Өмнөх нийтлэлд нотолгоогүйгээр Хан-Банахын теоремийг танилцуулсан. Мөн тусгай тохиолдол болгон норм векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийн нотолгоог танилцуулсан. Энэ нийтлэлд ерөнхий тохиолдлын Хан-Банахын теоремын нотолгоог танилцуулна.
Тодорхойлолт 1. (Хэсэгчилсэн эрэмбэ ба бүрэн эрэмбэ)
\(\mathcal{M}\) нь хоосон биш олонлог ба \(\prec\) нь \(M\) дэх эрэмбийн харилцаа гэж үзье. Хэрэв \(\prec\) нь дараах бүгдийг хангавал \(\prec\)-г \(M\) дэх хэсэгчилсэн эрэмбэ гэж нэрлэнэ.
- Бүх \(x \in \mathcal{M}\)-ийн хувьд \(x \prec x\) байна.
- \(x \prec y\) ба \(y \prec x\) бол \(x = y\) байна.
- \(x \prec y\) ба \(y \prec z\) бол \(x \prec z\) байна.
Энэ үед \(\mathcal{M}\)-г хэсэгчилсэн эрэмбэт олонлог гэж нэрлэнэ.
Хэрэв \(\prec\) нь хэсэгчилсэн эрэмбэ бөгөөд дурын \(x, y \in \mathcal{M}\)-ийн хувьд \(x \prec y\) эсвэл \(y \prec x\) бол \(\prec\)-г бүрэн эрэмбэ гэж нэрлэж \(\mathcal{M}\)-г бүрэн эрэмбэт олонлог гэж нэрлэнэ.
\(\mathcal{N} \subset \mathcal{M}\) ба \(\prec\) нь \(\mathcal{M}\) дэх хэсэгчилсэн эрэмбэ үед \(\prec\)-г \(\mathcal{N}\) дээр хязгаарлаж \(\mathcal{N}\) хэсэгчилсэн эрэмбэт олонлог болгож болно. Бүрэн эрэмбэ ч мөн адил.
\(\mathcal{M}\) нь хэсэгчилсэн эрэмбэтэй олонлог ба \(y \in \mathcal{M}\) байг. Энэ үед \(y\) нь \(\mathcal{M}\)-ийн хамгийн их элемент гэдэг нь \[y \prec x \quad\Rightarrow\quad y = x\] биелэх гэсэн үг юм.
\(\mathcal{N} \subset \mathcal{M}\) ба \(y \in \mathcal{M}\) үед \(y\) нь \(\mathcal{N}\)-ийн дээд зааг гэдэг нь дурын \(x \in \mathcal{N}\)-ийн хувьд \(x \prec y\)-г хангах гэсэн үг юм.
Жишээ 2. (Эрэмбийн харилцааны жишээ)
Дараах зүйлс ихэвчлэн хэрэглэгддэг эрэмбийн харилцааны жишээ юм.
- \(\mathbb{R}\) дэх ердийн эрэмбэ \(\leq\) нь бүрэн эрэмбэ байна.
- \(\mathbb{R}^2\) дэх хэсэгчилсэн эрэмбийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. \[(x_1,\, x_2) \prec (y_1, \, y_2) \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 \leq y_1 \,\text{ and }\, x_2 \leq y_2 \,.\]
- \(S\) нь дурын олонлог ба \(\mathcal{M}\) нь \(S\)-ийн бүх дэд олонлогуудын цуглуулга байг. Олонлогийн агуулалтын харилцаа '\(\subset\)' нь \(\mathcal{M}\) дэх хэсэгчилсэн эрэмбэ байна.
Дараах теорем нь сонголтын аксиомтой тэнцүү олонлогийн онолын теорем юм. Энд нотолгоог үзүүлэхгүйгээр зөвхөн теоремын агуулгыг судлая.
Теорем 3. (Зорны лемм)
\(\mathcal{M}\) нь хоосон биш хэсэгчилсэн эрэмбэт олонлог байг. Мөн \(\mathcal{M}\)-ийн дурын бүрэн эрэмбэт дэд олонлог дээд заагтай гэж үзье. Тэгвэл \(\mathcal{M}\)-д хамгийн их элемент оршин байна.
Одоо Хан-Банахын теоремын нотолгоог судлая.
Теорем 4. (Хан-Банахын теорем)
\(X\) нь бодит векторын орон зай ба \(p\) нь \(X\)-д тодорхойлогдсон дэд шугаман функционал байг. \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай, \(f_W\) нь \(W\) дэх шугаман функционал бөгөөд дурын \(w\in W\)-ийн хувьд дараахыг хангана гэж үзье. \[f_W(w) \leq p(w) .\tag{1}\] Тэгвэл \(f_W\) нь \(X\) дэх өргөтгөсөн функц \(f_X\)-тай ба дурын \(x\in X\)-ийн хувьд дараахыг хангана. \[f_X(x) \leq p(x) .\tag{2}\]
Нотолгоо
Дараах нөхцлийг хангах \(X\) дэх шугаман функционал \(f\)-ийн олонлогийг \(\mathcal{E}\) гэж үзье.
- \(f\) нь \(W \subset D_f \subset X\)-г хангах шугаман дэд орон зай \(D_f\) дээр тодорхойлогдоно.
- Дурын \(w \in W\)-ийн хувьд \(f(w) = f_W(w)\) байна.
- Дурын \(x \in D_f\)-ийн хувьд \(f(x) \leq p(x)\) байна.
Өөрөөр хэлбэл \(\mathcal{E}\) нь тодорхойлогдох мужид теоремын таамаглалыг хангах ерөнхий дэд орон зай \(D_f \subset X\)-ийн хувьд \(f_W\)-ийн бүх өргөтгөл \(f\)-ийн олонлог юм. Бид \(\mathcal{E}\)-д Зорны леммийг хэрэглэж үүний үр дүнд гарах \(\mathcal{E}\)-ийн хамгийн их элемент нь хүссэн функционал болохыг харуулна. Эхлээд \(\mathcal{E}\) нь Зорны леммийн таамаглалыг хангаж байгаа эсэхийг шалгая.
\(f_W \in \mathcal{E}\) тул \(\mathcal{E} \neq \varnothing\) байна. Дараа нь \(\mathcal{E}\) дэх харилцаа \(\prec\)-г дараах байдлаар тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл дурын \(f, g \in \mathcal{E}\)-ийн хувьд \(f \prec g\) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг \(D_f \subset D_g\) бөгөөд дурын \(x \in D_f\)-ийн хувьд \(f(x) = g(x)\) байх гэж тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл \(f \prec g\) нь \(g\) нь \(f\)-ийн өргөтгөсөн функц байх тохиолдол юм. Энэ харилцаа \(\prec\) нь \(\mathcal{E}\) дэх хэсэгчилсэн эрэмбэ болохыг амархан баталгаажуулж болно. (Энэ эрэмбэ нь бүрэн эрэмбэ биш. \(f_W\)-ийн өргөтгөл боловч харилцан өргөтгөлийн харилцаатай биш функционал \(f,\, g \in \mathcal{E}\) оршдог учраас.) Одоо \(\mathcal{G} \subset \mathcal{E}\) нь бүрэн эрэмбэт олонлог гэж үзье. (\(\mathcal{G}\) нь бүрэн эрэмбэт олонлог гэдэг нь дурын \(f,\, g \in \mathcal{G}\)-ийн хувьд эдгээр функционалуудын нэг нь нөгөөгийнхөө өргөтгөл байх тохиолдол юм.)
Олонлог \(\mathcal{E}\) дэх \(\mathcal{G}\)-ийн дээд заагийг бүтээя. Олонлогийг \[Z_{\mathcal{G}} = \bigcup_{f \in \mathcal{G}} D_f\] гэж тодорхойлъё. \(\mathcal{G}\) дэх бүрэн эрэмбийн харилцааг ашиглавал \(Z_{\mathcal{G}}\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай болохыг баталгаажуулж болно. Одоо \(Z_{\mathcal{G}}\) дэх шугаман функционал \(f_{\mathcal{G}}\)-г тодорхойлъё. \(z \in Z_{\mathcal{G}}\)-г сонгоё. Тэгвэл \(z \in D_{\xi}\)-г хангах \(\xi \in \mathcal{E}\) оршин байна. Энэ үед \(f_{\mathcal{G}}(z) = \xi(z)\) гэж тодорхойлно. (Ийм тодорхойлолт нь \(\xi\)-ээс хамааралгүй. Учир нь \(\eta\) нь \(z \in D_{\eta}\)-г хангах \(\mathcal{G}\)-ийн өөр функционал бол \(\mathcal{G}\)-ийн эрэмбийн харилцаагаар \(\xi(z) = \eta(z)\) болдог.) Дахин \(\mathcal{G}\)-ийн бүрэн эрэмбийг ашиглан \(f_{\mathcal{G}}\) нь шугаман болохыг баталгаажуулж болно. Мөн \(\xi \in \mathcal{E}\) тул \(f_{\mathcal{G}}(z) = \xi(z) \leq p(z)\) ба \(z \in W\) бол \(f_{\mathcal{G}}(z) = f_W(z)\) байна. Тиймээс \(f_{\mathcal{G}} \in \mathcal{E}\) ба бүх \(f \in \mathcal{G}\)-ийн хувьд \(f \prec f_{\mathcal{G}}\) байна. Иймээс \(f_{\mathcal{G}}\) нь \(\mathcal{G}\)-ийн дээд зааг юм.
Зорны леммийн бүх таамаглал хангагдахыг харуулсан тул \(\mathcal{E}\)-д хамгийн их элемент \(f_{max}\) байна. Одоо тодорхойлогдох муж \(D_{f_{max}} \neq X\) гэж үзье. \(f_{max}\)-ийн өргөтгөсөн функц оршин байгаа бөгөөд энэ өргөтгөсөн функц нь \(\mathcal{E}\)-д ч оршин байна. Гэхдээ энэ нь \(\mathcal{E}\) дэх \(f_{max}\) хамгийн их элемент гэдэг баримттай зөрчилдөнө. Тиймээс \(D_{f_{max}} = X\) байна. Иймээс \(f_X = f_{max}\) нь хүссэн өргөтгөсөн функц байна.
Теорем 4-г хэрэглэх жишээ болгон гүдгэр олонлогийн ялгах теоремийг судлая.
Тодорхойлолт 5. (Минковскийн функционал)
\(C\) нь бодит норм орон зай \(X\) дэх нээлттэй олонлог ба \(0 \in C\) байг. \(C\)-ийн Минковскийн функционал \(p_C\)-г дурын \(x \in X\)-ийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлно. \[p_C(x) = \inf\{\alpha > 0 \,\vert\, \alpha^{-1}x \in C\} .\] (\(C\) нь нээлттэй олонлог ба \(0 \in C\) тул баруун талын олонлог хоосон биш ба \(p_C(x)\) зөв тодорхойлогдоно.)
Лемм 6.
\(C\) ба \(X\) нь тодорхойлолт 5-тэйгээ ижил ба \(C\) нь гүдгэр олонлог гэж үзье. Тэгвэл \(p_C\) нь \(X\) дэх дэд шугаман функционал ба \[C = \{x : p_C(x) < 1\} \tag{3}\] байна. Мөн тогтмол \(c > 0\) оршин байж дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \[0 \leq p_C(x) \leq c\lVert x \rVert \tag{4}\] -г хангана.
Нотолгоо
\(x, \,y \in X\)-ийн хувьд \(p_C(x) < \alpha ,\) \(p_C(y) < \beta\)-г хангах дурын \(\alpha ,\) \(\beta\)-г сонгоод \(s = \alpha + \beta\) гэж үзье. \(p_C\)-ийн тодорхойлолтоор \(\alpha^{-1}x \in C ,\) \(\beta^{-1}y \in C\) ба \(C\) нь гүдгэр олонлог тул \[\frac{1}{s}(x + y) = \frac{\alpha}{s}\alpha^{-1}x + \frac{\beta}{s}\beta^{-1}y \in C\] байна. Тиймээс \(p_C(x + y) \leq s\) ба \(\alpha\) ба \(\beta\) нь дурын элемент тул \[p_C(x + y) \leq p_C(x) + p_C(y)\] байна. Иймээс \(p_C\) нь дэд шугаман байна.
Одоо \(C\) нь тохирох \(\delta > 0\)-ийн хувьд нээлттэй бөмбөрцөг \(B_0(\delta)\)-г агуулдаг тул \(p_C\)-ийн тодорхойлолтоор дараах зүйл биелнэ. \[\lVert z \rVert < \delta \quad\Rightarrow\quad z \in C \quad\Rightarrow\quad |p_C(z)| \leq 1 .\] Нөгөө талаас \(z = \frac{1}{2}\delta x/\lVert x \rVert\) гэж үзвэл (4)-г олно.
Эцэст нь \(x \in C\) гэж үзье. \(C\) нь нээлттэй олонлог тул тохирох \(\alpha < 1\) оршин байж \(\alpha^{-1}x \in C\) ба тиймээс \(p_C(x) \leq \alpha < 1\) байна. Харин \(p_C(x) < 1\) бол тохирох \(\alpha < 1\)-ийн хувьд \(\alpha^{-1}x \in C\) ба \(0 \in C\), \(C\) нь гүдгэр тул \(x = \alpha(\alpha^{-1}x) + (1 - \alpha)0 \in C\) байна. Тиймээс (3) биелнэ.
Теорем 7. (Ялгах теорем)
\(X\) нь бодит норм орон зай эсвэл комплекс норм орон зай ба \(A \subset X\), \(B \subset X\) нь хоосон биш, харилцан салангид гүдгэр олонлогууд байг.
- \(A\) нь нээлттэй олонлог бол \(f \in X'\) ба \(\gamma \in \mathbb{R}\) оршин байж дурын \(a\in A\) ба \(b\in B\)-ийн хувьд \[\Re f(a) < \gamma \leq \Re f(b) \tag{5}\] -г хангана.
- \(A\) нь компакт ба \(B\) нь хаалттай олонлог бол \(f \in X'\) ба \(\delta > 0\) оршин байж дурын \(a\in A\) ба \(b\in B\)-ийн хувьд \[\Re f(a) \leq \gamma - \delta < \gamma + \delta \leq \Re f(b)\tag{6}\] -г хангана.
Нотолгоо
Бодит норм орон зайн тохиолдлыг л нотлох хангалттай.
- \(a_0 \in A\), \(b_0 \in B\)-г сонгоод \(w_0 = b_0 - a_0\), \(C = w_0 + A - B\) гэж үзье. Тэгвэл \(C\) нь \(0\)-г элемент болгон агуулсан нээлттэй гүдгэр олонлог тул Минковскийн функционал \(p_C\) зөв тодорхойлогдож энэ функционал нь дэд шугаман болно. Мөн \(A\) ба \(B\) нь харилцан салангид тул \(w_0 \not\in C\) ба тиймээс (3)-аар \(p_C(w_0) \geq 1\) байна.
\(W = \operatorname{Sp} \{w_0\}\) гэж үзээд \(W\) дэх шугаман функционал \(f_W\)-г \(\alpha \in \mathbb{R}\)-ийн хувьд \(f_W(\alpha w_0) = \alpha\) гэж тодорхойлъё. \(\alpha \geq 0\) бол \[f_W(\alpha w_0) \leq \alpha p_C(w_0) = p_C(\alpha w_0)\] ба \(\alpha < 0\) бол \[f_W(\alpha w_0) < 0 \leq p_C(\alpha w_0)\] байна. Тиймээс \(f_W\) нь (1)-г хангаж, Хан-Банахын теоремоор \(f_W\) нь (2)-г хангах \(X\) дэх өргөтгөсөн функц \(f\)-тай байна. Энэ үр дүн ба (4) болон тэнцэтгэл биш \[-p(-x) \le -f_X (-x) = f_X (x) \le p(x)\] -г хослуулвал \(f \in X'\) гэсэн дүгнэлт гарна.
Одоо дурын \(a \in A\), \(b \in B\)-ийн хувьд \(w_0 + a - b \in C\) тул лемм 6-аар \[1 + f(a) - f(b) = f(w_0 + a - b) \leq p(w_0 + a - b) < 1\] байна. Тиймээс \(\gamma = \inf\{f(b) \,\vert\, b \in B\}\) гэж тодорхойлвол дараахыг олно. \[f(a) \leq \gamma \leq f(b), \quad a \in A,\,b \in B. \tag{7}\] Энэ тэнцэтгэл бишээс (5)-г олохын тулд \(f(a) = \gamma\)-г хангах \(a \in A\) байна гэж үзье. \(A\) нь нээлттэй олонлог тул хангалттай жижиг \(\delta > 0\) оршин байж \(a + \delta w_0 \in A\) ба тиймээс \[f(a + \delta w_0) = f(a) + \delta f_W(w_0) = \gamma + \delta > \gamma\] байна. Энэ нь (7)-тэй зөрчилдөнө. Тиймээс (5) биелнэ. - Таамаглалаас \[\epsilon = \frac{1}{4}\inf\{\lVert a - b \rVert : a \in A,\,b \in B\} > 0\] болохыг баталгаажуулж болно. Одоо \[A_{\epsilon} = A + B_{\epsilon}(0), \quad B_{\epsilon} = B + B_{\epsilon}(0)\] гэж үзье. \(A_{\epsilon}\) ба \(B_{\epsilon}\) нь нээлттэй гүдгэр олонлогууд ба \(A_{\epsilon} \cap B_{\epsilon} = \emptyset\) байна. Тиймээс \(A\), \(B\)-г \(A_{\epsilon}\), \(B_{\epsilon}\)-ээр соливол (5) биелнэ. Одоо \(\delta = \frac{1}{2}\epsilon/\lVert w_0 \rVert\) гэж үзье. Тэгвэл дурын \(a \in A\)-ийн хувьд \(a + \delta w_0 \in A_{\epsilon}\) ба тиймээс \[f(a) = f(a + \delta w_0) - \delta f_W(w_0) \leq \gamma - \delta\] байна. Мөн адилаар дурын \(b\in B\)-ийн хувьд \(\gamma + \delta \leq f(b)\) байна. Иймээс (6) биелнэ.
Бодит векторын орон зайн тохиолдолд ялгах теоремын геометрийн тайлбарыг судлахын тулд хэдэн нэр томъёог танилцуулья.
Тодорхойлолт 8. (Гипер хавтгай)
\(X\) нь векторын орон зай байг. \(X\) дэх гипер хавтгай гэдэг нь \(H = x_0 + \operatorname{Ker} h \subset X\) хэлбэрийн олонлог юм. Энд \(h\) нь \(X\) дэх тэг биш шугаман функционал юм. \(H\)-г \(H = h^{-1}(\gamma)\) гэсэн тэнцэтгэлээр ч тодорхойлж болно. Энд \(\gamma = h(x_0)\) байна.
\(\mathbb{R}^n\) дэх гипер хавтгай нь \(n-1\) хэмжээст хавтгай буюу \(\mathbb{R}^n\) дэх \(n\)-ээс бага хамгийн их хэмжээстэй хавтгай юм. Үүнээс хязгааргүй хэмжээст орон зай \(X\) дэх гипер хавтгайн ойлголтын геометрийн санааг олж болно. Дараах теорем нь гипер хавтгайн хамгийн их байдлыг илүү нарийвчлан тайлбарлана.
\(0 \in X\)-ээр дамжих гипер хавтгай нь \(H = \operatorname{Ker} h\) хэлбэрийн дэд векторын орон зай гэдгийг анхаарч теоремийг судлая.
Теорем 9. (Гипер хавтгайн нөхцөл)
\(X\) нь векторын орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн дэд векторын орон зай байг. Тэгвэл \(W\) нь \(0\)-ээр дамжих гипер хавтгай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(W \neq X\) бөгөөд дурын \(y \in X \setminus W\)-ийн хувьд \(X = W \oplus \operatorname{Sp} \{y\}\) байх явдал юм.
Нотолгоо
\(W = \operatorname{Ker} h\) нь \(0\)-ээр дамжих гипер хавтгай гэж үзье. \(h\) нь тэгийн функц биш тул \(h(z) \neq 0\) байх \(z \in X\) оршин байна. Өөрөөр хэлбэл \(z \in X \setminus W\) ба тиймээс \(W \neq X\) байна. Одоо \(y \in X \setminus W\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. Тэгвэл \(W\)-ийн тодорхойлолтоор \(h(y) \neq 0\) байна. Одоо дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(\beta = h(x)/h(y)\) гэж үзээд \(x\)-г \[x = x - \beta y + \beta y\] гэж илэрхийлье. Тодорхойгоор \(h(x - \beta y) = 0\) тул \(x - \beta y \in W\) ба үүнээс \(X = W \oplus \operatorname{Sp} \{y\}\)-г олно. Учир нь \(W \cap \operatorname{Sp} \{y\} = \{0\}\) болдог.
Одоо \(X = W \oplus \operatorname{Sp} \{y\}\)-г хангах тохирох \(y \in X\) оршин байна гэж үзье. Бид \(X\) дэх функционал \(h\)-г тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл дурын \(x \in X\)-г \(x = w + \alpha y\) хэлбэрээр бичиж болно. Энд \(w \in W ,\) \(\alpha \in \mathbb{F}\) тул \(h(x) = \alpha\) гэж тодорхойлж болно. \(h\) нь тэг биш шугаман функционал ба \(W = \operatorname{Ker} h\) гэдэг нь тодорхой. Тиймээс \(W\) нь \(0\)-ээр дамжих гипер хавтгай байна.
Одоо \(X\) нь норм орон зай ба \(H\) нь гипер хавтгай гэж үзье. Тэгвэл \(H\) нь нягт эсвэл \(h \in X'\) байна. (Сүүлчийн тохиолдолд \(H\) нь хаалттай.) Нягт олонлог нь өмнө дурдсан гипер хавтгайн геометрийн санаатай нийцэхгүй тул бид хаалттай гипер хавтгайг судлая.
Одоо ялгах теоремын геометрийн утгыг тайлбарлаж болно. \(X\) нь бодит векторын орон зай ба \(A,\) \(B\) нь теоремын таамаглалыг хангах гүдгэр олонлогууд бол \(A\) ба \(B\)-г ялгах хаалттай гипер хавтгай \(H\) оршин байна. Өөрөөр хэлбэл \(A\) ба \(B\) нь \(x \in A\)-ийн хувьд \(h(x) \leq \gamma\) ба \(x \in B\)-ийн хувьд \(h(x) \geq \gamma\) болохоор \(H\)-ийн эсрэг талд байрладаг.
Гүдгэр олонлогийн талаарх өөр нэг сонирхолтой геометрийн үр дүнг дараах теоремд судлая.
Дагавар 10.
\(X\) нь бодит норм орон зай, \(A \subset X\) нь хоосон биш нээлттэй гүдгэр олонлог ба \(b\) нь \(A\)-ийн хилэнд байна гэж үзье. Тэгвэл дурын \(a \in A\)-ийн хувьд \(h(a) < h(b)\)-г хангах \(h \in X'\) оршин байна.
Геометрийн хувьд дагавар 10 нь \(A\) нь "\(H\)-ийн нэг талд хатуу байрлахаар" \(b\)-ээр дамжих хаалттай гипер хавтгай \(H\) оршин байна гэж хэлж байна. \(A\)-ийн хил гөлгөр бол \(H\)-г 'шүргэх' хавтгай гэж үзэж болох ч энэ теорем нь гөлгөр гэсэн таамаглал тавьдаггүй. 'Ирмэг' дээр олон гипер хавтгай \(H\) байж болно.