Компакт оператор нь хязгаарлагдмал хэмжээст шугаман алгебрт судалж үзсэн шугаман хувиргалтын олон шинж чанарыг хязгаарлагдмал бус хэмжээст орон зайд хадгалж байдаг хэрэгтэй оператор юм. Энэ нийтлэлд компакт операторын ойлголт болон түүний шинж чанарыг авч үзнэ. Тусгайлан дурдахгүй бол энэ нийтлэлд векторын орон зай нь комплекс биет дээр тодорхойлогдсон гэж үзнэ.
Тодорхойлолт 1. (Компакт оператор)
\(X\) болон \(Y\)-г нормын орон зай гэе. Шугаман хувиргалт \(T \in L(X,\, Y)\) нь компакт оператор байна гэдэг нь \(X\)-д дурын хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\)-д \(Y\) дахь дараалал \(\{Tx_n\}\) нь тэмдэгт дэд дараалал агуулдаг гэсэн үг юм. \(L(X,\, Y)\) дахь компакт хувиргалтын олонлогийг \(K(X,\, Y)\) гэж тэмдэглэнэ.
Дараах хоёр теоремоор \(K(X,\,Y)\) нь \(B(X,\,Y)\)-ийн дэд векторын орон зай гэдгийг харуулна. Үүгээр дамжуулан \(B(X,\,Y)\)-д биелдэг хэрэгтэй теоремыг \(K(X,\,Y)\)-д ч хэрэглэж болно.
Теорем 2. (Компакт оператор нь тасралтгүй байна)
\(X\) болон \(Y\)-г нормын орон зай, \(T \in K(X,\, Y)\) гэе. Тэгвэл \(T\) нь тасралтгүй байна. Өөрөөр хэлбэл \(K(X,\, Y) \subset B(X,\, Y)\) байна.
Батламж
\(T\) нь тасралтгүй биш гэж таамаглая. Тэгвэл \(n \geq 1\) болох бүхэл тоо \(n\) бүрт \(\|Tx_n\| \geq n\) байх нэгж вектор \(x_n\) байдаг. Дараалал \(\{x_n\}\) нь хязгаарлагдмал тул \(T\)-ийн компакт шинж чанараар тэмдэгт дэд дараалал \(\{Tx_{n(r)}\}\) байдаг. Гэхдээ энэ нь \(\|Tx_{n(r)}\| \geq n(r)\) гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдөнө. Тиймээс \(T\) нь тасралтгүй байна.
Дараа нь компакт операторын алгебрийн шинж чанарыг авч үзье.
Теорем 3. (Компакт операторын алгебрийн шинж чанар)
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь нормын орон зай байг.
- \(S\), \(T \in K(X,\, Y)\), \(\alpha\), \(\beta \in \mathbb{C}\) бол \(\alpha S + \beta T\) нь компакт оператор байна. Тиймээс \(K(X,\, Y)\) нь \(B(X,\, Y)\)-ийн дэд векторын орон зай байна.
- \(S \in B(X,\, Y)\), \(T \in B(Y, Z)\) бөгөөд \(S\), \(T\) операторуудын доод тал нь нэг нь компакт оператор бол \(TS \in B(X, Z)\) нь компакт оператор байна.
Батламж
- \(X\)-д хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\) өгөгдсөн гэе. \(S\) нь компакт оператор тул \(\{Sx_{n(r)}\}\)-ийн тэмдэгт дэд дараалал \(\{x_{n(r)}\}\) байдаг. Мөн адил \(\{x_{n(r)}\}\) нь хязгаарлагдмал, \(T\) нь компакт оператор тул \(\{Tx_{n(r(s))}\}\)-ийн тэмдэгт \(\{x_{n(r)}\}\)-ийн дэд дараалал \(\{x_{n(r(s))}\}\) байдаг. Тиймээс дараалал \(\{\alpha Sx_{n(r(s))} + \beta Tx_{n(r(s))}\}\) нь тэмдэгтнэ. Тиймээс \(\alpha S + \beta T\) нь компакт оператор байна.
- \(X\)-д хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\) өгөгдсөн гэе. \(S\) нь компакт оператор бол тэмдэгт дэд дараалал \(\{Sx_{n(r)}\}\) байдаг. \(T\) нь тасралтгүй тул дараалал \(\{TSx_{n(r)}\}\) нь тэмдэгтнэ. Тиймээс \(TS\) нь компакт оператор байна.
\(S\) нь тасралтгүй боловч компакт биш тохиолдлыг авч үзье. Дараалал \(\{Sx_n\}\) нь хязгаарлагдмал, \(T\) нь компакт оператор тул тэмдэгт дэд дараалал \(\{TSx_{n(r)}\}\) байдаг. Тиймээс \(TS\) нь компакт оператор байна.
Компакт операторын тодорхойлолт болон дээрх теоремын батламжийн явцад харагдаж байгаагаар компакт операторыг авч үзэхэд давтан дараалал \(\{x_n\}\)-ийн дэд дараалал \(\{x_{n(r)}\}\) болон тэр дарааллын дэд дараалал \(\{x_{n(r(s))}\}\)-г авч үздэг. Тэмдэглэгээг энгийн болгохын тулд дэд дарааллыг анхны дараалалтай адилхан \(\{x_n\}\) гэж тэмдэглэх ч байдаг. Гэхдээ анхны дарааллын агуулсан тодорхой шинж чанар батламжийн явцад шаардлагатай тохиолдолд дэд дараалал болон анхны дарааллыг ялгаж тэмдэглэдэг. (Жишээ нь нормчлогдсон ортогональ суурь \(\{e_n\}\)-ээс эхэлсэн тохиолдолд өөрөө биш дэд дараалал нь суурь биш дараалал болдог.)
Дараах теорем нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн бүх шугаман оператор нь компакт оператор гэдэг баримтыг тайлбарладаг.
Теорем 4. (Хязгаарлагдмал ранк оператор ба компакт оператор)
\(X\), \(Y\) нь нормын орон зай, \(T \in B(X,\, Y)\) байг.
- \(T\) нь хязгаарлагдмал ранктай бол \(T\) нь компакт оператор байна.
- \(X\) эсвэл \(Y\)-ийн хэмжээс хязгаарлагдмал бол \(T\) нь компакт оператор байна.
Батламж
- \(T\) нь хязгаарлагдмал ранктай тул орон зай \(Z = \operatorname{Im} T\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст нормын орон зай байна. Түүнчлэн \(X\) дахь дурын хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\)-д дараалал \(\{Tx_n\}\) нь \(Z\)-д хязгаарлагдмал тул Больцано-Вейерштрассын теоремоор энэ дараалал нь тэмдэгт дэд дараалал агуулах ёстой. Тиймээс \(T\) нь компакт оператор байна.
- \(X\)-ийн хэмжээс хязгаарлагдмал бол \(r(T) \leq \text{dim } X\) тул \(r(T)\) нь хязгаарлагдмал байна. \(Y\)-ийн хэмжээс хязгаарлагдмал бол \(\operatorname{Im} T \subset Y\)-ийн хэмжээс ч хязгаарлагдмал байх ёстой. Тиймээс хоёр тохиолдол бүрт (a)-аар хүссэн дүгнэлтийг олно.
Дараах теорем болон түүний дагалдах теорем нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст орон зайд компакт биш оператор байгааг харуулдаг. Бодитоор компакт шинж чанар нь тасралтгүй шинж чанараас хамаагүй илүү хүчтэй шинж чанар юм.
Теорем 5. (Хязгаарлагдмал бус хэмжээст нэгжийн оператор нь компакт биш байна)
\(X\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст нормын орон зай бол \(X\) дээр тодорхойлогдсон нэгжийн оператор \(I\) нь компакт биш байна.
Батламж
\(X\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст нормын орон зай тул тэмдэгт дэд дарааллгүй нэгж векторын дараалал \(\{x_n\}\) нь \(X\)-д байдаг. Энэ үед дараалал \(\{Ix_n\} = \{x_n\}\) нь тэмдэгт дэд дарааллгүй тул оператор \(I\) нь компакт биш байна.
Дагалдах теорем 6. (Хязгаарлагдмал бус хэмжээст компакт оператор нь урвуу биш байна)
\(X\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст нормын орон зай, \(T \in K(X)\) бол \(T\) нь урвуу биш байна.
Батламж
\(T\) нь урвуутай гэж таамаглая. Тэгвэл теорем 3-аар \(X\) дээр тодорхойлогдсон нэгжийн оператор \(I = T^{-1}T\) нь компакт оператор байх ёстой. Гэхдээ \(X\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст тул энэ нь теорем 5-тэй зөрчилдөнө.
Одоо операторын компакт шинж чанар болон чийрэгийн шинж чанарын хоорондын хамаарлыг авч үзье.
Теорем 7. (Компакт операторын чийрэг)
\(X\), \(Y\) нь нормын орон зай, \(T \in L(X,\, Y)\) байг.
- \(T\) нь компакт оператор байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(X\)-ийн дурын хязгаарлагдмал дэд олонлог \(A\)-д олонлог \(T(A) \subset Y\) нь харьцангуй компакт байх явдал юм.
- \(T\) нь компакт оператор бол \(\operatorname{Im} T\) болон \(\overline{\operatorname{Im} T}\) нь гарагдмал байна.
Батламж
- \(T\) нь компакт оператор гэж таамаглая. \(A \subset X\) нь хязгаарлагдмал, \(\{y_n\}\) нь \(T(A)\) дахь дурын дараалал гэе. Тэгвэл \(n \in \mathbb{N}\) бүрт
\[\|y_n - Tx_n\| < \frac{1}{n}\]
байх \(x_n \in A\) байдаг. Энэ үед \(A\) нь хязгаарлагдмал тул дараалал \(\{x_n\}\) нь хязгаарлагдмал байна. Тиймээс \(T\)-ийн компакт шинж чанараар дараалал \(\{Tx_n\}\) нь тэмдэгт дэд дараалал агуулж, \(\{y_n\}\) нь \(T(A)\)-ийн цэг рүү тэмдэгт дэд дараалал агуулна. \(\{y_n\}\) нь хязгаарлагдмал дурын дараалал тул \(T(A)\) нь компакт байна.
\(X\)-ийн дурын хязгаарлагдмал дэд олонлог \(A\)-д \(T(A) \subset Y\) нь харьцангуй компакт гэж таамаглая. Тэгвэл \(X\) дахь дурын хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\)-д дараалал \(\{Tx_n\}\) нь компакт олонлогт хамаарах тул тэмдэгт дэд дараалал агуулна. Тиймээс \(T\) нь компакт оператор байна. - Дурын \(r \in \mathbb{N}\)-д \(R_r = T(B_r(0)) \subset Y\)-г нээлттэй бөмбөрцөг \(B_r(0) \subset X\)-ийн дүрс гэе. \(T\) нь компакт оператор тул олонлог \(R_r\) нь харьцангуй компакт олонлог бөгөөд гарагдмал байна. Түүнчлэн \(\operatorname{Im} T\) нь тооллын нэгдэл \[\bigcup_{r=1}^{\infty} R_r\]тай тэнцүү тул гарагдмал байна. Эцэст нь \(\operatorname{Im} T\)-ийн дэд олонлог нь \(\operatorname{Im} T\)-д нягт бол \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-д ч нягт тул \(\overline{\operatorname{Im} T}\) нь гарагдмал байна.
Дээрх теоремын (b)-аар \(T\) нь компакт оператор үед \(X\) нь "том" олонлог байсан ч (гарагдмал биш байсан ч) \(T\)-ийн чийрэг нь "жижиг" (гарагдмал) байдаг. Компакт оператор нь хязгаарлагдмал хэмжээст операторуудтай ижил төстэй шинж чанартай байдаг нь энэ шалтгааны улмаас юм.
Одоо өгөгдсөн оператор нь компакт оператор гэдгийг батлах аргыг авч үзье. Дараах теорем нь \(B(X,\, Y)\)-д компакт операторуудаас бүрдсэн дарааллын хязгаар нь компакт оператор гэдгийг харуулдаг.
Теорем 8. (Компакт операторын дарааллын хязгаар)
\(X\) нь нормын орон зай, \(Y\) нь Банахын орон зай, \(\{T_k\}\) нь оператор \(T \in B(X,\, Y)\) руу тэмдэгт \(K(X,\, Y)\)-ийн дараалал байг. Тэгвэл \(T\) нь компакт оператор байна. Өөрөөр хэлбэл \(K(X,\, Y)\) нь \(B(X,\, Y)\)-д хаалттай байна.
Батламж
\(X\)-д хязгаарлагдмал дараалал \(\{x_n\}\) өгөгдсөн гэе. Компакт операторын тодорхойлолтоор \(\{T_1x_{n(1,r)}\}\) нь тэмдэгтэх \(\{x_n\}\)-ийн дэд дараалал \(\{x_{n(1,r)}\}\) байдаг. Мөн адил \(\{T_2x_{n(2,r)}\}\) нь тэмдэгтэх \(\{x_{n(1,r)}\}\)-ийн дэд дараалал \(\{x_{n(2,r)}\}\) байдаг. Түүнчлэн \(\{T_1x_{n(2,r)}\}\) нь \(\{T_1x_{n(1,r)}\}\)-ийн дэд дараалал тул тэмдэгтнэ.
Энэ үйл явцыг индуктив байдлаар давтвал \(j \in \mathbb{N}\) бүрт дараах шинж чанартай дэд дараалал \(\{x_{n(j,r)}\}\) байдаг гэдгийг мэдэж болно. "Дурын \(k \leq j\)-д дараалал \(\{T_kx_{n(j,r)}\}\) нь \(r \to \infty\) үед тэмдэгтнэ." \(n(r) = n(r,\, r)\) гэвэл \(k \in \mathbb{N}\) бүрт \(r \to \infty\) үед тэмдэгт \(\{T_kx_{n(r)}\}\)-ийн дэд дараалал \(\{x_{n(r)}\}\)-г олно.
Одоо дараалал \(\{Tx_{n(r)}\}\) нь тэмдэгтнэ гэдгийг харуулья. \(Y\) нь Банахын орон зай тул \(\{Tx_{n(r)}\}\) нь Кошийн дараалал гэдгийг харуулбал хангалттай.
\(\varepsilon > 0\) өгөгдсөн гэе. Дэд дараалал \(\{x_{n(r)}\}\) нь хязгаарлагдмал тул бүх \(r \in \mathbb{N}\)-д \(\|x_{n(r)}\| \leq M\) байх \(M > 0\) байдаг. Түүнчлэн \(\|T_k - T\| \to 0\) тул \(\|T_K - T\| < \varepsilon/3M\) байх бүхэл тоо \(K \geq 1\) байдаг. Дараа нь \(\{T_Kx_{n(r)}\}\) нь тэмдэгт тул \(r,\) \(s \geq R\) бол \[\|T_Kx_{n(r)} - T_Kx_{n(s)}\| < \frac{\varepsilon}{3}\] байх бүхэл тоо \(R \geq 1\) байдаг. Тэгвэл \(r\), \(s \geq R\)-д дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} \|Tx_{n(r)} & - Tx_{n(s)}\| \\[6pt] & \leq \|Tx_{n(r)} - T_Kx_{n(r)}\| + \|T_Kx_{n(r)} - T_Kx_{n(s)}\| + \|T_Kx_{n(s)} - Tx_{n(s)}\| < \varepsilon \end{aligned}\] Тиймээс \(\{Tx_{n(r)}\}\) нь Кошийн дараалал байна.
Дагалдах теорем 9. (Хязгаарлагдмал ранк операторын дарааллын хязгаар)
\(X\) нь нормын орон зай, \(Y\) нь Банахын орон зай, \(\{T_k\}\) нь \(T \in B(X,\, Y)\) руу тэмдэгт хязгаарлагдмал ранктай тасралтгүй операторын дараалал бол \(T\) нь компакт оператор байна.
Одоо өгөгдсөн оператор \(T\) руу тэмдэгт хязгаарлагдмал ранк операторын дарааллыг бүтээх аргыг жишээгээр авч үзье. Энэ үйл явц нь оператор нь компакт оператор гэдгийг батлах хамгийн ерөнхий аргуудын нэг юм.
Жишээ 10.
\(T\{a_n\} = \{n^{-1}a_n\}\) гэж тодорхойлогдсон оператор \(T \in B(\ell^2)\) нь компакт оператор байна
Бодолт
Эхлээд \(T \in B(\ell^2)\) гэдэг баримтыг мэддэг. Одоо \(k \in \mathbb{N}\) бүрт оператор \(T_k \in B(\ell^2)\)-г дараах байдлаар тодорхойлье. \[T_k\{a_n\} = \{b^k_n\}.\] Энд \[b^k_n = \begin{cases} n^{-1}a_n &\quad (\text{хэрэв } n \leq k) \\[6pt] 0 &\quad (\text{хэрэв } n > k) \end{cases}\] байна. Оператор \(T_k\) нь тасралтгүй, шугаман бөгөөд хязгаарлагдмал ранктай байна. Түүнчлэн дурын \(a \in \ell^2\)-д \[\|(T_k - T)a\|^2 = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{|a_n|^2}{n^2} \leq (k + 1)^{-2} \sum_{n=k+1}^{\infty} |a_n|^2 \leq (k + 1)^{-2}\|a\|^2\] байна. Тиймээс \(\|T_k - T\| \leq (k + 1)^{-1}\), \(\|T_k - T\| \to 0\) байна. Тиймээс дагалдах теорем 9-өөр \(T\) нь компакт оператор байна.
Ерөнхийд \(Y\) нь Банахын орон зай үед дагалдах теорем 9-ийн урвуу биелдэггүй боловч \(Y\) нь Гильбертын орон зай үед дагалдах теорем 9-ийн урвуу биелдэг.
Теорем 11. (Компакт операторын хязгаарлагдмал ранк ойролцоо)
\(X\) нь нормын орон зай, \(\mathcal{H}\) нь Гильбертын орон зай, \(T \in K(X,\, \mathcal{H})\) бол \(B(X,\, \mathcal{H})\)-д \(T\) руу тэмдэгт хязгаарлагдмал ранк операторын дараалал \(\{T_k\}\) байдаг.
Батламж
\(T\) өөрөө хязгаарлагдмал ранктай бол тодорхой байдлаар хүссэн дүгнэлтийг олно. Тиймээс \(T\) нь хязгаарлагдмал ранкгүй гэж таамаглая. Теорем 7-оор олонлог \(\overline{\operatorname{Im} T}\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст, гарагдмал Гильбертын орон зай тул нормчлогдсон ортогональ суурь \(\{e_n\}\)-тай байна.
\(k \geq 1\) болох бүхэл тоо бүрт \(P_k\)-г \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ээс дэд векторын орон зай \(M_k = \operatorname{Sp} \{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) руу ортогональ проекц гэж үзээд \(T_k = P_kT\) гэе. \(\operatorname{Im} T_k \subset M_k\) тул оператор \(T_k\) нь хязгаарлагдмал ранктай байна.
\(k \to \infty\) үед \(\|T_k - T\| \to 0\) биелнэ гэдгийг харуулья. Энэ биелдэггүй гэж таамаглая. Тэгвэл (шаардлагатай бол дараалал \(\{T_k\}\)-ийн дэд дарааллыг авсаны дараа) бүх \(k\)-д \(\|T_k - T\| \geq \varepsilon\) байх \(\varepsilon > 0\) байдаг. Тиймээс бүх \(k\)-д \(\|(T_k - T)x_k\| \geq \varepsilon/2\) байх \(X\)-ийн нэгж векторын дараалал \(x_k\) байдаг. \(T\) нь компакт оператор тул тохирох \(y \in \mathcal{H}\) байж \(Tx_k \to y\) байх дэд дарааллыг авч болно. Одоо \(P_m\)-ийн нормчлогдсон ортогональ задлалыг ашиглавал дараахыг олно. \[\begin{aligned} (T_k - T)x_k &= (P_k - I)Tx_k \\[6pt] &= (P_k - I)y + (P_k - I)(Tx_k - y) \\[6pt] &= -\sum_{n=k+1}^{\infty} \langle y,\,e_n \rangle e_n + (P_k - I)(Tx_k - y). \end{aligned}\] Энэ үр дүнд норм авбал дараах тэнцэгсизлийг олно. \[\frac{\varepsilon}{2} \leq \|(T_k - T)x_k\| \leq \left(\sum_{n=k+1}^{\infty} |\langle y,\,e_n \rangle|^2\right)^{1/2} + 2\|Tx_k - y\| .\] \(k \to \infty\) үед энэ тэнцэгсизлийн баруун тал \(0\) руу тэмдэгт боловч энэ нь зөрчилдөнө.
Эдгээр үр дүнг ашиглан компакт операторын хослол оператор нь компакт оператор гэдгийг харуулж болно. Эхлээд хязгаарлагдмал ранк операторыг авч үзье.
Лемм 12. (Оператор болон түүний хослол операторын ранк)
\(\mathcal{H}\) нь Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) бол \(r(T) = r(T^*)\) байна. (Энд ранк нь хязгаарлагдмал ч байж болно, хязгаарлагдмал бус ч байж болно.) Ялангуяа \(T\) нь хязгаарлагдмал ранктай байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(T^*\) нь хязгаарлагдмал ранктай байх явдал юм.
Батламж
Эхлээд \(r(T) < \infty\) гэж таамаглая. Дурын \(x \in \mathcal{H}\)-д \(x\)-г \(\operatorname{Ker} T^*\)-д \(x = u + v\) гэж ортогональ задалъя. Энд \(u \in \operatorname{Ker} T^*\), \[v \in (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = \overline{\operatorname{Im} T} = \operatorname{Im} T\] байна. Тэгвэл \[T^*x = T^*(u+v) = T^*v\] бөгөөд тиймээс \(\operatorname{Im} T^* = T^*(\operatorname{Im} T)\) тул \(r(T^*) \leq r(T)\) байна. Тиймээс \(r(T) < \infty\) үед \(r(T^*) \leq r(T)\) байна.
Энэ үр дүнг \(T^*\)-д хэрэглээд \((T^*)^* = T\)-г ашиглавал \(r(T^*) < \infty\) үед ч \(r(T) \leq r(T^*)\) гэдгийг мэдэж болно.
Теорем 13. (Компакт операторын хослол оператор нь компакт оператор байна)
\(\mathcal{H}\) нь Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) байг. Энэ үед \(T\) нь компакт оператор байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(T^*\) нь компакт оператор байх явдал юм.
Батламж
\(T\) нь компакт оператор гэж таамаглая. Тэгвэл теорем 11-ээр \(\|T_n - T\| \to 0\) байх хязгаарлагдмал ранк операторын дараалал \(\{T_n\}\) байдаг. Лемм 12-оор оператор \(T^*_n\) бүр нь хязгаарлагдмал ранктай бөгөөд \(\|T^*_n - T^*\| = \|T_n - T\| \to 0\) байна. Тиймээс дагалдах теорем 9-өөр \(T^*\) нь компакт оператор байна. Тиймээс \(T\) нь компакт оператор бол \(T^*\) ч компакт оператор байна.
Энэ үр дүн болон тэнцэтгэл \((T^*)^* = T\)-г ашиглавал \(T^*\) нь компакт оператор үед \(T\) ч компакт оператор гэдэг баримт батлагдана.
Байнга хэрэглэгддэг компакт оператор болох Гильберт-Шмидтийн операторыг танилцуулна.
Тодорхойлолт 14. (Гильберт-Шмидтийн оператор)
\(\mathcal{H}\) нь нормчлогдсон ортогональ суурь \(\{e_n\}\)-тай хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) байг. Хэрэв \[\sum_{n=1}^{\infty} \|Te_n\|^2 < \infty\] биелбэл \(T\)-г Гильберт-Шмидтийн оператор гэж нэрлэнэ.
Анзаад хардаг бол энэ тодорхойлолт нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурьаас хамаарах мэт санагддаг. Дараах теорем нь тийм биш гэдгийг харуулдаг.
Теорем 15. (Гильберт-Шмидтийн операторын тодорхойлолтын хараат бус байдал)
\(\mathcal{H}\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зай, \(\{e_n\}\) болон \(\{f_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байг. Тэгээд \(T \in B(\mathcal{H})\) байг. Энэ үед дараах зүйл биелнэ. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \|Te_n\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \|T^*f_n\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \|Tf_n\|^2 .\] (Энэ нийлбэр нь хязгаарлагдмал ч байж болно, хязгаарлагдмал бус ч байж болно.) Өөрөөр хэлбэл оператор нь Гильберт-Шмидтийн оператор мөн эсэх нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурийн сонголтоос хамаардаггүй.
Теорем 16. (Гильберт-Шмидтийн операторын шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) байг.
- \(T\) нь Гильберт-Шмидтийн оператор байхын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(T^*\) нь Гильберт-Шмидтийн оператор байх явдал юм.
- \(T\) нь Гильберт-Шмидтийн оператор бол \(T\) нь компакт оператор байна.
- Гильберт-Шмидтийн операторуудын олонлог нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн дэд векторын орон зай байна.
Анхаарах зүйл бол хязгаарлагдмал ранк оператор нь Гильберт-Шмидтийн оператор боловч бүх компакт оператор нь Гильберт-Шмидтийн оператор биш байдаг.