\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлогдсон векторын орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай байг. \(W\) дээр тодорхойлогдсон шугаман функционал \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)-г авч үзэхэд ихэвчлэн энэ функцын тодорхойлогдох мужийг \(X\) бүхэлд нь өргөтгөх шаардлага гардаг.
Тодорхойлолт 1. (Шугаман функционалын өргөтгөл)
\(X\) нь векторын орон зай, \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай ба \(f_W\) нь \(W\) дээр тодорхойлогдсон шугаман функционал байг. Хэрэв \(f_X\) нь \(X\) дэх шугаман функционал бөгөөд бүх \(w \in W\)-ийн хувьд \(f_X(w) = f_W(w)\)-г хангавал \(f_X\)-г \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц гэж нэрлэнэ.
Ерөнхийдөө функционалын "хэмжээ"-г нэмэгдүүлдэггүй өргөтгөсөн функцийг бүтээж чадвал маш ашигтай байх болно. Өөрөөр хэлбэл \(X\) нь норм орон зай ба \(f_W\) хязгаартай бол өргөтгөсөн функц \(f_X\) ч хязгаартай ба \(\lVert f_W \rVert = \lVert f_X \rVert\) байвал ашигтай байх болно. Ийм өргөтгөлийн үйл явцын хоёр энгийн жишээ дараах байдалтай байна.
- \(\overline{W} = X\) ба \(f_W \in W'\) бол \(f_W\)-г тасралтгүй байдлыг хадгалан \(X\) дээр өргөтгөж болно.
- \(M\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай ба \(f_M \in M'\) бол \(f_M\)-г \(\mathcal{H}\) руу өргөтгөж болно.
Тухайн бүр тохиолдолд өргөтгөгдсөн функционал нь анхны функционалтай ижил нормтой байна. Өргөтгөсөн функц тасралтгүй биш байж болно гэдгийг харгалзан үзвэл анхны функционалтай ижил нормтай өргөтгөсөн функцийг олох нь маш чухал ажил юм. Одоо функционалын "хэмжээ"-г тайлбарлахын тулд хэдэн ойлголтыг танилцуулна.
Тодорхойлолт 2. (Дэд шугаман функционал)
\(X\)-г бодит векторын орон зай гэж үзье. Хэрэв функц \(p : X \rightarrow \mathbb{R}\) нь дараах хоёр нөхцлийг хангавал \(p\)-г дэд шугаман функционал гэж нэрлэнэ.
- Дурын \(x,\,y\in X\)-ийн хувьд \(p(x + y) \leq p(x) + p(y)\) байна.
- Дурын \(x\in X\) ба \(\alpha \ge 0\)-ийн хувьд \(p(\alpha x) = \alpha p(x)\) байна.
Жишээ 3. (Дэд шугаман функционалын жишээ)
Дараах зүйлс дэд шугаман функцийн хэдэн жишээ юм.
- \(f\) нь \(X\) дэх шугаман функционал бол энэ нь дэд шугаман байна.
- \(f\) нь \(X\) дэх тэг биш шугаман функционал бол функционал \(p(x) = |f(x)|\) нь шугаман биш боловч дэд шугаман байна.
- \(X\) нь норм орон зай бол \(p(x) = \lVert x \rVert\) нь дэд шугаман байна.
- \(X = \mathbb{R}^2\) ба \(p(x_1,\,x_2) = |x_1| + x_2\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(p\) нь дэд шугаман байна.
\(p\) нь \(X\) дээр тодорхойлогдсон дэд шугаман функционал бол \(p(0) = 0\) ба дурын \(x\in X\)-ийн хувьд \(-p(-x) \leq p(x)\), дурын \(x,\,y\in X\)-ийн хувьд \[-p(y - x) \leq p(x) - p(y) \leq p(x - y)\] байна. Бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(p(x) \geq 0\) байх шаардлагагүй. Гэхдээ хэрэв дурын \(x\in X\)-ийн хувьд \(p(-x) = p(x)\) биелвэл \(p(x) \geq 0\) тул дээрх тэнцэтгэл биш нь дараах байдал болно. \[|p(x) - p(y)| \leq p(x - y) .\]
Комплекс векторын орон зайн тохиолдолд дэд шугаман функционалыг ашигтайгаар хэрэглэхийн тулд нэмэлт нөхцөл хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 4. (Хагас норм)
\(X\) нь бодит векторын орон зай эсвэл комплекс векторын орон зай байг. \(X\) дэх хагас норм нь дараах нөхцлийг хангах бодит утгат функц \(p : X \rightarrow \mathbb{R}\) юм.
- Дурын \(x,\,y\in X\)-ийн хувьд \(p(x + y) \leq p(x) + p(y)\) байна.
- Дурын \(x\in X\) ба \(\alpha\in\mathbb{F}\)-ийн хувьд \(p(\alpha x) = |\alpha|p(x)\) байна.
Тодорхойлолт 2 ба 4-г харьцуулахад хагас норм ба дэд шугаман функционалын ялгаа нь (b) шинж чанарт байна. Мөн \(p\) нь хагас норм бол \[p(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0\] -г хангах ёстой норм болно. \(X\) нь бодит векторын орон зай бол хагас норм \(p\) нь дэд шугаман функционал боловч урвуу нь биелдэхгүй байж болно.
Жишээ 5. (Комплекс векторын орон зайд хагас норм болохгүй жишээ)
Жишээ 3-ийн (b) ба (c) нь комплекс векторын орон зайд ч хагас норм байна. Жишээ 3-ийн (a) ба (d) нь хагас норм биш. ((a)-д \(f\) нь тэг биш гэж үзсэн.)
\(p\) нь \(X\) дэх хагас норм бол дурын \(x\in X\)-ийн хувьд \[p(0) = 0, \quad p(-x) = p(x), \quad p(x) \geq 0\] ба дурын \(x,\,y\in X\)-ийн хувьд \[|p(x) - p(y)| \leq p(x - y)\] байна. Эдгээр шинж чанарууд дэд шугаман функционалын хувьд биелдэхгүй байж болно.
Одоо шугаман функционалыг өргөтгөх үйл явцыг судлая. Өргөтгөлийн үйл явц нь бодит векторын орон зай ба комплекс векторын орон зайн тохиолдолд бага зэрэг ялгаатай. Эхлээд бодит векторын орон зайн тохиолдлын ерөнхий үр дүнг тайлбарлана. Энэ теоремын нотолгоог тусгай нийтлэлд судлах болно.
Теорем 6. (Хан-Банахын теорем)
\(X\) нь бодит векторын орон зай ба \(X\)-д тодорхойлогдсон дэд шугаман функционал \(p\) байна гэж үзье. \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай ба \(f_W\) нь \(W\) дэх шугаман функционал бөгөөд дурын \(w\in W\)-ийн хувьд дараахыг хангана гэж үзье. \[f_W(w) \leq p(w) .\tag{1}\] Тэгвэл \(f_W\) нь \(X\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_X\)-тай ба дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараахыг хангана. \[f_X(x) \leq p(x) .\tag{2}\]
Жишээ 7. (Хан-Банахын теоремын дагавар)
Дээрх теоремын (2)-ээр дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараах зүйл биелдэг. \[-p(-x) \leq -f_X(-x) = f_X(x) \leq p(x). \tag{3}\]
Одоо теорем 6-д авч үзсэн бодит векторын орон зайн тохиолдлоос комплекс векторын орон зайн тохиолдлын Хан-Банахын теоремын хэлбэрийг гаргая. Үүний тулд эхлээд дурын комплекс векторын орон зай \(V\)-г скалярын үржвэрийг бодит тоогоор хязгаарлаж бодит векторын орон зай болгон авч үзэж болохыг санаж үзье. Ийм бодит векторын орон зайг \(V_R\) гэж тэмдэглэх болно. Энд \(V\) ба \(V_R\)-ийн элементүүд ижил гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Хоёр орон зайн ялгаа нь зүгээр л \(V_R\)-д зөвхөн бодит тоогоор үржүүлэхийг зөвшөөрдөг явдал юм. Мөн \(V\) нь норм орон зай бол \(V_R\) ч \(V\)-тэй ижил нормтай норм орон зай болдог гэдгийг санаж үзье.
Лемм 8.
\(g\) нь \(V\) дэх шугаман функционал бол дурын \(v\in V\)-ийн хувьд \[g(v) = g_R(v) - ig_R(iv)\tag{4}\] -г хангах цорын ганц бодит шугаман функционал \(g_R\) нь \(V_R\)-д оршин байна.
Урвуугаар \(g_R\) нь \(V_R\) дэх бодит утгат шугаман функционал ба \(g\) нь (4)-ийн дагуу тодорхойлогдвол \(g\) нь \(V\) дэх комплекс шугаман функционал байна.
Мөн \(V\) нь норм орон зай бол \(g \in V'\) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(g_R \in V_R'\) ба энэ тохиолдолд \(\lVert g \rVert = \lVert g_R \rVert\) байна.
Нотолгоо
Дурын \(v \in V\)-ийн хувьд дараах байдлаар бичиж болно. \[g(v) = g_R(v) + ig_I(v).\] Энд \(g_R(v) ,\) \(g_I(v)\) нь бодит утгат функц юм. \(g_R ,\) \(g_I\) нь \(V_R\) дэх бодит шугаман функционал болохыг амархан баталгаажуулж болно. Мөн дурын \(v \in V\)-ийн хувьд \[g(iv) = g_R(iv) + ig_I(iv) = ig(v) = ig_R(v) - g_I(v)\] байна. Тиймээс \(g_R(iv) = -g_I(v)\) ба тиймээс (4) биелнэ. Урвуу нь амархан нотлогдоно.
Лемм 8-ыг ашиглан бодит шугаман хувиргалтын өргөтгөсөн функцээс комплекс шугаман хувиргалтын өргөтгөсөн функцийг бүтээж болно.
Лемм 9.
\(X\)-г комплекс векторын орон зай гэж үзээд \(p\)-г \(X\) дэх хагас норм гэж үзье. \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай ба \(f_W\) нь \(W\) дэх шугаман функционал бөгөөд дурын \(w\in W\)-ийн хувьд \[|f_W(w)| \leq p(w)\] -г хангана гэж үзье. Лемм 8-г \(f_W\)-д хэрэглэж олсон бодит шугаман функционал \(f_{W,R}\) нь \(X_R\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_{X,R}\)-тай ба энэ өргөтгөсөн функц нь дурын \(x\in X_R\)-ийн хувьд \[|f_{X,R}(x)| \leq p(x)\] -г хангана гэж үзье. Тэгвэл \(f_W\) нь \(X\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_X\)-тай ба дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараахыг хангана. \[|f_X(x)| \leq p(x), \quad x \in X. \tag{5}\]
Нотолгоо
Лемм 8-ээр \(X\) дэх харгалзах комплекс шугаман функционал \(f_X\) оршин байгаа бөгөөд энэ нь тодорхойгоор \(f_W\)-ийн өргөтгөсөн функц байна. \(f_X\) нь (5)-г хангахыг харуулахын тулд \(x \in X\) ба \(f_X(x) \neq 0\) гэж үзээд \(|f_X(x)| = \alpha f_X(x)\)-г хангах \(\alpha \in \mathbb{C}\)-г сонгоё. Тэгвэл \(|\alpha| = 1\) ба \(p\) нь хагас норм тул \[|f_X(x)| = f_X(\alpha x) = f_{X,R}(\alpha x) \leq p(\alpha x) = p(x)\] байна.
Теорем 6 ба лемм 8-г нэгтгэвэл бодит векторын орон зайд хэрэглэгддэг Хан-Банахын теоремийг ерөнхийлсөн дараах үр дүнг олно.
Теорем 10. (Хан-Банахын теорем)
\(X\) нь бодит векторын орон зай эсвэл комплекс векторын орон зай гэж үзээд \(p\)-г \(X\) дэх хагас норм гэж үзье. \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай ба \(f_W\) нь \(W\) дэх шугаман функционал бөгөөд дурын \(w\in W\)-ийн хувьд \[|f_W(w)| \leq p(w)\] -г хангана гэж үзье. Тэгвэл \(f_W\) нь \(X\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_X\)-тай ба дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараахыг хангана. \[|f_X(x)| \leq p(x) .\]
Нотолгоо
\(X\) нь бодит норм орон зай бол теорем 6 ба \(p\) нь хагас норм гэдгээс хүссэн үр дүнг олно. Тиймээс \(X\) нь комплекс норм орон зай гэж үзье. Лемм 8-г \(f_W\)-д хэрэглэж олсон бодит шугаман функционалыг \(f_{W,R}\) гэж үзье. (4)-ээр дурын \(w\in W\)-ийн хувьд \[f_{W,R}(w) \leq |f_{W,R}(w)| \leq |f_W(w)| \leq p(w)\] байна. Тиймээс теорем 6-аар \(f_{W,R}\) нь дараахыг хангах \(X_R\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_{X,R}\)-тай байна. \[|f_{X,R}(x)| \leq p(x), \quad x \in X_R.\] Иймээс лемм 9-ээр хүссэн үр дүнг олно.