Гильберт орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд вектор орон зай \(Y\) өгөгдсөн үед \(Y\)-ийн ортогонал комплемент орон зай \(Y^{\perp}\)-г тодорхойлж болно. Мөн \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(x = y + z\) болох \(y \in Y\) ба \(z \in Y^{\perp}\) тус тус өвөрмөцөөр оршин байна. Ийм задралын хэлбэр нь комплемент орон зайн үзэл баримтлал хэр хэрэгтэй болохыг харуулах жишээ юм.
Энэ нийтлэлд комплемент орон зайн үзэл баримтлалыг илүү нарийвчлан авч үзэж, ялангуяа норм орон зай дахь "топологийн" комплемент орон зайн үзэл баримтлалыг харна. Мөн комплемент орон зай ба "ортогонал проекц" операторын талаар ч авч үзнэ. Энэ нийтлэлд өөр дурдаагүй бол \(X\) нь вектор орон зайг илэрхийлнэ.
Тодорхойлолт 1. (Комплемент орон зай ба топологийн комплемент орон зай)
\(X\)-ийн дэд орон зай \(U,\, V\) нь \(X\)-д комплемент орон зай гэдэг нь \(X = U \oplus V\) гэсэн үг юм. Эсвэл үүнтэй дүйцэх нөхцөлөөр \(x \in X\) бүр дараах хэлбэрийн өвөрмөц задралтай байх тохиолдлыг хэлнэ. \[x = u_x + v_x,\quad u_x \in U,\, v_x \in V. \tag{1}\]
\(X\) нь норм орон зай бөгөөд \(X\)-д тодорхойлсон харгалзал \(x \mapsto u_x\), \(x \mapsto v_x\) нь тасралтгүй байх үед \(U\) ба \(V\)-г топологийн комплемент орон зай гэж нэрлэнэ.
Цорны туслах теоремийг ашиглавал \(U \subset X\) дэд орон зай бүр комплемент орон зай \(V\)-тэй болохыг харуулж болно. Гэвч ерөнхийдөө ийм дэд орон зай нь топологийн комплемент орон зай болдоггүй. Функц анализ дахь комплемент орон зайн шинж чанарыг ашиглан шийдвэрлэх асуудлууд ихэвчлэн топологийн комплемент орон зайг шаарддаг. Топологийн комплемент орон зайн оршин байх эсэх нь илүү нарийвчлан хэлэлцэх шаардлагатай боловч үүнийг хэлэлцэхээс өмнө эхлээд "ортогонал проекц" оператор ба комплемент орон зайн хоорондын хамаарлыг харъя.
Тодорхойлолт 2. (Ортогонал проекц)
\(X\) дэх ортогонал проекц гэдэг нь \(P^2 = P\)-г хангах шугаман оператор \(P : X \rightarrow X\) юм.
Туслах теорем 3.
\(P\) нь \(X\) дэх ортогонал проекц гэж үзье. Тэгвэл \(x \in \operatorname{Im} P\) байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(Px = x\) байх явдал юм. Мөн \(I - P\) оператор нь ортогонал проекц бөгөөд хоёр нөхцөл \[\operatorname{Im} P = \operatorname{Ker}(I - P),\quad \operatorname{Ker} P = \operatorname{Im}(I - P)\] ийг хангана.
Нотолгоо
\(x \in \operatorname{Im} P\) гэж үзье. Тэгвэл тохирох \(y \in X\)-ийн хувьд \(x = Py\) тул ортогонал проекцийн тодорхойлолтоор \[Px = P^2y = Py = x\] болно. Мөн энэ мэдэгдлийн эсрэг нь өөрөө тодорхой юм.
Дараа нь ортогонал проекцийн тодорхойлолтоор \[(I - P)^2 = I - 2P + P^2 = I - P\] тул \(I - P\) нь ортогонал проекц юм. Одоо \(y \in \operatorname{Im}(I - P)\) гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл тохирох \(x \in X\)-ийн хувьд \(y = (I - P)x\) гэж үзье. Тэгвэл \[Py = Px - P^2x = 0\] тул \[\operatorname{Im}(I - P) \subset \operatorname{Ker}(P)\] болно. Одоо \(y \in \operatorname{Ker}(P)\) гэж үзье. Тэгвэл \[y = (I - P)y \in \operatorname{Im}(I - P)\] тул \(\operatorname{Im}(I - P) = \operatorname{Ker}(P)\) болно.
\(P\) ба \(I - P\) хоорондын тэгш хэмийн шинж чанарыг ашиглавал хоёр дахь тэгшитгэлийг ч адил аргаар нотолж болно.
Ортогонал проекц ба комплемент орон зайн хооронд дараах хамаарал байна.
Туслах теорем 4.
- \(U\) ба \(V\) нь \(X\) дэх комплемент орон зай гэж үзээд \(P_U : X \rightarrow U\) ба \(P_V : X \rightarrow V\) операторуудыг \(x \in X\) бүрийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлъё. \[P_U x = u_x,\quad P_V x = v_x.\] Энд \(u_x\) ба \(v_x\) нь (1)-д тодорхойлсонтой ижил юм. Тэгвэл \(P_U\) ба \(P_V\) нь \(X\) дэх ортогонал проекц бөгөөд \(P_U + P_V = I\) болно.
- \(P\) нь \(X\) дэх ортогонал проекц гэж үзье. Тэгвэл дэд орон зай \(\operatorname{Im} P\) ба \(\operatorname{Im}(I - P)\) нь комплемент орон зай болно.
Нотолгоо
- \(P_U\)-ийн тодорхойлолтоор \(\alpha,\, \beta \in \mathbb{F}\) ба \(x,\, y \in X\) бүрийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} P_U(\alpha x + \beta y) &= P_U((\alpha u_x + \beta u_y) + (\alpha v_x + \beta v_y)) \\[6pt] &= \alpha u_x + \beta u_y = \alpha P_U x + \beta P_U y. \end{aligned}\] Өөрөөр хэлбэл \(P_U\) нь шугаман юм. Мөн дараах зүйл биелнэ. \[P^2_U x = P_U u_x = u_x = P_U x.\] Тиймээс \(P_U\) нь ортогонал проекц юм. Дараа нь (1) ба \(P_U,\, P_V\)-ийн тодорхойлолтоос \(x \in X\) бүрийн хувьд \(x = P_U x + P_V x\) тул \(I = P_U + P_V\) ба түүнээс болж \(P_V\) ч ортогонал проекц болно.
- \(x \in X\) өгөгдсөн гэж үзээд \[u_x = Px \in \operatorname{Im} P,\quad v_x = (I - P)x \in \operatorname{Im}(I - P)\] гэж тавъё. Илэрхий нь \(x\) нь \(x = u_x + v_x\) хэлбэрээр задардаг. Одоо \[x = u'_x + v'_x,\quad u'_x \in \operatorname{Im} P,\quad v'_x \in \operatorname{Im}(I - P)\] гэж үзье. Тэгвэл \(u_x - u'_x = v'_x - v_x\) болно. Энэ тэгшитгэлд \(P\)-г авбал \(u_x - u'_x = 0\) болно. Адил аргаар \(v'_x - v_x = 0\) тул \(x\)-ийн задралын хэлбэр нь өвөрмөц юм. Тиймээс (1)-ээр хүссэн дүгнэлтийг олно.
Тодорхойлолт 5.
\(X\) дэх комплемент орон зай \(U,\, V\) бүрийн хувьд Туслах теорем 4-т бүтээсэн ортогонал проекц \(P_U\)-г \(V\)-г дагуулан \(U\) руу чиглэсэн ортогонал проекц гэж нэрлэнэ. \(P_V\)-ийн хувьд ч адил аргаар тодорхойлно.
Туслах теорем 4 нь комплемент орон зай ба ортогонал проекцийн хоорондын хамаарлыг тайлбарласан. Дараах туслах теорем нь топологийн комплемент орон зай ба хязгаарлагдмал ортогонал проекцийн хоорондын хамаарлыг тайлбарлана.
Туслах теорем 6.
\(X\) нь норм орон зай бөгөөд \(U,\, V \subset X\) нь комплемент орон зай гэж үзье.
- \(U,\, V\) нь топологийн комплемент орон зай байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь Туслах теорем 4-т бүтээсэн ортогонал проекц \(P_U,\, P_V\) нь хязгаарлагдмал байх явдал юм.
- \(U,\, V\) нь топологийн комплемент орон зай бол \(U,\, V\) нь хаалттай байна.
Нотолгоо
Туслах теорем 4-ээр \(P_U\) ба \(P_V\) нь шугаман тул топологийн комплемент орон зайн тодорхойлолтоор (a)-г олно.
Дараа нь Туслах теорем 3-аар \(U = \operatorname{Im} P_U = \operatorname{Ker}(I - P_U)\) тул \(P_U\) нь тасралтгүй бол \(U\) нь хаалттай болно. Адилхан \(P_V\) нь тасралтгүй бол \(V\) нь хаалттай болно. Тиймээс (b) биелнэ.
Дараах туслах теорем нь \(X\) нь Банах орон зай үед Туслах теорем 6-ийн (b)-ийн хэсэгчилсэн эсрэг нь биелэхийг тайлбарлана.
Туслах теорем 7.
\(X\) нь Банах орон зай бөгөөд \(U,\, V\) нь \(X\) дэх хаалттай комплемент орон зай гэж үзье. Тэгвэл \(U,\, V\) нь топологийн комплемент орон зай болно.
Нотолгоо
\(P_U\) нь тасралтгүй болохыг нотолъё. Тэгвэл \(P_V\) ч тасралтгүй ба Туслах теорем 6-ийн (a)-аар хүссэн үр дүнг олно. Хаалттай график теоремоор график \(G(P_U)\) нь хаалттай болохыг харуулбал хангалттай. Үүний тулд \(G(P_U)\)-с \(X \times X\)-ийн цэг \((x,\, y)\) руу тартах дурын дараалал \(\{(x_n,\, P_U x_n)\}\)-г авч үзье. Одоо \((x,\, y) \in G(P_U)\), өөрөөр хэлбэл \(y = P_U x\) болохыг харуулах ёстой.
Эхлээд \(P_U\)-ийн тодорхойлолтоор \(x \in U\) бол \(P_U x = x\) ба \(x \in V\) бол \(P_U x = 0\) болно. \(\{P_U x_n\}\) дараалал нь \(U\)-д байгаад \(U\) нь хаалттай тул \(y \in U\) болно. Адилхан \[x - y = \lim_{n \rightarrow \infty}(x_n - P_U x_n) \in V\] болно. Учир нь \(\{(I - P_U) x_n\}\) дараалал нь \(V\)-д байгаа учраас тэгэж болно. Тиймээс Туслах теорем 3-аар \[0 = P_U(x - y) = P_U x - P_U y = P_U x - y\] болно.
Өмнө дурдсанчлан хаалттай дэд орон зай \(U\) өгөгдсөн үед \(U,\, V\) нь топологийн комплемент орон зай болох хаалттай дэд орон зай \(V\) оршин байх эсэхийн асуудал нэлээд сонирхолтой юм. Туслах теорем 6-аар энэ асуудал нь дараах асуулттай дүйцэх юм.
"\(U = \operatorname{Im} P\)-г хангах хязгаарлагдмал ортогонал проекц \(P\) нь \(X\)-д оршин байх уу?"
Ерөнхийдөө энэ асуултын хариулт нь сөрөг байдаг. \(X\) нь Банах орон зай байсан ч тэгэж болдаг. Гэвч Гильберт орон зайд эерэг хариулт олж болно. Энд \(U\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст байх тохиолдлыг харъя.
Туслах теорем 8.
\(X\) нь норм орон зай бөгөөд \(U\) нь \(X\)-ийн хязгаарлагдмал хэмжээст дэд орон зай гэж үзье. Тэгвэл \(\operatorname{Im} P = U\)-г хангах хязгаарлагдмал ортогонал проекц \(P\) нь \(X\)-д оршин байна.
Нотолгоо
\(U\)-ийн суурь \(x_1, \ldots, x_n \in X\)-г авъё. Тэгвэл \(1 \le j \le n,\, 1 \le k \le n\) болох дурын бүхэл тоо \(j,\, k\)-ийн хувьд \(f_j(x_k) = \delta_{jk}\)-г хангах \(f_1, \ldots, f_n \in X'\) функцууд оршин байна. Одоо \(x \in X\) бүрийн хувьд \[Px = \sum_{i=1}^n f_i(x)x_i\] гэж тодорхойлвол \(P\) нь \(\operatorname{Im} P = U\)-г хангах тасралтгүй ортогонал проекц болно.