\(\mathbb{R}\) эсвэл \(\mathbb{C}\) дээр тодорхойлсон хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зайн дэд олонлог компакт байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь хязгаарлагдмал бөгөөд хаалттай олонлог байх явдал юм. Гэвч хязгааргүй хэмжээст орон зайд ийм зайлшгүй хангалттай нөхцөл биелдэггүй. Энэ нийтлэлд хүртэл ашигласан конвергенцээс сул конвергенцийн тодорхойлолтыг оруулж, ийм тодорхойлолтыг үндэслэн олонлог компакт байхын нөхцөлийн тухай теорем хэсэгчлэн биелэхийг харъя.
Энэ нийтлэлд өөр дурдаагүй бол \(X\) нь Банах орон зайг илэрхийлнэ.
Туслах теорем 1.
\(S = \{s_\alpha \,\vert\, \alpha \in A\}\) нь \(X\)-ийн цэгүүдээс тогтсон олонлог бөгөөд \(\operatorname{Sp} S = X\) гэж үзье. Хэрэв \(\{f_n\}\) нь \(X'\)-ийн хязгаарлагдмал дараалал бөгөөд \(\alpha \in A\) бүрийн хувьд \(\{f_n(s_\alpha)\}\) нь сэнэгддэг бол \(f \in X'\) оршин байж \(x \in X\) бүрийн хувьд \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)\] ийг хангана.
Нотолгоо
\(x \in X\)-г дурын байдлаар авъё. \(\{f_n\}\) нь хязгаарлагдмал тул \(n\) бүрийн хувьд \(\lVert f_n \rVert \leq C\) болох \(C > 0\) оршин байна. Одоо \(\varepsilon > 0\) бүрийн хувьд \(\lVert x - s \rVert < \varepsilon/(3C)\) болох \(s \in \operatorname{Sp} S\) оршин байж \(m,\, n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} |f_n(x) - f_m(x)| &\leq |f_n(x) - f_n(s)| + |f_n(s) - f_m(s)| + |f_m(s) - f_m(x)| \\[6pt] & < \frac{2\varepsilon}{3} + |f_n(s) - f_m(s)| \end{aligned}\] \(s\) нь \(S\)-ийн элементүүдийн хязгаарлагдмал шугаман хослол тул туслах теоремийн таамаглалаар \(m,\, n\) хангалттай том байвал \(|f_n(s) - f_m(s)| < \varepsilon/3\) болно. Тиймээс \(x \in X\) бүрийн хувьд \(\{f_n(x)\}\) нь Коши дараалал бөгөөд сэнэгдэнэ.
Одоо \(x \in X\)-ийн хувьд \[f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\] гэж тодорхойлвол \(f \in X'\) болно.
Одоо сул конвергенц ба норм сул конвергенцийг тодорхойлоход хөшүүрэг болох туслах теоремийг харъя.
\(X\) нь тусгаарлагдах орон зай бөгөөд \(\{s_k\}\) нь \(X\)-д нягт дараалал, \(k \geq 1\) бүрийн хувьд \(s_k \neq 0\) гэж үзье. Мөн \(d_w : X' \times X' \rightarrow \mathbb{R}\) функцийг \(f,\, g \in X'\) бүрийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлъё. \[d_w(f,\, g) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \frac{|f(s_k) - g(s_k)|}{\lVert s_k \rVert}.\] Энэ функц зөв тодорхойлогдсон бөгөөд \(X'\) дэх зайн функц юм.
Туслах теорем 2.
\(\{f_n\}\) нь \(X'\)-ийн дараалал бөгөөд \(f \in X'\) үед дараах нөхцөлүүд хоорондоо дүйцэх юм.
- \(n\) бүрийн хувьд \(\lVert f_n \rVert \leq C\)-г хангах \(C > 0\) оршин байж \(d_w(f_n,\, f) \rightarrow 0\) болно.
- \(x \in X\) бүрийн хувьд \(f_n(x) \rightarrow f(x)\) болно.
Нотолгоо
(a) биелнэ гэж үзье. Тэгвэл илэрхий нь \(k \geq 1\) бүрийн хувьд \(f_n(s_k) \rightarrow f(s_k)\) болно. Тиймээс Туслах теорем 1-ийн нотолгооны үйл явцаар \(x \in X\) бүрийн хувьд \(f_n(x) \rightarrow f(x)\) болно.
Эсрэгийг нотлохоор (b) биелнэ гэж үзье. Тэгвэл \(\lVert f_n \rVert\) нь хязгаарлагдмал болохыг амархан нотолж болно. Дараа нь нотолгоог хялбарчлахын тулд \(f = 0\) гэж үзье. Тэгвэл \(x \in X\) бүрийн хувьд \(f_n(x) \rightarrow 0\) болно. \(\varepsilon > 0\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. Илэрхий нь \[\sum_{k=K}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \frac{|f(s_k)|}{\lVert s_k \rVert} < \frac{\varepsilon}{2}\] ийг хангах \(K \geq 1\) оршин байна. \(x \in X\) бүрийн хувьд \(f_n(x) \rightarrow 0\) тул \(n \ge N\) үед \(k = 1,\, \ldots,\, K\) бүрийн хувьд \(|f_n(s_k)| < \varepsilon/K\)-г хангах байгалийн тоо \(N\) оршин байна. Тиймээс \(n \geq N\) бол \(d_w(f_n,\, 0) < \varepsilon\) болно. Өөрөөр хэлбэл \(d_w(f_n,\, 0) \rightarrow 0\) болно.
Туслах теорем 2-ийн зайн функц \(d_w\) нь хэдэн өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл энэ функцийг тодорхойлохын тулд нягт дараалал \(\{s_n\}\)-г сонгох шаардлагатай бөгөөд \(\{s_n\}\) нь юу болохоос хамааран \(d_w\)-ийн утгыг тооцоход хэцүү байж болно. Мөн \(d_w\)-г тодорхойлохын тулд \(X\) нь тусгаарлагдах орон зай байх ёстой. Харин дээрх туслах теоремийн (b) хэсгийн конвергенцийн нөхцөл нь илүү энгийн бөгөөд тусгаарлагдах байдлын таамаглал шаардаггүй. Тиймээс дараах тодорхойлолтыг оруулна.
Тодорхойлолт 3. (Сул конвергенц ба норм сул конвергенц)
\(X\) нь Банах орон зай бөгөөд \(\{x_n\},\, \{f_n\}\) нь тус тус \(X\) ба \(X'\)-ийн дараалал гэж үзье.
- \(\{x_n\}\) нь \(x \in X\) руу сул конвергенц хийнэ гэдэг нь \(f \in X'\) бүрийн хувьд \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x)\] биелэхийг хэлнэ.
- \(\{f_n\}\) нь \(f \in X'\) руу норм сул конвергенц хийнэ гэдэг нь \(x \in X\) бүрийн хувьд \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)\] биелэхийг хэлнэ.
Сул конвергенц ба норм сул конвергенцийг тус тус дараах тэмдэглэгээгээр илэрхийлнэ. \[x_n \rightharpoonup x,\quad f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f.\]
\(X\) нь тусгаарлагдах орон зай үед Туслах теорем 2 нь \(X'\) дэх норм хязгаарлагдмал дараалал \(\{f_n\}\)-ийн хувьд зайн функц \(d_w\)-тэй холбоотой конвергенц нь норм сул конвергенцтэй дүйцэх болохыг хэлнэ. Бодитоор Туслах теорем 2-ийн нөхцөл (a) дэх норм хязгаарлагдмал гэдэг таамаглалыг сулруулж болохгүй. Тиймээс \(X\) нь тусгаарлагдах орон зай үед \(d_w\)-тэй холбоотой конвергенц ба норм сул конвергенцийн хооронд бүрэн дүйцэх байдал байхгүй. Илүү ерөнхийдөө \(X\) эсвэл \(X'\) нь тусгаарлагдах орон зай гэсэн таамаглалгүйгээр сул конвергенц ба норм сул конвергенцийг зайн функцээр тодорхойлж болохгүй. Гэвч сул конвергенц ба норм сул конвергенцийг норм сул топологитой холбоотой конвергенцээр тодорхойлж болно. Энэ нийтлэлд үүнтэй холбоотой илүү гүнзгий агуулгыг авч үзэхгүй. Гэвч энэ нийтлэлд авч үзэх компактын шинж чанарын теорем л дангаараа сул конвергенц ба норм сул конвергенцтэй холбоотой олон теорид хэрэглэгдэнэ.
Цаашид Тодорхойлолт 3-г сул конвергенцийн тодорхойлолт гэж үзэж зайн функц \(d_w\)-тэй холбоотой үзэл баримтлалыг өөр дурдаагүй бол цаашид ашиглахгүй. Ялангуяа "хязгаарлагдмал" гэсэн илэрхийлэл нь нормтой холбоотой хязгаарлагдмал байдлыг илэрхийлнэ гэж тохиролцъё. Мөн тодорхойлж заагаагүй бол \(X\) эсвэл \(X'\) нь тусгаарлагдах орон зай байх шаардлагагүй.
Бид хоёрдахь хослол орон зай \(X''\)-г тодорхойлсон тул \(X''\) дэх функцийг ашиглавал \(X'\) дэх сул конвергенцийн үзэл баримтлалыг ашиглаж болно. Гэвч норм сул конвергенц нь анхны орон зай \(X\)-аас хамаардаг тул \(X'\) дэх сул конвергенцээс норм сул конвергенцийг авч үзэх нь ерөнхийдөө илүү амархан байдаг. \(X\) нь тусгал байвал сул конвергенц ба норм сул конвергенц давхцана. Гэвч ерөнхийдөө \(X'\) дэх сул конвергенц нь норм сул конвергенцийг хүлээн зөвшөөрч, эсрэг нь биелдэггүй.
Дурын Гильберт орон зай \(\mathcal{H}\) нь тусгал бөгөөд Рис-Фреше теоремоор \(\mathcal{H}\) нь өөрийн хослол орон зай \(\mathcal{H}'\)-тэй ижил гэж үзэж болно. Тиймээс \(\mathcal{H}\) дэх сул конвергенц ба норм сул конвергенц давхцана. Бодитоор дараах жишээ нь Гильберт орон зай дахь сул конвергенцийн нөхцөлийг өгч, нормоор конвергенц хийдэггүй боловч сул конвергенц хийх дараалалын жишээг харуулна.
Жишээ 4.
\(\mathcal{H}\)-г Гильберт орон зай гэж үзье.
- \(x_n \rightharpoonup x\) бол \(y \in H\)-ийн хувьд \(\langle x_n,\, y \rangle \rightarrow \langle x,\, y \rangle\) болно.
- \(\mathcal{H}\) нь хязгааргүй хэмжээст бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(H\) дэх ортонормал дараалал бол \(e_n \rightharpoonup 0\) болно.
Одоо сул конвергенц ба норм сул конвергенцийн хэдэн үндсэн шинж чанарыг харъя. Зайн функцэд суурилаагүй конвергенцийг ашиглахын сул тал нь зайн орон зайд биелнэ гэж нотолсон үр дүнг дахин нотлох шаардлагатай байх явдал юм. Жишээлбэл сул конвергенц ба норм сул конвергенцийн хязгаар нь өвөрмөц болохыг нотлох ёстой.
Туслах теорем 5.
- Сул конвергенц хийх дараалал ба норм сул конвергенц хийх дараалалын хязгаар нь өвөрмөц юм.
- Сул конвергенц хийх дараалал ба норм сул конвергенц хийх дараалал нь хязгаарлагдмал юм.
- \(x_n \rightarrow x\) бол \(x_n \rightharpoonup x\) болно. Мөн \(f_n \rightarrow f\) бол \(f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f\) болно. Ялангуяа \(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст үед эдгээр нь тус тус хоорондоо зайлшгүй хангалттай нөхцөл болно.
- \(M \subset X\) нь гүүр хаалттай олонлог гэж үзье. Хэрэв \(\{x_n\}\) нь \(M\) дэх дараалал бөгөөд \(x_n \rightharpoonup x\) бол \(x \in M\) болно.
Нотолгоо
Сул конвергенцийн тухай нотолгоог л харъя.
- \(x_n \rightharpoonup x\) ба \(x_n \rightharpoonup y\) гэж үзье. Тэгвэл \(f \in X'\) оршин байж \[f(x - y) = \lVert x - y \rVert\] ийг хангана. Гэвч сул конвергенцийн тодорхойлолтоор \[\lVert x - y \rVert = f(x) - f(y) = \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) - \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = 0\] болно. Тиймээс өвөрмөц байдал биелнэ.
- \(\{x_a \,\vert\, a \in A\}\) нь \(X\)-ийн дэд олонлог гэж үзье. Мөн \[\sup \{|f(x_a)| \,\vert\, a \in A\} < \infty\] гэж үзье. Тэгвэл жигд хязгаарлагдмалын зарчмаар \(f \in X'\) бүрийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[\sup \{\lVert x_a \rVert \,\vert\, a \in A\} < \infty.\] Энэ баримтыг нотолъё. \(a \in A\) бүрийн хувьд \(J_X(x_a) \in X''\) бол \(J_X(x_a)(f) = f(x_a)\) болно. Тиймээс \(\lVert J_X(x_a) \rVert = \lVert x_a \rVert\) ба \(f \in X'\) бүрийн хувьд \[\sup \{|J_X(x_a)(f)| \,\vert\, a \in A\} < \infty\] болно. \(X''\) нь Банах орон зай тул жигд хязгаарлагдмалын зарчмаар \[\sup \{\lVert x_a \rVert \,\vert\, a \in A\} = \sup \{\lVert J_X(x_a) \rVert \,\vert\, a \in A\} < \infty\] болно.
- \(x_n \rightarrow x\) ба \(f \in X'\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. Тэгвэл дараах зүйл биелнэ. \[|f(x_n) - f(x)| \leq \lVert f \rVert \lVert x - x_n \rVert \rightarrow 0.\] Одоо \(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст бөгөөд \(x_n \rightharpoonup x\) боловч \(x_n \rightarrow x\) биш гэж үзье. (b)-аар \(\{x_n\}\) дараалал нь хязгаарлагдмал тул компактын шинж чанараар \(x_n\)-ийн дэд дараалал оршин байж \(x_n \rightarrow y \neq x\)-г хангана. (Дэд дараалалыг анхны дараалалтай адил тэмдэглэв.) Гэвч энэ нь (a)-д зөрчилдөнө.
- \(x \notin M\) гэж үзье. Тусгаарлах теоремд \(A = \{x\}\) ба \(B = M\) гэж тавивал \(x_n \rightharpoonup x\) гэсэн таамаглалд зөрчилдөнө.
Жишээ 4 ба Туслах теорем 5-ийн (c)-г нэгтгэвэл хязгааргүй хэмжээст орон зайд сул конвергенц нь \(X\)-ийн нормтой холбоотой ерөнхий конвергенцээс сул болохыг мэдэж болно. Өөрөөр хэлбэл конвергенц нь сул конвергенцийг хүлээн зөвшөөрч гэвч эсрэг нь биелдэхгүй байж болно. Мөн Жишээ 4-ийн ортонормал дараалал \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нэгж бөмбөрцөгт байгаад (хаалттай боловч гүүр биш), сул конвергенцийн хязгаар нь тэр дотор байхгүй. Өөрөөр хэлбэл хаалттай олонлог \(M\) дэх сул конвергенц хийх дараалалын сул конвергенцийн хязгаар нь \(M\)-д багтах шаардлагагүй бөгөөд \(M\) нь гүүр биш тохиолдолд Туслах теорем 5-ийн (d) биелдэхгүй байж болно. Мөн гүүр байдал ба сул конвергенцийн хязгаарын хоорондын хамаарал нь үндсэндээ тусгаарлах теорем дэх гүүр байдлын таамаглалаас үүдэлтэй юм.
Одоо сул конвергенц ба норм сул конвергенцийн үзэл баримтлалыг оруулах өөр нэг шалтгааныг тайлбарлах теоремийг харъя.
Теорем 6. (Норм сул цэгийн дараалах компактын шинж чанар)
\(X\) нь тусгаарлагдах орон зай бөгөөд \(\{f_n\}\) нь \(X'\) дэх хязгаарлагдмал дараалал бол \(\{f_n\}\) нь норм сул конвергенц хийх дэд дараалалтай болно.
Нотолгоо
\(X\) дэх нягт дараалал \(\{s_k\}\)-г авъё. \(\{f_n(s_1)\}\) нь \(\mathbb{F}\) дэх хязгаарлагдмал дараалал тул конвергенц хийх дэд дараалал \(\{f_{n_1(m)}(s_1)\}\) оршин байна. (Энд \(m\) нь дараалалын индексийг илэрхийлнэ.) Адилхан \(\{f_{n_1(m)}(s_2)\}\) дараалал нь конвергенц хийх дэд дараалал \(\{f_{n_2(m)}(s_2)\}\)-тэй болно. Энэ үйл явцыг давтавал диагонал дэд дараалал \(\{f_{n_m(m)}\}\) нь \(X'\) дэх хязгаарлагдмал ба \(k \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(\{f_{n_m(m)}(s_k)\}\) нь сэнэгддэг тул Туслах теорем 1-ээр \(\{f_{n_m(m)}\}\) нь норм сул конвергенц хийнэ.
Дагавар теорем 7.
\(X\) нь тусгаарлагдах орон зай бөгөөд \(B = \{f \in X' \,\vert\, \lVert f \rVert \leq 1\}\) гэж үзье. Тэгвэл \(B\)-ийн дурын дараалал нь \(B\)-ийн элемент рүү норм сул конвергенц хийх дэд дараалалтай болно. Мөн энэ нь \(B\) нь зайн функц \(d_w\)-тэй холбогдон компакт байх нөхцөлтэй зайлшгүй хангалттай нөхцөл болно. (\(X\) нь тусгаарлагдах орон зай учраас \(d_w\) оршин байна.)
Нотолгоо
\(B\) дэх дараалал \(\{f_n\}\)-г авч үзье. Теорем 6-аар \(f \in X'\) оршин байж \(f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f\)-г хангана. Тэгвэл \(x \in X\) бүрийн хувьд \[|f(x)| = \lim_{n\rightarrow\infty} |f_n(x)| \leq \lVert x \rVert\] тул \(f \in B\) болно. Мөн Туслах теорем 2-оор \(d_w(f_n,\, f) \rightarrow 0\) болно.
Теорем 8. (Тусгал орон зай дахь сул цэгийн дараалах компактын шинж чанар)
\(X\) нь тусгал бөгөөд \(\{x_n\}\) нь \(X\) дэх хязгаарлагдмал дараалал бол \(\{x_n\}\) нь сул конвергенц хийх дэд дараалалтай болно.
Нотолгоо
\(Y = \operatorname{Sp}\{x_1,\, x_2,\, \ldots\}\) гэж үзье. Тэгвэл \(Y\) нь тусгаарлагдах орон зай бөгөөд тусгал юм. Тиймээс \(Y''\) нь тусгаарлагдах орон зай ба \(Y'\) ч тусгаарлагдах орон зай болно.
\(\{J_Y x_n\}\) нь \(Y'\) дэх хязгаарлагдмал дараалал тул Теорем 6-аар (шаардлагатай бол дэд дараалал авснаар) \(\{J_Y x_n\}\) нь тохирох \(J_Y y\) руу норм сул конвергенц хийнэ гэж үзэж болно. (\(Y\) нь тусгал учраас тэгэж болно.) Одоо \(f \in X'\) бүрийн хувьд \(f\)-ийн тодорхойлох мужийг \(Y\) руу хязгаарласан функц нь \(Y'\)-ийн элемент болох \(f_Y\) функц ба түүнээс болж \(J_Y\)-ийн тодорхойлолт ба \(Y\) дэх норм сул конвергенцээр \(f \in X'\) бүрийн хувьд \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} J_Y x_n(f_Y) = J_Y y(f_Y) = f(y)\] болно. Тиймээс \(x_n \rightharpoonup y\) болно.
Дагавар теорем 9.
\(X\) нь тусгал бөгөөд \(M \subset X\) нь хязгаарлагдмал, гүүр хаалттай олонлог бол \(M\)-ийн дурын дараалал нь \(M\)-ийн элемент рүү сул конвергенц хийх дэд дараалалтай болно.
Нотолгоо
\(\{x_n\}\) нь \(M\) дэх дараалал гэж үзье. Теорем 8-аар \(X\) дэх цэг \(x\) оршин байж \(x_n \rightharpoonup x\) биелнэ. (Тохиолдлоос хамааран дэд дараалал авснаар ийм цэг \(x\)-г олж болно.) \(M\) нь гүүр бөгөөд хаалттай олонлог тул Туслах теорем 5-ийн (d)-аар \(x \in M\) болно.
Теорем 6 ба 8 нь шугаман функц анализ болон шугаман бус функц анализын олон салбарт ашиглагддаг.
Жишээ 10.
\(X\) нь тусгал бөгөөд \(M\) нь \(X\)-ийн дэд олонлог, \(M\) нь хаалттай гүүр олонлог гэж үзье. Мөн \(y \in X \setminus M\) гэж үзье. Тэгвэл \(y_M \in M\) цэг оршин байж дараахийг хангана. \[\lVert y - y_M \rVert = \inf \{\lVert y-x \rVert \,\vert\, x \in M\}.\] Хэрэв \(M\) нь гүүр гэсэн нөхцөл хасагдвал энэ үр дүн биелдэхгүй байж болно.
Шийдэл
\(m = \inf \{\lVert y-x \rVert \,\vert\, x \in M\}\) гэж үзье. Мөн \(\lVert y-x_n \rVert \rightarrow m\) болох \(M\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\)-г авъё. \(\{x_n\}\) нь хязгаарлагдмал тул тохирох \(y_M \in M\) руу сул конвергенц хийх дэд дараалалтай болно. Ерөнхий байдлыг алдахгүйгээр ийм дэд дараалалыг ч анхны дараалалтай адилхан \(\{x_n\}\) гэж тэмдэглэе. Энэ үед \[\lVert y-y_M \rVert \le \lim_{n\rightarrow\infty} \lVert y-x_n \rVert = m \le \lVert y-y_M \rVert\] тул жишээний тэгшитгэлийг олно.
Дараа нь \(\mathcal{H}\) нь хязгааргүй хэмжээст Гильберт орон зай, \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн ортонормал дараалал гэж үзье. \(y=0\) гэж тавиад \[M = \left\{\left(1+ \frac{1}{n}\right) e_n \,\Bigg\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}\] гэж үзье. Тэгвэл \(M\) нь хязгаарлагдмал бөгөөд хаалттай олонлог ба \(m=1\) болно.
Гэвч \(M\)-ийн элементүүд дотор норм нь \(1\) болох зүйл байхгүй.