\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(S \in B(\mathcal{H})\) нь өөртөө хослол оператор бол дараах хоёр нөхцөл нь хоорондоо шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байна.
- \(\sigma(S) \subseteq [0, \,\infty)\)
- Бүх \(x \in \mathcal{H}\)-д \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\) байна.
Ийм нөхцлийг хангадаг оператор нь хэрэгтэй шинж чанартай байдаг. Энэ нийтлэлд дээрх нөхцлийг хангадаг операторын олон янз шинж чанарыг авч үзнэ.
Тодорхойлолт 1. (Эерэг оператор ба эерэг матриц)
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(S \in B(\mathcal{H})\) байг. \(S\) нь эерэг оператор байна гэдэг нь \(S\) нь өөртөө хослол оператор бөгөөд дурын \(x\in \mathcal{H}\)-д \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\)-г хангадаг гэсэн үг юм.
- \(A\) нь \(n \times n\) өөртөө хослол матриц байг. \(A\) нь эерэг матриц байна гэдэг нь дурын \(x\in\mathbb{C}^n\)-д \(\langle Ax,\,x \rangle \geq 0\)-г хангадаг гэсэн үг юм.
Оператор нь эерэг оператор мөн эсэхийг тэр операторын спектрийн хүрээгээр мэдэж болно. Матрицын хувьд ч мөн адил юм.
Лемм 2.
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(S \in B(\mathcal{H})\) нь өөртөө хослол оператор байг. Энэ үед \(S\) нь эерэг оператор байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(\sigma(S) \subseteq [0,\, \infty)\) байх явдал юм.
- \(A\) нь \(n \times n\) өөртөө хослол матриц байг. Энэ үед \(A\) нь эерэг матриц байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(\sigma(A) \subseteq [0,\, \infty)\) байх явдал юм.
Матрицын өөрийн утга нь хязгаарлагдмал тооны утга тул матриц нь эерэг матриц мөн эсэхийг шалгахдаа эерэг матрицын тодорхойлолтоос илүү өөрийн утгын хүрээг шалгах нь илүү хялбар байдаг. Оператор нь эерэг оператор мөн эсэхийг шалгах жишээг дараах жишээгээр авч үзье.
Жишээ 3.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(R,\, S \in B(\mathcal{H})\) нь эерэг оператор, \(T \in B(\mathcal{H})\), \(\alpha\) нь эерэг бодит тоо байг.
- \(0\) ба \(I\) нь эерэг оператор байна.
- \(T^*T\) нь эерэг оператор байна.
- \(R + S\) ба \(\alpha S\) нь эерэг оператор байна.
Бодолт
- \(I\) ба \(0\) нь өөртөө хослол оператор байна. Нөгөө талаас \(x \in \mathcal{H}\) үед \[\langle Ix,\,x \rangle = \langle x,\,x \rangle \geq 0\] бөгөөд \[\langle 0x,\,x \rangle = \langle 0,\,x \rangle = 0\] тул \(0\) ба \(I\) нь эерэг оператор байна.
- \(T^*T\) нь өөртөө хослол оператор байна. Нөгөө талаас \(x \in \mathcal{H}\) үед \[\langle T^*Tx,\,x \rangle = \langle Tx,\,Tx \rangle \geq 0\] тул \(T^*T\) нь эерэг оператор байна.
- \(R + S\) ба \(\alpha S\) нь өөртөө хослол оператор байна. Нөгөө талаас \(x \in \mathcal{H}\) үед \[\langle (R + S)x,\,x \rangle = \langle Rx,\,x \rangle + \langle Sx,\,x \rangle \geq 0\] бөгөөд \[\langle (\alpha S)x,\,x \rangle = \alpha\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\] тул \(R + S\) ба \(\alpha S\) нь эерэг оператор байна.
Эерэг бодит тоонуудын хооронд тэдгээрийн хэмжээг харьцуулах замаар эрэмбийн харьцааг тодорхойлж болдог. Эерэг операторын тодорхойлолтыг ашиглан өөртөө хослол операторын эрэмбийг тодорхойлж болно.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(R,\, S,\, T \in B(\mathcal{H})\) нь өөртөө хослол оператор байг. Хэрэв \(S\) нь эерэг оператор бол \(S \geq 0\) эсвэл \(0 \leq S\) гэж тэмдэглэнэ. Илүү ерөнхийд \(T - R\) нь эерэг оператор бол \(T \geq R\) эсвэл \(R \leq T\) гэж тэмдэглэнэ.
Бодит тооны эрэмбийн харьцаанаас ялгаатай нь өөртөө хослол операторын эрэмбэ нь зөвхөн хэсэгчилсэн эрэмбэ (partial order) юм. Өөрөөр хэлбэл тэг биш өөртөө хослол операторуудын дунд эерэг оператор ч биш, сөрөг оператор ч биш зүйлс байдаг. Матрицаар дамжуулан тэр жишээг авч үзье.
Жишээ 4.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) бол \(A\) болон \(-A\) аль аль нь эерэг матриц биш байна.
Бодолт
\(A\) нь \(1\) ба \(-1\)-г өөрийн утга болгон гаргах өөртөө хослол матриц байна.
Тиймээс \(\sigma(A) = \{1,\, -1\}\) бөгөөд \(A\) болон \(-A\) аль нь ч эерэг матриц биш байна.
Эерэг операторын дундаас энгийн бөгөөд байнга ашиглагддаг операторын жишээ болгон ортогональ проекцыг дурдаж болно.
Тодорхойлолт 5. (Ортогональ проекц)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай байг. \(\mathcal{H}\) дээрх ортогональ проекц гэдэг нь дараахыг хангадаг оператор \(P \in B(\mathcal{H})\) юм. \[P = P^* = P^2 .\]
Дээрх тодорхойлолтыг өөрөөр хэлбэл ортогональ проекц гэдэг нь хязгаарлагдмал бөгөөд өөртөө хослол проекцийн оператор юм. Тиймээс энэ ойлголт нь зөвхөн Гильбертын орон зайд л утга учиртай байдаг. "Ортогональ проекц" гэсэн нэр томъёог хэрэглэх шалтгаан нь жишээ 6 болон теорем 7-д тодорхой болно. Ерөнхий проекцийн оператор нь нормын орон зай эсвэл Банахын орон зайд хэрэгтэй боловч Гильбертын орон зайд ортогональ проекц нь хамгийн хэрэгтэй проекцийн оператор юм. Зарим номд Гильбертын орон зайд "проекцийн оператор" гэдэг нь "ортогональ проекц"-ыг хэлдэг. Гэхдээ энэ нийтлэлд ортогональ проекц гэсэн нэр томъёог хэрэглэхээр болно.
\(P\) нь ортогональ проекц бол тодорхойлолтоор өөртөө хослол оператор бөгөөд бүх \(x\in\mathcal{H}\)-д \[\langle Px,\,x \rangle = \langle P^2x,\,x \rangle = \langle Px,\,Px \rangle \geq 0\] биелдэг тул \(P\) нь эерэг оператор байна.
Анзнаад хардаг бол Гильбертын орон зай \(\mathcal{H}\)-д ортогональ проекц нь \(0\) ба \(I\) гэсэн хоёрхон байх шиг санагддаг. Гэхдээ тэдгээрээс бусад ч байдаг.
Жишээ 6.
Функц \(P: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3\)-г дурын \((x,\,y,\,z) \in \mathbb{C}^3\)-д \[P(x,\,y,\,z) = (x,\,y,\,0)\] гэж тодорхойлогдсон шугаман хувиргалт байг. Тэгвэл \(P\) нь ортогональ проекц байна.
Бодолт
\(\mathbb{C}^3\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай тул \(P \in B(\mathbb{C}^3)\) бөгөөд \(P^2 = P\) байна. Түүнчлэн \[\langle P(x,\,y,\,z),\,(u,\,v,\,w) \rangle = x\overline{u} + y\overline{v} = \langle (x,\,y,\,z),\,P(u,\,v,\,w) \rangle\] тул \(P\) ч мөн өөртөө хослол оператор байна. Тиймээс \(P\) нь ортогональ проекц байна.
Жишээ 6-д авч үзсэн ортогональ проекц \(P\)-ийн치역 нь \[\operatorname{Im} P = \{(x,\,y,\,0) \,\vert\, x,\,y \in \mathbb{C}\}\] байна. \(P\) нь \(\mathbb{C}^3\)-ийн векторуудыг "босоо доош", өөрөөр хэлбэл хавтгайтай ортогональ чиглэлээр "проекцлодог".
Жишээ 6-ийн ортогональ проекц \(P\)-г матрицаар илэрхийлбэл дараах байдал болно. \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} .\] Илүү ерөнхийд диагональ элемент нь \(0\) эсвэл \(1\) байх дурын \(n \times n\) диагональ матриц нь \(B(\mathbb{C}^n)\)-д ортогональ проекцийн матриц байна.
Ортогональ проекц чухал байх шалтгаануудын нэг нь Гильбертын орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай болон \(B(\mathcal{H})\)-ийн ортогональ проекцийн хоорондын холбоо юм. Дараах теоремыг авч үзье.
Теорем 7.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай байг.
- \(\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай бол чийрэг нь \(\mathcal{M}\), цөм нь \(\mathcal{M}^\perp\) бөгөөд \(\lVert P_\mathcal{M} \rVert \leq 1\) байх ортогональ проекц \(P_\mathcal{M} \in B(\mathcal{H})\) байдаг.
- \(Q\) нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн ортогональ проекц бол \(\operatorname{Im} Q\) нь хаалттай дэд векторын орон зай бөгөөд \(Q = P_{\operatorname{Im} Q}\) байна.
Батламж
- \(x \in \mathcal{H}\), \(x = y + z\) нь \(x\)-ийн ортогональ задлал, \(y \in \mathcal{M}\), \(z \in \mathcal{M}^\perp\) байг. Ийм \(x,\) \(y,\) \(z\)-д функц \(P_\mathcal{M} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}\)-ийн утгыг \(P_\mathcal{M} (x) = y\) гэж тодорхойлье. \(P_\mathcal{M}\) нь ортогональ проекц гэдгийг батлая.
Эхний алхам нь \(P_\mathcal{M}\) нь шугаман хувиргалт гэдгийг батлах явдал юм. \(x_1,\, x_2 \in \mathcal{H}\) гэж үзээд хоёр вектор тус бүр ортогональ задлал \[x_1 = y_1 + z_1 ,\quad x_2 = y_2 + z_2\] гэж илэрхийлэгдэнэ гэе. Мэдээжийн хэрэг энд \(y_1,\, y_2 \in \mathcal{M}\), \(z_1,\, z_2 \in \mathcal{M}^\perp\) байна. \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\) байг. Тэгвэл \(\mathcal{M}\) болон \(\mathcal{M}^\perp\) нь дэд векторын орон зай тул \[\lambda y_1 + \mu y_2 \in \mathcal{M}\] бас \[\lambda z_1 + \mu z_2 \in \mathcal{M}^\perp\] байна. Тиймээс ортогональ задлалын цорын ганц байдлаар \(\lambda x_1 + \mu x_2\)-ийн ортогональ задлал нь \[(\lambda y_1 + \mu y_2) + (\lambda z_1 + \mu z_2)\] байна. Тиймээс \[P_\mathcal{M} (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda y_1 + \mu y_2 = \lambda P_\mathcal{M} x_1 + \mu P_\mathcal{M} x_2\] бөгөөд \(P_\mathcal{M}\) нь шугаман хувиргалт байна.
Дараа нь \(P_\mathcal{M}\) нь тасралтгүй өөртөө хослол оператор гэдгийг батлая. \[\lVert P_\mathcal{M} x \rVert^2 = \lVert y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2\] тул \(P_\mathcal{M}\) нь хязгаарлагдмал бөгөөд \(\lVert P_\mathcal{M} \rVert \leq 1\) байна. Түүнчлэн \(z_2 \in \mathcal{M}^\perp\), \(y_1 \in \mathcal{M}\) тул \[\langle P_\mathcal{M} x_1,\,x_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 + z_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 \rangle\] байна. Тэгээд \(z_1 \in \mathcal{M}^\perp\), \(y_2 \in \mathcal{M}\) тул \[\langle x_1,\,P_\mathcal{M} x_2 \rangle = \langle y_1 + z_1,\,y_2 \rangle = \langle y_1,\,y_2 \rangle\] байна. Тиймээс \[\langle P_\mathcal{M} x_1,\,x_2 \rangle = \langle x_1,\,P_\mathcal{M} x_2 \rangle\] тул \(P_\mathcal{M}\) нь өөртөө хослол оператор байна.
Эцэст нь \(P_\mathcal{M}\) нь чийрэг \(\mathcal{M}\), цөм \(\mathcal{M}^\perp\)-тэй ортогональ проекц гэдгийг тогтооё. \(w \in \mathcal{M}\) бол \(w\)-ийн ортогональ задлал нь \(w = w + 0\) тул \(P_\mathcal{M} w = w\) байна. Тиймээс \(\mathcal{M} \subseteq \operatorname{Im} P_\mathcal{M}\) байна. Нөгөө талаас \(P_\mathcal{M}\)-ийн тодорхойлолтоор \(\operatorname{Im} P_\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}\) байна. Тиймээс \(\operatorname{Im} P_\mathcal{M} = \mathcal{M}\) байна. Түүнчлэн дурын \(x \in \mathcal{H}\)-д \[(P_\mathcal{M})^2(x) = P_\mathcal{M} (P_\mathcal{M} x) = P_\mathcal{M} y = y = P_\mathcal{M} (x)\] тул \((P_\mathcal{M})^2 = P_\mathcal{M}\) байна. Тиймээс \(P_\mathcal{M}\) нь ортогональ проекц байна. Түүнчлэн \[\operatorname{ker} P_\mathcal{M} = (\operatorname{Im} P_\mathcal{M} ^*)^\perp = (\operatorname{Im} P_\mathcal{M} )^\perp = \mathcal{M}^\perp\] байна. - \(L = \operatorname{Im} Q\) гэе. \(Q\) нь шугаман хувиргалт тул \(L\) нь дэд векторын орон зай байна. \(L\) нь хаалттай гэдгийг батлахын тулд \(L\)-ээс \(y \in \mathcal{H}\) руу тэмдэгтэх дараалал \(\{y_n\}\) өгөгдсөн гэе. \(y_n \in \operatorname{Im} Q\) тул \(n \in \mathbb{N}\) бүрт \(y_n = Q(x_n)\) байх \(x_n \in \mathcal{H}\) байдаг. Тиймээс
\[
\begin{aligned}
y &= \lim_{n\to\infty} Qx_n \\[6pt]
&= \lim_{n\to\infty} Q^2 x_n \quad (\because \,\, Q^2 = Q) \\[6pt]
&= Q\left(\lim_{n\to\infty} Qx_n\right) \quad (\because \,\, Q \text{ нь тасралтгүй.}) \\[6pt]
&= Qy \in \operatorname{Im} Q
\end{aligned}
\]
байна. Өөрөөр хэлбэл \(L\) нь хаалттай байна.
\(v \in L\) бол \(v = Qx\)-г хангадаг тохирох \(x \in \mathcal{H}\) байдаг тул \[Qv = Q^2 x = Qx = v\]болж \(Q^2 = Q\) байна. \(w \in L^\perp\) бол \(Q\) нь өөртөө хослол оператор, \(Q^2 w \in L\) тул \[\lVert Qw \rVert^2 = \langle Qw,\,Qw \rangle = \langle w,\,Q^2 w \rangle = 0\] байна. Тиймээс \(Qw = 0\) байна. Тиймээс \(x \in \mathcal{H}\), \(x = v + w\) нь \(v \in L\), \(w \in L^\perp\) байх ортогональ задлал бол \(x = Qv + w\) тул \[P_L x = Qv = Qx\] байна. Учир нь \(Qw = 0\) байдаг. Тиймээс \(Q = P_{\operatorname{Im} Q}\) байна.
Теорем 7-д ортогональ проекц хэрхэн бүтэхийг онцлан харуулах тэмдэглэгээг нэвтрүүлье. \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай байг. Теорем 7-д бүтээгдсэн чийрэг \(\mathcal{M}\), цөм \(\mathcal{M}^\perp\)-тэй ортогональ проекц \(P_\mathcal{M} \in B(\mathcal{H})\)-г "\(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}\) дээр проекцлох ортогональ проекц" гэж нэрлэнэ.
Жишээ 6-д авч үзсэн ортогональ проекц \(P\) нь дэд орон зай \(\{(x,\,y,\,0) \,\vert\, x,\,y \in \mathbb{C}\}\) дээрх ортогональ проекц юм.
Теорем 7-ийн батламжид \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай, \(P_\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}\) дээр проекцлох ортогональ проекц бол бүх \(y \in \mathcal{M}\)-д \(P_\mathcal{M} y = y\), бүх \(z \in \mathcal{M}^\perp\)-д \(P_\mathcal{M} z = 0\) гэдгийг харуулсан.
Лемм 8.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай, \(P\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}\) дээр проекцлох ортогональ проекц байг. Тэгвэл \(I - P\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}^\perp\) дээр проекцлох ортогональ проекц байна.
Батламж
\(I\) болон \(P\) нь өөртөө хослол оператор тул \(I - P\) ч мөн өөртөө хослол оператор байна. Түүнчлэн \(P^2 = P\) тул \[(I - P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = I - P\] бөгөөд \(I - P\) нь ортогональ проекц байна. \(x \in \mathcal{H}\), \(x = y + z\) нь ортогональ задлал, \(y \in \mathcal{M}\), \(z \in \mathcal{M}^\perp\) үед \(P(x) = y\) тул \[(I - P)(x) = x - y = z\]байна. Тиймээс теорем 7-оор \(I - P\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}^\perp\) дээр проекцлох ортогональ проекц байна.
\(P\) нь жишээ 6-д авч үзсэн ортогональ проекц үед оператор \(I - P\) нь \[(I - P)(x,\,y,\,z) = (0,\,0,\,z)\] гэж өгөгдөх бөгөөд дэд орон зай \(\{(0,\,0,\,z) \,\vert\, z \in \mathbb{C}\}\) дээрх ортогональ проекц юм.
Хэрэв хаалттай дэд векторын орон зай \(\mathcal{M}\) нь нормчлогдсон ортогональ сууриатай бол энэ нормчлогдсон ортогональ суурийг ашиглан \(\mathcal{M}\) дээрх ортогональ проекцыг илэрхийлж болно. Энэ томъёо нь дараах байдал юм.
Дагалдах теорем 9.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{M}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай шугаман дэд орон зай, \(\{e_n\}_{n=1}^J\) нь \(\mathcal{M}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байг. (Энд \(J\) нь эерэг бүхэл тоо эсвэл \(\infty\) байна.) Хэрэв \(P\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{M}\) дээр проекцлох ортогональ проекц бол дурын \(x\in \mathcal{H}\)-д \[Px = \sum_{n=1}^J \langle x,\,e_n \rangle e_n\] байна.
Ортогональ проекцийн тодорхойлолтоор \(P\) нь ортогональ проекц бол \(P = P^2\) биелдэг. Хэрэв өөр дурын эерэг оператор \(T\) нь тохирох Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон бол \(T\)-ийн квадрат язгуур байдаг эсэх, өөрөөр хэлбэл \(R^2 = T\)-г хангадаг оператор \(R\) нь ижил орон зайд байдаг эсэх талаар асуулт гардаг.
Тодорхойлолт 10. (Оператор ба матрицын квадрат язгуур)
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) байг. \(T\)-ийн квадрат язгуур гэдэг нь \(R^2 = T\)-г хангадаг оператор \(R \in B(\mathcal{H})\)-г хэлнэ.
- \(A\) нь \(n \times n\) матриц байг. \(A\)-ийн квадрат язгуур гэдэг нь \(B^2 = A\)-г хангадаг матриц \(B\)-г хэлнэ.
Жишээ 11.
\(\lambda_1,\, \lambda_2\) нь эерэг бодит тоо, \[A = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}, \,\,\, B = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} \end{bmatrix}\]байг. Тэгвэл \(B^2 = A\) тул \(B\) нь \(A\)-ийн квадрат язгуур байна.
Бүх комплекс тоо квадрат язгууртай тул бүх комплекс матриц ч мөн квадрат язгууртай байх болно гэж таамаглаж болно. Гэхдээ энэ үнэн биш юм.
Жишээ 12.
Матриц \(A\) нь \[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\] бол \(B^2 = A\)-г хангадаг \(2 \times 2\) матриц \(B\) байхгүй.
Бодолт
\(B\) нь \[B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]байх матриц бөгөөд \(B^2 = A\)-г хангана гэж таамаглая. Тэгвэл матрицын элементүүдийг харьцуулан дараахыг олно. \[\begin{gathered} a^2 + bc = 0, \\[6pt] b(a + d) = 1, \\[6pt] c(a + d) = 0, \\[6pt] d^2 + bc = 0 . \end{gathered}\] \(b(a + d) = 1\), \(c(a + d) = 0\) тул \(c = 0\) гэдгийг мэдэж болно. Тэгвэл \(a^2 = d^2 = 0\) тул \(a = d = 0\) боловч энэ нь \(b(a + d) = 1\)-тэй зөрчилдөнө. Тиймээс ийм матриц \(B\) байхгүй.
Бүх комплекс матриц квадрат язгууртай байдаггүй боловч матриц нь эерэг матриц бол өөр үр дүн олж болно. Дараах леммыг авч үзье.
Лемм 13.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{S}\) нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн бүх өөртөө хослол операторуудаас бүрдэх бодит Банахын орон зай байг. \(S \in \mathcal{S}\) бол дараахыг хангадаг \(\Phi \in B(C_\mathbb{R}(\sigma(S)), \mathcal{S})\) байдаг.
- \(p\) нь \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-ийн олон гишүүнт болгонд \(\Phi(p) = p(S)\) байна.
- Дурын \(f,\, g \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д \(\Phi(fg) = \Phi(f)\Phi(g)\) байна.
Батламж
\(P\)-г бүх олон гишүүнтээс бүрдэх \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-ийн дэд векторын орон зай гэе. \(\phi: P \to S\)-г \(\phi(p) = p(S)\) гэж тодорхойлье. Тэгвэл дурын \(p\in P\)-д \(\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)\) биелдэг бөгөөд \(p\) нь шугаман хувиргалт байна. Түүнчлэн \[ \begin{aligned} \lVert \phi(p) \rVert &= \lVert p(S) \rVert \\[6pt] &= r_\sigma(p(S)) \quad (\because \,\, p(S) \text{ нь өөртөө хослол.}) \\[6pt] &= \sup\{|\mu| \,\vert\, \mu \in \sigma(p(S))\} \\[6pt] &= \sup\{|p(\lambda)| \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\} \\[6pt] &= \lVert p \rVert \end{aligned} \] байна. Тиймээс \(\phi\) нь тэнцүү зайн хувиргалт байна. \(S\) нь бодит Банахын орон зай, \(P\) нь \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д нягт тул \(\Phi(p) = \phi(p)\) байх \(\Phi \in B(C_\mathbb{R}(\sigma(S)), \mathcal{S})\) байдаг. Түүнчлэн дурын \(p\in P\)-д \(\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)\) биелдэг тул \(P\) нь \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д нягт байдаг баримт болон \(\Phi\)-ийн тасралтгүй байдлаар дурын \(f, g \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д \(\Phi(fg) = \Phi(f)\Phi(g)\) биелдэг.
Дээрх теоремын \(\mathcal{H}, \) \(\mathcal{S} ,\) \(S ,\) \(\Phi\) ба дурын \(f \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д \(\Phi(f)\)-г \(f(S)\) гэж тэмдэглэнэ.
Дээрх лемм нь өөртөө хослол оператор \(S\)-ийн "функц"-ыг бүтээх боломжийг олгодог. Өмнөх нийтлэлд \(p\) нь олон гишүүнт үед олонлог \(p(S)\)-г тодорхойлсон байсан. Лемм 13 нь ийм тодорхойлолтыг \(f \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\) үед \(f(S)\) болгон өргөжүүлдэг. Одоо \(\sigma(S) \subseteq [0, \infty)\), \(g: \sigma(S) \to \mathbb{R}\) нь \(g(x) = x^{1/2}\) гэж тодорхойлогдсон гэе. Тэгвэл \(g \in C_\mathbb{R}(\sigma(S))\) тул \(g(S)\) тодорхойлогдоно. Өөрөөр хэлбэл ийм тэмдэглэгээ нь \(g(S)\) нь \(S\)-ийн квадрат язгуур гэсэн үг юм. Бодитоор дараах теоремоор энэ үнэн гэдгийг батлая.
Теорем 14.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(\mathcal{S}\) нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн бүх өөртөө хослол операторын Банахын орон зай, \(S \in \mathcal{S}\) нь эерэг оператор байг.
- \(S\)-ийн эерэг оператор квадрат язгуур \(R\) байдаг бөгөөд энэ нь \(S\)-ийн олон гишүүнтийн дарааллын хязгаар юм.
- \(Q\) нь \(S\)-ийн дурын эерэг оператор квадрат язгуур бол \(R = Q\) байна.
Батламж
- \(P\)-г \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-ийн бүх олон гишүүнтээс бүрдэх дэд векторын орон зай гэе. \(S\) нь эерэг оператор тул \(\sigma(S) \subseteq [0,\, \infty)\) байна. Тиймээс \(f: \sigma(S) \to \mathbb{R}\), \(g: \sigma(S) \to \mathbb{R}\), \(j: \sigma(S) \to \mathbb{R}\)-г дараах байдлаар тодорхойлье. \[f(x) = x^{1/4},\,\, g(x) = x^{1/2},\,\, j(x) = x .\] Эдгээр функцууд бүгд \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д хамаарна. \(R = g(S)\), \(T = f(S)\) гэвэл \(R\) болон \(T\) нь өөртөө хослол оператор байна. \(P\) нь \(C_\mathbb{R}(\sigma(S))\)-д нягт байна. Ялангуяа \(g\) нь олон гишүүнтийн дарааллын хязгаар тул \(R\) нь \(S\)-ийн олон гишүүнтийн дарааллын хязгаар байна. Түүнчлэн лемм 13-аар \[R^2 = (g(S))^2 = g^2(S) = j(S) = S\] тул \(R\) нь \(S\)-ийн квадрат язгуур бөгөөд \[T^2 = (f(S))^2 = f^2(S) = g(S) = R\] тул \(R\) нь эерэг оператор байна.
- \(Q\) нь эерэг оператор тул (a)-аар \(Q\) нь эерэг оператор квадрат язгуур \(P\)-тай байна. \(x \in \mathcal{H}\), \(y = (R - Q)x\) гэе. \(R^2 = Q^2 = S\) тул \[ \begin{aligned} \lVert T y \rVert^2 + \lVert P y \rVert^2 &= \langle T^2y,\,y \rangle + \langle P^2y,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R + Q)y,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R + Q)(R - Q)x,\,y \rangle \\[6pt] &= \langle (R^2 - Q^2)x,\,y \rangle \\[6pt] &= 0 \end{aligned} \] байна. Тиймээс \(Ty = Py = 0\) бөгөөд тэгэхээр \(T^2y = P^2y = 0\) байна. Тиймээс \(Ry = Qy = 0\) бөгөөд \[\lVert (R - Q)x \rVert^2 = \langle (R - Q)^2x,\,x \rangle = \langle (R - Q)y,\,x \rangle = 0\] байна. Тиймээс \(R = Q\) байна.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(S \in B(\mathcal{H})\) нь эерэг оператор байг. Теорем 14-д бүтээгдсэн \(S\)-ийн цорын ганц эерэг оператор квадрат язгуурыг \(S^{1/2}\) гэж тэмдэглэнэ. Матрицын хувьд ч мөн адил эерэг матриц \(A\)-ийн цорын ганц эерэг матриц квадрат язгуурыг \(A^{1/2}\) гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ 11-д \(2 \times 2\) диагональ матрицын квадрат язгуур олох аргыг авч үзсэн бөгөөд дурын \(n \times n\) диагональ матрицад ижил аргыг хэрэглэж болно. Тиймээс \(P\) нь дурын эерэг матриц, \(U\) нь унитар матриц, \(D=U^*PU\) нь диагональ матриц бол \(P^{1/2} = UD^{1/2}U^*\) байна.
Квадрат язгуур тооцоолох өөр арга байдаг. Энэ нь квадрат язгуур бүтээхэд илүү ойр байдаг. Өөр өөр өөрийн утгатай \(2 \times 2\) эерэг матрицын хувьд энэ аргыг авч үзье. \(A\) нь өөр өөр өөрийн утга \(\lambda_1\) ба \(\lambda_2\)-тай эерэг матриц гэж үзээд функц \(p\)-г дараах байдлаар тодорхойлье. \[p(x) = \frac{x + \sqrt{\lambda_1\lambda_2}}{\sqrt{\lambda_1} + \sqrt{\lambda_2}} .\] Тэгвэл \(p\) нь \(p(\lambda_1) = \sqrt{\lambda_1}\), \(p(\lambda_2) = \sqrt{\lambda_2}\)-г хангадаг нэгдүгээр зэргийн функц байна. Тиймээс бүх \(x \in \sigma(S)\)-д \(p(x) = \sqrt{x}\) биелдэг. Энэ үед \(p(A)^2\)-г тооцоолбол \(A^{1/2} = p(A)\) гэдгийг шалгаж болно. Өөрөөр хэлбэл Кэйли-Хамилтоны теоремоор \[A^2 = (\lambda_1 + \lambda_2)A - (\lambda_1\lambda_2)I\] тул \((p(A))^2\) нь дараах байдал болно. \[ \begin{aligned} (p(A))^2 &= \left(\frac{A + \sqrt{\lambda_1\lambda_2}I}{(\sqrt{\lambda_1} + \sqrt{\lambda_2})}\right)^2 \\[6pt] &= \frac{A^2 + 2\sqrt{\lambda_1\lambda_2}A + \lambda_1\lambda_2 I}{(\sqrt{\lambda_1} + \sqrt{\lambda_2})^2} = A. \end{aligned} \] Одоо Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон оператор болон комплекс тооны хоорондын ижил төстэй байдлыг харуулах теоремыг авч үзье. \(z \in \mathbb{C}\) нь урвуутай бол \(z\)-ийн абсолют утга \((z\overline{z})^{1/2}\) нь эерэг тоо, \(|z((z\overline{z})^{1/2})^{-1}| = 1\) тул \(z((z\overline{z})^{1/2})^{-1} = e^{i\theta}\) бөгөөд \(\theta \in \mathbb{R}\), \(-\pi < \theta \leq \pi\) байна. Комплекс тоо \(z\)-ийн туйлын хэлбэр нь \(e^{i\theta}(z\overline{z})^{1/2}\) юм. Гильбертын орон зайд урвуутай операторт ч ижил төстэй задлал олж болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд хүчин зүйлүүд нь унитар оператор болон эерэг оператор байна.
Теорем 15.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) нь урвуутай оператор байг. Тэгвэл унитар оператор \(U\) болон эерэг оператор \(R\) байж \(T = UR\) болно.
Батламж
\(T\) нь урвуутай тул \(T^*\) болон \(T^*T\) ч мөн урвуутай байна. Одоо \(T^*T\) нь жишээ 3-аар эерэг оператор тул теорем 14-өөр \(T^*T\) нь эерэг оператор квадрат язгуур \(R = (T^*T)^{1/2}\)-тай байна. \(T^*T\) нь урвуутай тул \(R\) ч мөн урвуутай байна. \(U = TR^{-1}\) гэе. Тэгвэл \(U\) нь урвуутай бөгөөд \(U\)-ийн чийрэг нь \(\mathcal{H}\) байна. Түүнчлэн \[U^*U = (R^{-1})^*T^*TR^{-1} = R^{-1}R^2R^{-1} = I\] тул \(U\) нь унитар оператор байна.
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) нь урвуутай оператор байг. Теорем 15-д өгөгдсөн \(T\)-ийн задлал \(T = UR\)-г \(T\)-ийн туйлын задлал гэж нэрлэнэ.
Матрицад ч мөн адил тодорхойлно. \(A\) нь урвуутай матриц үед \(A\)-г оператор гэж үзэн дээрх теоремд харгалзах задлал \(A = BC\)-г олно. Мэдээжийн хэрэг энд \(B\) нь унитар матриц, \(C\) нь эерэг матриц байна. Ийм задлалыг \(A\)-ийн туйлын задлал гэж нэрлэнэ.