэн гарсан норм юм. Нөгөө талаар норм \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\) бүхий хоёр орон зайн үржвэрийн орон зай дахь нормыг дараах хэлбэрээр тодорхойлж болно. \[\|(x,\,y)\| = \|x\|_1 + \|y\|_2 .\tag{2}\] Үржвэрийн орон зай дахь хоёр норм адилхан биш боловч хоорондоо зэрэг тул шинжилгээний шинж чанарыг хэлэлцэхэд алийг нь ашиглаж ч хамаагүй. Гэхдээ (1)-ийн норм нь квадрат язгууртай учир авч үзэхэд арай төвөгтэй байдаг. Тиймээс ерөнхийдөө үржвэрийн орон зайг авч үзэхэд зөвхөн нормын шинж чанар л хэрэгтэй бол (2)-ийн нормыг ашигладаг ч дотоод үржвэр ч холбоотой тохиолдолд үүдэн гарсан норм болох (1)-ийг ашиглах хэрэгтэй.
Одоо дотоод үржвэрийн алгебрийн шинж чанарыг үзье.
Теорем 11. (Дотоод үржвэрийн алгебрийн шинж чанар)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай, \(x,\,y,\,z \in X\), \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\) байг. Тэгвэл дараах нь биелнэ.
- \(\langle 0,\,y \rangle = \langle x,\,0 \rangle = 0\)
- \(\langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle = \overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \overline{\beta}\langle x,\,z \rangle\)
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,\alpha x + \beta y \rangle = |\alpha|^2\langle x,\,x \rangle + \alpha\overline{\beta}\langle x,\,y \rangle + \beta\overline{\alpha}\langle y,\,x \rangle + |\beta|^2\langle y,\,y \rangle\)
Батламж
\(x,\,y,\,z \in X\), \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\) байг.
- \(\langle 0,\,y \rangle = \langle 0 \cdot 0,\,y \rangle = 0\langle 0,\,y \rangle = 0 ,\)
\(\langle x,\,0 \rangle = \overline{\langle 0,\,x \rangle} = \overline{0} = 0 .\) - \(\langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle =\)\( \overline{\langle \alpha y + \beta z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha\langle y,\,x \rangle + \beta\langle z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha}\overline{\langle y,\,x \rangle} + \overline{\beta}\overline{\langle z,\,x \rangle} =\)\( \overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \overline{\beta}\langle x,\,z \rangle .\)
- \(\langle \alpha x + \beta y,\,\alpha x + \beta y \rangle =\)\( \alpha\langle \alpha x + \beta y,\,x \rangle + \beta\langle \alpha x + \beta y,\,y \rangle = \)\( \alpha\overline{\alpha}\langle x,\,x \rangle + \alpha\overline{\beta}\langle y,\,x \rangle + \beta\overline{\alpha}\langle x,\,y \rangle + \beta\overline{\beta}\langle y,\,y \rangle .\) Энд \(\alpha\overline{\alpha} = |\alpha|^2\), \(\beta\overline{\beta} = |\beta|^2\)-ийг холбоход хүссэн үр дүнг олно.
Евклидийн орон зайд дотоод үржвэрийг ашиглан байгалийн байдлаар норм тодорхойлдог. Ерөнхий дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-д ч ижил аргаар норм тодорхойлж болохыг харуулъя.
Теорем 12. (Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус байдал, үүдэн гарсан норм)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай байг. Мөн \(x,\,y \in X\) байг.
- \(|\langle x,\,y \rangle|^2 \leq \langle x,\,x \rangle\langle y,\,y \rangle\)
- Функц \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\)-ийг \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle}\) гэж тодорхойлбол энэ функц нь \(X\) дэх норм болно.
Батламж
- \(x = 0\) эсвэл \(y = 0\) бол мэдээжийн хэрэг тул хоёулаа тэг вектор биш гэж үзье.
Теорем 11-ийн (c)-д \[\alpha = -\langle x,\,y \rangle/\langle x,\,x \rangle, \quad \beta = 1\] гэж тавиход дараах үр дүнг олно. \[\begin{aligned} 0 &\leq \langle \alpha x + y,\,\alpha x + y \rangle \\[6pt] &= \left|\frac{\langle x,\,y \rangle}{\langle x,\,x \rangle}\right|^2\langle x,\,x \rangle - \frac{\langle x,\,y \rangle\langle x,\,y \rangle}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{\overline{\langle x,\,y \rangle}\overline{\langle y,\,x \rangle}}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle \\[6pt] &= \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} - \frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle \\[6pt] &= -\frac{|\langle x,\,y \rangle|^2}{\langle x,\,x \rangle} + \langle y,\,y \rangle . \end{aligned}\] Тиймээс \(|\langle x,\,y \rangle|^2 \leq \langle x,\,x \rangle\langle y,\,y \rangle\) болно. - Дээрх дотоод үржвэрийн шинж чанарыг ашиглан \(\|x\|\)-ийн тодорхойлолт нормын бүх тодорхойлолтын шинж чанарыг хангадгийг баталж болно.
Эхлээд \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle} \geq 0\) болно.
Дараа нь \[\|x\| = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{\langle x,\,x \rangle} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 0\] бөгөөд \[\|\alpha x\| = \sqrt{\langle \alpha x,\,\alpha x \rangle} = \sqrt{|\alpha|^2\langle x,\,x \rangle} = |\alpha|\|x\|\] болно. Мөн \[\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x,\,y \rangle + \|y\|^2 \\[6pt] & \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\[6pt] &= (\|x\| + \|y\|)^2 \end{aligned}\] болно.
Дээрх туслах леммд тодорхойлсон норм \(\|x\| = \sqrt{\langle x,\,x \rangle}\)-ийг дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\)-ээс үүдэн гарсан норм гэж нэрлэнэ. Дээрх туслах лемм нь дотоод үржвэрийн орон зайг үргэлж нормын орон зай гэж үзэж болохыг харуулна. Одооноос эхлэн дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-д норм ашиглах бүрт тэр нь үүдэн гарсан нормыг илэрхийлдэг гэж үзнэ. Өнөөг хүртэл тодорхойлсон стандарт норм болон дотоод үржвэрийн орон зай \(\mathbb{F}^k\), \(\ell^2\), \(L^2(X)\)-ийг үзэхэд орон зай бүрийн стандарт норм нь тэр орон зайн стандарт дотоод үржвэрээс үүдэн гардаг болохыг мэдэж болно.
Ийм уламжлалын дагуу теорем 12-ийн (a)-ийг дараах байдлаар дахин бичиж болно. \[|\langle x,\,y \rangle| \leq \|x\|\|y\| .\] Энэ тэнцэтгэл бус байдлыг Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус байдал гэж нэрлэнэ.
Бүх дотоод үржвэрийн орон зай нь дотоод үржвэрээс үүдэн гарсан нормтой байдаг. Гэхдээ бүх норм ямар нэгэн дотоод үржвэрээс үүдэн гарч чаддаггүй. Дотоод үржвэрээс үүдэн гарсан норм нь ерөнхий нормын үгүй онцгой шинж чанартай байдаг. Энэ шинж чанарыг дараах теоремд танилцуулна.
Теорем 13. (Зэргэлдээ дөрвөлжний хууль ба туйлшралын тэгшитгэл)
\(X\) нь дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) бүхий дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд үүдэн гарсан нормыг \(\|\cdot\|\) байг. Тэгвэл ямар ч \(x,\,y \in X\)-ийн хувьд дараах нь биелнэ.
- \(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)\)
- \(X\) нь бодит векторын орон зай үед \(4\langle x,\,y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\) болно.
- \(X\) нь комплекс векторын орон зай үед \(4\langle x,\,y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + \imaginaryI\|x + \imaginaryI y\|^2 - \imaginaryI\|x - \imaginaryI y\|^2\) болно.
Энд (a)-ийг зэргэлдээ дөрвөлжний хууль гэж нэрлэж (b) болон (c)-ийг туйлшралын тэгшитгэл гэж нэрлэнэ.
Өгөгдсөн нормтой векторын орон зайд норм нь дотоод үржвэрээс үүдэн гараагүй болохыг харуулах аргын нэг нь тэр норм зэргэлдээ дөрвөлжний хуулийг хангахгүй болохыг харуулах явдал юм.
Жишээ 14. (Дотоод үржвэрээс үүдэн гардаггүй норм)
Орон зай \(C[0,\,1]\)-ийн стандарт норм нь дотоод үржвэрээс үүдэн гардаггүй.
Батламж
Функц \(f,\,g \in C[0,\,1]\)-ийг \(x \in [0,\,1]\)-ийн хувьд \[f(x) = 1 ,\quad g(x) = x\] гэж тодорхойлъё. \(C[0,\,1]\)-ийн стандарт нормын тодорхойлолтоор \[\begin{aligned} \|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 &= 4 + 1 = 5 \\[6pt] 2(\|f\|^2 + \|g\|^2) &= 2(1 + 1) = 4 \end{aligned}\] болно. Өөрөөр хэлбэл зэргэлдээ дөрвөлжний хууль биелэхгүй байна. Тиймээс энэ норм дотоод үржвэрээс үүдэн гардаггүй.
Дотоод үржвэрийн орон зай \(X\) нь нормын орон зай тул тэр нормоос үүдэн гарсан зайтай зайны орон зай болно. Тиймээс дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-ийг авч үзэхэд энэ дотоод үржвэрээс үүдэн гарах норм болон тэр нормоос үүдэн гарах зайг хамт бодохоор болно. Энэ зайн чухал шинж чанар нь дотоод үржвэр \(\langle·,\,·\rangle\) нь тасралтгүй функц байдаг явдал юм.
Теорем 15. (Дотоод үржвэрийн тасралтгүй байдал)
\(X\) нь дотоод үржвэрийн орон зай байг. Мөн \(\{x_n\}\) болон \(\{y_n\}\) нь \(X\) дэх нийлэх дараалал бөгөөд \[\lim_{n \to \infty} x_n = x, \quad \lim_{n \to \infty} y_n = y\] байг. Тэгвэл \[\lim_{n \to \infty} \langle x_n,\,y_n \rangle = \langle x,\,y \rangle\] болно.
Батламж
Гурвалжны тэнцэтгэл бус байдал болон Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус байдлаас дараах нь биелнэ. \[\begin{aligned} |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x,\,y \rangle| &= |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x_n,\,y \rangle + \langle x_n,\,y \rangle - \langle x,\,y \rangle|\\[6pt] &\leq |\langle x_n,\,y_n \rangle - \langle x_n,\,y \rangle| + |\langle x_n,\,y \rangle - \langle x,\,y \rangle| \\[6pt] &= |\langle x_n,\,y_n - y \rangle| + |\langle x_n - x,\,y \rangle| \\[6pt] &\leq \|x_n\|\|y_n - y\| + \|x_n - x\|\|y\| . \end{aligned} \] Дараалал \(\{x_n\}\) нийлэх тул \(\|x_n\|\) хязгаартай байна. Тиймээс дээрх тэнцэтгэл бус байдлын хамгийн сүүлийн илэрхийлэл нь \(n \to \infty\) үед \(0\) рүү нийлэнэ. Тиймээс \[\lim_{n \to \infty} \langle x_n,\,y_n \rangle = \langle x,\,y \rangle\] болно.