Энэ нийтлэлд норм орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судлая. Аль хэдийн өмнөх нийтлэлд комплекс векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судалсан ба энэ нийтлэлд судлах теорем нь өмнөх нийтлэлийн теоремын тусгай тохиолдол боловч норм орон зай дэх Хан-Банахын теорем нь олон янзын хэрэглээний үйл явцад ихэвчлэн ашиглагддаг тул тусад нь судлах нь зүйтэй.
Лемм 1.
\(X\) нь бодит векторын орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн жинхэнэ дэд векторын орон зай байг. \(p\) нь \(X\) дэх дэд шугаман функционал, \(f_W\) нь \(W\) дэх шугаман функционал бөгөөд бүх \(w \in W\)-ийн хувьд \(f_W(w) \leq p(w)\)-г хангана гэж үзье. Мөн \(z_1 \not\in W\) ба \[W_1 = \text{Sp } \{z_1\} \oplus W = \{\alpha z_1 + w \,\vert\, \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W\}\] гэж үзье. Тэгвэл \(\xi_1 \in \mathbb{R}\) ба \(f_{W_1} : W_1 \rightarrow \mathbb{R}\) оршин байж дурын \(\alpha \in \mathbb{R}\) ба \(w\in W\)-ийн хувьд \[f_{W_1}(\alpha z_1 + w) = \alpha \xi_1 + f_W(w) \leq p(\alpha z_1 + w), \quad \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W \tag{1}\] -г хангана. Энэ үед \(f_{W_1}\) нь \(W_1\) дэх шугаман ба дурын \(w\in W\)-ийн хувьд \(f_{W_1}(w) = f_W(w)\) тул \(f_{W_1}\) нь \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц байна.
Нотолгоо
Дурын \(u,\,v \in W\)-ийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[f_W(u) + f_W(v) = f_W(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u - z_1) + p(v + z_1).\] Тиймээс \[f_W(u) - p(u - z_1) \leq -f_W(v) + p(v + z_1)\] байна. Иймээс \[\xi_1 = \inf_{v \in W} \{-f_W(v) + p(v + z_1)\} > -\infty\] ба дурын \(u,\,v\in W\)-ийн хувьд \[-\xi_1 + f_W(u) \leq p(u - z_1), \quad \xi_1 + f_W(v) \leq p(v + z_1)\] байна. Эхний тэнцэтгэл бишийг \(\beta > 0\)-ээр үржүүлж \(\alpha = -\beta\), \(w = \beta u\) гэж үзвэл \(\alpha < 0\) үед (1)-г олно. Ижил аргаар дээрх хоёр дахь тэнцэтгэл бишийг ашиглавал \(\alpha > 0\) үед (1)-г олно. \(\alpha = 0\) үед \(p\)-ийн тодорхойлолтоор (1) биелнэ.
Одоо норм орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судлая. Үндсэндээ энэ теоремын нотолгоо нь өмнөх нийтлэлд судалсан комплекс векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремын дагавар болгон шууд олж болно. Гэхдээ энд \(X\) нь ялгаатай орон зай байх тусгай тохиолдлын нотолгоог судлая. Энэ нотолгоо харьцангуй энгийн бөгөөд ерөнхий тохиолдлын нотолгоо хэрхэн хөгжих болохыг харуулдаг учраас юм.
Теорем 2. (Норм орон зай дэх Хан-Банахын теорем)
\(X\) нь бодит норм орон зай эсвэл комплекс норм орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай байг. Дурын \(f_W \in W'\)-ийн хувьд \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангах \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц \(f_X \in X'\) оршин байна.
Нотолгоо
Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(p\) нь \(X\) дэх хагас норм байна. \(W \neq X\) ба \(W\) хаалттай гэж үзэх нь ерөнхий байдлыг алдуулахгүй. Хэрэв \(W = X\) бол нотлох зүйл байхгүй ба \(W\) хаалттай биш бол \(f_W\) нь тасралтгүй байдлыг хадгалан \(\lVert f_{\overline{W}} \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангаж \(\overline{W}\) руу өргөтгөгддөг учраас юм.
Эхлээд бодит норм орон зайн тохиолдлыг нотолж, энэ үр дүнг ашиглан комплекс норм орон зайн тохиолдлыг нотлоё. Одооноос \(X\) нь ялгаатай орон зай гэж үзье.
- \(X\) нь бодит норм орон зай гэж үзье. (1)-д бүтээсэн функцэд \(p\)-ийн хэлбэртэй гэдэг нөхцлийг нэмвэл лемм 1-д бүтээсэн өргөтгөсөн функц \(f_1\) нь \(f_1 \in W_1'\) ба \(\lVert f_{W_1} \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангана. Одоо \(X \setminus W\)-д дараах шинж чанартай нэгж вектор \(\{z_n\}\)-ийн дараалал оршин байна.
\[W_n = \operatorname{Sp} \{z_1,\,\ldots,\,z_n\} \oplus W , \quad n \geq 1 , \quad W_{\infty} = \operatorname{Sp} \{z_1,\,z_2,\,\ldots\} \oplus W\]
гэж тодорхойлвол \(n \geq 1\)-ийн хувьд \(z_{n+1} \not\in W_n\) ба \(X = \overline{W_{\infty}}\) эсвэл ямар нэгэн бүхэл тоо \(n\)-ийн хувьд \(X = W_n\) байна. Энэ тохиолдолд өргөтгөсөн функц \(f_X \in X'\)-г зүгээр л лемм 1-г \(n\) удаа хэрэглэж бүтээж болно.
\(W_0 = W\), \(f_0 = f_W\) гэж үзээд тохирох \(n \geq 0\)-ийн хувьд \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангах \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц \(f_n \in W_n'\) байна гэж үзье. Лемм 1-г \(f_n\)-д хэрэглэвэл \(\lVert f_{n+1} \rVert = \lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангах өргөтгөсөн функц \(f_{n+1} \in W_{n+1}'\)-г олно.
Одоо дурын \(n \geq 0\)-ийн хувьд \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангах өргөтгөсөн функц \(f_n \in W_n'\) оршин байна. Ийм функционалуудыг \(W_{\infty}\) руу өргөтгөж, дахин \(X\) руу өргөтгөж болохыг харуулья.
Дурын \(x \in W_{\infty}\)-ийн хувьд \(x \in W_{n(x)}\)-г хангах бүхэл тоо \(n(x)\) оршин байгаа тул бүх \(m \geq n(x)\)-ийн хувьд \(x \in W_m\) ба \(f_m(x) = f_{n(x)}(x)\) байна. Тиймээс \(f_{\infty}(x) = f_{n(x)}(x)\) гэж тодорхойлж болно. \(n \geq 0\) үед функционал \(f_n\)-ийн шинж чанараас \(f_{\infty}\) нь \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц ба \(\lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангахыг мэдэж болно. Цаашлаад \(X = \overline{W_{\infty}}\) тул \(f_{\infty}\) нь тасралтгүй байдлыг хадгалан \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)-г хангах өргөтгөсөн функц \(f_X \in X'\)-тай байна. Ингэснээр \(X\) нь бодит норм орон зай үед хүссэн үр дүнг олно. - \(X\) нь комплекс норм орон зай гэж үзье. Нотолгооны эхний хэсэг ба өмнөх нийтлэлийн лемм 9-г \(f_W \in W'\)-д хэрэглэвэл дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараахыг хангах комплекс шугаман функционал \(f_X \in X'\)-г олно. \[|f_X(x)| \leq p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert .\] Тиймээс \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\) байна.
Дээрх нотолгоонд \(X\) нь ялгаатай орон зай биш бол \(X = \overline{W_{\infty}}\)-г гаргахын тулд векторын дараалал \(z_1,\,z_2,\,\ldots\) оршдоггүй байж болно. Тиймээс дээрх теоремын нотолгоонд адилаар дарааллыг индукцээр бүтээх нь ерөнхийдөө ялгаатай биш орон зай \(X\)-г авч үзэж чадахгүй тул "транс хязгаарлагдмал индукц" гэх илүү нарийн хэрэгсэл хэрэгтэй.
Одоо теорем 2-г хэрэглэн олж болох хэдэн жишээг судлая. Одооноос \(X\) ба \(W\) нь теорем 2-ийн таамаглалыг хангана гэж тохиролцоё.
Теорем 3.
\(x \in X\) нь дараахыг хангана гэж үзье. \[\delta = \inf_{w \in W} \lVert x - w \rVert > 0 .\] Тэгвэл \(\lVert f \rVert = 1\), \(f(x) = \delta\) ба бүх \(w \in W\)-ийн хувьд \(f(w) = 0\)-г хангах \(f \in X'\) оршин байна.
Нотолгоо
Ерөнхий байдлыг алдуулахгүйгээр \(W\) хаалттай гэж үзэж болно. Хэрэв \(W\) хаалттай биш бол зүгээр л түүний хаалтаар солих бөгөөд энэ нь \(\delta\)-ийн утгыг өөрчлөхгүй. \(Y = \operatorname{Sp} \{x\} \oplus W\) гэж үзээд \(Y\) дэх шугаман функционал \(f_Y\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[f_Y(\alpha x + w) = \alpha \delta, \quad \alpha \in \mathbb{F},\,\,w \in W.\] Тэгвэл дараах тэнцэтгэл биш биелнэ. \[|f_Y(\alpha x + w)| = |\alpha| \delta \leq |\alpha| \lVert x \rVert + |\alpha|^{-1} \lVert w \rVert = \lVert \alpha x + w \rVert\] Иймээс \(f_Y \in Y'\) ба \(\lVert f_Y \rVert \leq 1\) байна.
Одоо \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\) болохыг нотлоё. Дурын \(\epsilon \in (0,\,1)\) өгөгдсөн гэж үзье. Ризийн леммоор \(y = \alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} \in Y\) оршин байж \(\lVert y \rVert = 1\) ба бүх \(w \in W\)-ийн хувьд \(\lVert y - w \rVert > 1 - \epsilon\)-г хангана. Тиймээс \(\delta\)-ийн тодорхойлолтоор дараахыг хангах \(w \in W\) оршин байна. \[1 - \epsilon < \lVert \alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} - w \rVert = |\alpha_{\epsilon}| \lVert x + \alpha_{\epsilon}^{-1} (w_{\epsilon} - w) \rVert < |\alpha_{\epsilon}| \delta(1 + \epsilon).\] Энэ тэнцэтгэл бишээс дараахыг олно. \[|f_Y(\alpha_{\epsilon} x + w_{\epsilon} - w)| = |\alpha_{\epsilon}| \delta > \frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}.\] Энд \(\epsilon\) нь дурын эерэг тоо тул \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\) биелнэ.
Одоо \(\lVert f_Y \rVert = 1\) тул теорем 2-оор \(f_Y\) нь \(\lVert f \rVert = 1\) байх өргөтгөсөн функц \(f \in X'\)-тай байна. Цаашлаад \(f\)-ийн тодорхойлолтоор \(f\) нь хүссэн бусад бүх шинж чанартай байна.
Теорем 3-аар дараах үр дүнг олно.
Дагавар 4.
Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд дараах зүйл биелнэ.
- \(\lVert f \rVert = 1\) ба \(f(x) = \lVert x \rVert\)-г хангах \(f \in X'\) оршин байна.
- \(\lVert x \rVert = \sup\{|f(x)| \,\vert\, f \in X',\,\lVert f \rVert = 1\} .\)
- \(x \neq y\) байх \(y \in X\) оршин байвал \(f(x) \neq f(y)\)-г хангах \(f \in X'\) оршин байна.
Дагавар 5.
\(x_1,\,\ldots,\,x_n \in X\) нь шугаман үл хамаарах бол \(f_j(x_k) = \delta_{jk}\), \(1 \leq j \leq n,\) \(1\leq k \leq n\)-г хангах \(f_1,\,\ldots,\,f_n \in X'\) оршин байна.
Дараа нь \(X\) ба \(X'\)-ийн "хэмжээ"-ний талаар дараах үр дүнг олно.
Теорем 6.
\(X'\) нь ялгаатай орон зай бол \(X\) ч ялгаатай орон зай байна.
Нотолгоо
\(B = \{f \in X' \,\vert\, \lVert f \rVert = 1\}\) гэж үзье. \(X'\) нь ялгаатай орон зай тул бүх элемент нь функционал ба \(B\) дэх нягт гаршил олонлог \[F = \{f_1,\,f_2,\,\ldots\} \subset B\] оршин байна. Тоо бүр \(n \geq 1\)-ийн хувьд \(\lVert w_n \rVert = 1\) ба \(f_n(w_n) \geq \frac{1}{2}\)-г хангах \(w_n\)-г сонгож \(W = \overline{\operatorname{Sp} \{w_1,\,w_2,\,\ldots\}}\) гэж үзье. Мөн \(W\) нь \(X\)-ийн жинхэнэ дэд орон зай гэж үзье. Тэгвэл теорем 4-ээр \(f \in B\) оршин байж бүх \(w \in W\)-ийн хувьд \(f(w) = 0\)-г хангана. Тэгвэл дурын \(n\ge 1\)-ийн хувьд дараахыг олно. \[\begin{aligned} \frac{1}{2} & \leq |f_n(w_n)| = |f_n(w_n) - f(w_n)| \\[6pt] &\leq \lVert f_n - f \rVert \lVert w_n \rVert = \lVert f_n - f \rVert, \quad n \geq 1 . \end{aligned}\] Энэ нь \(F\) нь \(B\) дэх нягт гэдэг баримттай зөрчилдөнө. Иймээс \(W = X\) байна. Ингэснээр \(\{w_1,\,w_2,\,\ldots\}\)-ийн хязгаарлагдмал шугаман хослолын олонлог нь рационал эсвэл комплекс рационал скалярын коэффициентээр \(X\) дэх гаршил нягт дэд олонлогийг үүсгэдэг тул \(X\) нь ялгаатай орон зай байна.
\(1 \leq p < \infty\) байх дурын \(p\)-ийн хувьд \(\ell^p\) нь ялгаатай орон зай боловч \(\ell^{\infty}\) нь ялгаатай орон зай биш байна. Энэ нь теорем 6-ийн нэг жишээ байхын зэрэгцээ теорем 6-ийн урвуу биелдэхгүй болохыг харуулах сөрөг жишээ ч байна. Учир нь \((\ell^1)'\) нь зайтай изоморфизмоор \(\ell^{\infty}\)-тэй изоморф юм. Цаашлаад теорем 6-аар \((\ell^{\infty})'\) нь ялгаатай орон зай биш тул \(\ell^1\) нь \((\ell^{\infty})'\)-тэй изоморф байж чадахгүй.