Бид өдөр тутмын амьдралдаа 'адилхан' гэсэн илэрхийллийг байнга хэрэглэдэг. Жишээлбэл, хоёр өдөр дараалан гуантай мэргэшсэн ресторанд зочлохдоо "Би өнөөдөр ч өчигдрийнхтэй адилхан гуа идэх болно" гэж хэлдэг. 'Адилхан гуа' гэсэн илэрхийлэлд өчигдрийн гуа болон өнөөдрийн гуа нь тодорхой өөр биет объект юм. Гэсэн хэдий ч бид 'адилхан' гэж илэрхийлдэг.
Энэ нь философийн асуудал бас юм. Жишээлбэл, "Өчигдрийн би болон өнөөдрийн би адилхан хүн үү?" гэсэн асуултын хариулт нь ямар үзэл бодлоор ханддагаасаа хамаарч өөр байж болно. Өчигдрийн би болон өнөөдрийн би хуулийн хувьд мэдээжийн адилхан хүн боловч философийн хувьд тэр хариулт өөр байж болно. Гераклейтос "Адилхан голын усанд хоёр удаа хөл тавьж болохгүй" гэж хэлсэнчлэн цаг хугацаа өнгөрөхөд бүх зүйл тасралтгүй өөрчлөгдөж байдаг учраас.
'Адилхан' гэсэн ойлголтыг дахин харах
'Адилхан' гэсэн ойлголтыг нарийвчлан тодорхойлох нь хэцүү юм. Математикт ч мөн адил. Математикт тэнцүү тэмдэг '='-ийг ашиглан 'адилхан'-ыг илэрхийлдэг боловч үнэндээ математикт ч 'адилхан' гэсэн ойлголтыг тодорхойлох нь нарийн төвөгтэй ажил юм. Зөн совингийн олонлогийн онолд хоёр олонлог 'адилхан' гэсэн ойлголтыг "хоёр олонлог яг адилхан элементүүдээс бүрдэж байна" гэж тодорхойлдог боловч энэ нь бас төгс тодорхойлолт гэж үзэхэд хэцүү. 'Адилхан элемент' гэсэн илэрхийллийн өөрөөс л аль хэдийн 'адилхан' гэсэн ойлголтыг ашиглаж байгаа учраас.
Өөр жишээ харцгаая. Хоёр илэрхийлэл \(2x + 4x\) болон \(6x\) адилхан илэрхийлэл үү? Энэ нь үзэл бодлоос хамаарч өөрөөр харж болно. \(2x + 4x\)-ийг ижил гишүүдээр тооцвол үр дүн нь \(6x\) болдог тул \[2x + 4x = 6x\] гэж тэнцүү тэмдгээр илэрхийлж болгож, хоёр илэрхийллийг адилхан гэж үзэж болно. Гэвч синтаксийн үзэл бодлоор хоёр илэрхийллийн бүтцийг харвал, \(2x + 4x\) нь хоёр гишүүний нийлбэрээс бүрдсэн илэрхийлэл, \(6x\) нь нэг гишүүнээс бүрдсэн илэрхийлэл тул хоёр илэрхийлэл өөр юм.
Ингээд эхэнд хараахан адилхан мэт харагдах объектууд математикт өөр байж болгож, зөн совинд өөр мэт харагдах объектууд математикт адилхан гэж тооцогдож болдог. Математичид 'адилхан' гэсэн ойлголтыг илүү нарийн бөгөөд ашигтай тодорхойлохын тулд олон хүчин чармайлт гаргаж ирсэн. Энэ нь зөвхөн эрдэм шинжилгээний сониуч зандаас болоогүй юм. 'Адилхан' гэсэн ойлголтыг хэрхэн тодорхойлохоос хамаарч математикийн үндэс хатуу болж ч болгож, сэгсэрч ч болдог учраас. Жишээлбэл, 19-р зууны төгсгөлд Фрегегийн санал болгосон олонлогийн онолын аксиомын системд 'адилхан' гэсэн ойлголт 'Рассэлийн парадокс' гэх мэт зөрчилдөөнийг агуулж бүх онол нурах аюулд орсон байдаг.
Изоморфизм: 'Адилхан' гэсэн ойлголтын хийсвэрлэл
Математикт 'адилхан' гэсэн ойлголт хэрхэн хөгжиж ирсэн, мөн энэ нь яагаад чухал талаар илүү гүнзгий харцгаая.
Математикт 'адилхан' гэсэн ойлголт зөвхөн хоёр объект ижил гэдгийг давж илүү гүн утгатай байдаг. Үүнийг сайн харуулсан жишээ бол геометрт хэрэглэдэг 'тэнцүү' гэсэн ойлголт юм. Хоёр хавтгай дүрс өөр өөр байрлалд, өөр өөр чиглэлд байрласан ч нэгийг эргүүлж эсвэл параллель шилжүүлж нөгөөтэй бүрэн давхцуулж чадвал бид энэ хоёр дүрс 'тэнцүү харьцаатай' гэж хэлдэг. Энэ нь нэгэн төрлийн 'адилхан байдал'-ыг илэрхийлэх ойлголт юм.
Адилхан хэмжээтэй хоёр жигд гурвалжин байгаа гэж үзцгээе. Нэг нь суурь нь хэвтээ шугамтай параллель байрласан, нөгөө нь суурь нь хэвтээ шугамаас 30 градус хазайсан байна. Энэ хоёр гурвалжин байрлуулсан чиглэл нь өөр боловч тэнцүү бөгөөд геометрийн хувьд 'адилхан' гэж тооцогддог. Гэвч ийм 'адилхан байдал'-ын ойлголт нь нөхцөл байдлаас хамаарч өөрчлөгдөж болно. Хэрэв бид дүрс байрласан байрлал эсвэл дүрсийн чиглэл чухал асуудал хэлэлцэж байгаа бол хоёр дүрс тэнцүү байсан ч тэднийг өөр өөр объект гэж авч үзэх ёстой. Энэ нь 'адилхан' гэсэн ойлголт үнэмлэхүй биш бөгөөд бид ямар үзэл бодлоор объектыг хардагаасаа хамаарч харьцангуй тодорхойлогддог гэдгийг харуулдаг.
Математичид энэ санааг улам хөгжүүлж, тодорхой үзэл бодлын дор хоёр объектыг адилхан гэж үзэх шаардлагатай үед 'изоморфизм' гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Изоморфизм гэдэг нь хоёр математикийн бүтцийн бүтцийн ижил төстэй байдлыг илэрхийлэх ойлголт бөгөөд математикийн янз бүрийн салбарт чухлаар ашиглагддаг.
Жишээлбэл, шугаман алгебрт адилхан талбар (field) дээр тодорхойлогдсон хоёр вектор орон зайн бүтэц таарч байхад энэ хоёр орон зайг 'изоморф вектор орон зай' гэж нэрлэдэг. Тодорхой жишээ дурдвал, \(n\) хэмжээст бодит вектор орон зай \(\mathbb{R}^n\) болон \((n-1)\) зэрэг ба түүнээс доош бодит коэффициенттэй олон гишүүнт функцийн орон зай нь өөр өөр объект боловч вектор орон зайн хувьд хоёр орон зайн бүтэц ижил тул хоёр орон зай изоморф юм. Топологийн математикт хоёр топологийн орон зайн хооронд хоёр талын тасралтгүй функц оршиж хоёр орон зайн топологийн шинж чанар хадгалагдах үед энэ хоёр орон зайг 'топологийн изоморф' гэж нэрлэдэг. Барьцтай кофены аяга болон пончик нь огт өөр хэлбэртэй боловч нүх нэг гэдэг талаасаа адилхан бүтэцтэй гэж үзэж болгож, энэ хоёр дүрс топологийн изоморф юм. Өөрөөр хэлбэл нүх нэгтэй гурван хэмжээст дүрс гэдэг талаасаа энэ хоёр топологийн хувьд 'адилхан' гэж тооцогддог.
Ингээд математичид 'изоморф (isomorphic)' гэсэн ойлголтоор дамжуулан тодорхой үзэл бодлын дор өөр өөр объектуудыг 'адилхан зүйл' гэж үздэг. Изоморфизм гэсэн ойлголтыг ашигласнаар олж авах том давуу тал нь изоморф олон объектын аль нэгийг судалж олж авсан үр дүнг бусад объект хүртэл өргөжүүлж чадна гэдэг юм. Энэ нь математикийн судалгааны үр ашгийг дээшлүүлж, өөр өөр салбарын хооронд мэдлэгийн дамжуулалтыг боломжтой болгодог. Жишээлбэл, өмнө дурдсан \(n\) хэмжээст бодит вектор орон зай \(\mathbb{R}^n\) болон \((n-1)\) зэрэг ба түүнээс доош бодит коэффициенттэй олон гишүүнт функцийн орон зай изоморф гэдэг баримт маш ашигтай. Бидэнд танил Евклидийн орон зай болох \(\mathbb{R}^n\)-ийн шинж чанаруудыг ашиглан олон гишүүнт функцийн орон зайн шинж чанарыг ойлгож чадах учраас.
Ингээд изоморф объектуудын хуваалцдаг онцлогийг бид 'изоморфизмоор хадгалагддаг шинж чанар' гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, топологийн изоморф хоёр орон зайд холболт, компакт байдал, Хаусдорфын шинж чанар зэрэг топологийн шинж чанарууд хадгалагддаг. Изоморф олон орон зай байхад тэр дундын нэг орон зай ийм шинж чанартай гэдэг нотлогдвол изоморф бүх орон зай адилхан шинж чанартай болдог. Математичид үүгээр дамжуулан олон янзын математикийн бүтцийг үр ашигтай судалж чаддаг.
Категорийн онол
Одоо изоморфизм гэсэн ойлголтыг нэг шат дээшлүүлэн хийсвэрлэсэн 'категорийн онол'-ыг харцгаая. Категорийн онол нь 20-р зууны дунд үед гарч ирсэн математикийн салбар бөгөөд математикийн бүтцүүд болон тэдгээрийн хоорондын харьцааг маш ерөнхий аргаар авч үздэг.
Категори нь 'объект (object)' болон тэдгээрийн хоорондын 'морфизм (morphism)'-аас бүрдсэн бүтэц юм. Энд объект гэдэг нь олонлог, бүлэг, топологийн орон зай зэрэг математикийн бүтцийг хэлэх бөгөөд морфизм гэдэг нь функц, гомоморфизм, тасралтгүй функц зэргийг хэлнэ. Категорийн онолын гол зорилго нь эдгээр объект болон морфизмуудын харьцааг судлах явдал юм.
Категорийн онолд изоморфизмын ойлголт 'изоморфизм (isomorphism)'-оор ерөнхийлөгддөг. Изоморфизм гэдэг нь урвуу морфизм, өөрөөр хэлбэл урвуу морфизм байдаг морфизмыг хэлнэ. Энэ нь өмнө тайлбарласан математикийн янз бүрийн салбар дахь 'адилхан байдал'-ын ойлголтыг нэгдмэл байдлаар авч үзэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, олонлогийн онол дахь биекц функц, бүлгийн онол дахь изоморфизм, топологийн математик дахь топологийн изоморфизм зэрэг нь бүгд тус тусын категори дахь изоморфизм юм. Үүгээр дамжуулан өөр өөр математикийн салбарт хэрэглэгддэг 'адилхан' гэсэн ойлголтыг нэгдсэн үзэл бодлоор ойлгож чаддаг.
Цаашилбал, категорийн онол 'функтор (functor)' гэсэн ойлголтоор дамжуулан өөр өөр категорийн хоорондын харьцааг ч авч үздэг. Функтор гэдэг нь нэг категорийн бүтцийг өөр категори руу шилжүүлэх харгалзуулалт бөгөөд функтор гэсэн багажийг ашиглан өөр өөр математикийн салбарын хоорондын холбоо холбогдлыг судалж чаддаг.
Ингээд категорийн онол нь 'адилхан' гэсэн ойлголтыг улам хийсвэр түвшинд авч үзэж, математикийн олон салбарыг нэгдмэл байдлаар ойлгох хүчирхэг багажийг бүрдүүлдэг. Энэ нь зөвхөн онолын сонирхолд дуусахгүй орчин үеийн математик, компьютерийн шинжлэх ухаан зэрэг олон салбарт асуудал шийдвэрлэхэд ашиглагдаж байна.
Хаа сайгүй байдаг 'изоморфизм'
Одоо хүртэл математикт 'адилхан' гэсэн ойлголт хэрхэн тодорхойлогдож хөгжиж ирснийг харлаа. Ингээд математикт 'адилхан' шиг үндсэн ойлголт хүртэл зөн совингоор ашиглахгүй нарийвчлан тодорхойлж ашигладаг. Энэ нь 'адилхан' гэсэн ойлголт төдийгүй математикт хэлэлцэгддэг бүх ойлголтод хамаатай. Ингэж нарийвчлалыг эрэлхийлэх хандлага нь математикийн хамгийн том онцлог бас сэтгэл татам тал юм. Бидний эгээ тодорхой гэж үздэг ойлголтыг тасралтгүй эргэлзэж, илүү нарийвчлан тодорхойлохыг эрмэлзэх хүчин чармайлт нь математикийг улам бат бөх, найдвартай шинжлэх ухаан болгож өгдөг. Мөн ийм үйл явцад бид ихэвчлэн төсөөлж байгаагүй гүн гүнзгий ойлголтыг олж авдаг.
Ийм арга барил нь зөвхөн математикт хязгаарлагдахгүй бөгөөд логикийн нарийвчлалыг эрэлхийлдэг бүх эрдэм шинжилгээний салбарт ийм хандлага шаардлагатай. Философи, онолын физик, компьютерийн шинжлэх ухаан зэрэг олон салбарт математикийн сэтгэлгээний арга ашиглагдаж байгаа нь ч энэ шалтгаанаас болсон юм. Тиймээс математикийг гүнзгий судлах нь нарийвчлан логикоор сэтгэх чадварыг хөгжүүлэхэд тустай.
Гэвч математикийн сэтгэл татам тал зөвхөн тэр нарийвчлалд байдаггүй. Математикийн жинхэнэ гоо үзэсгэлэн нь нарийвчлан логикийг үндэслэн бүтээгддэг дэгжин, зохицолтой бүтэцэд оршдог. Өмнө харсан 'изоморфизм' эсвэл 'категори' шиг ойлголт нь математикийн олон салбарыг нэгтгэх үзэсгэлэнт гүүрний үүрэг гүйцэтгэдэг. Математич Г.Х. Харди "Математич ч зураач, яруу найрагчийн адил хээ угалз бүтээдэг. Математичийн хээ угалз зураач, яруу найрагчийнхаас илүү мөнхөд үлддэг бол энэ нь санаанаас бүтээгдсэн учраас" гэж хэлсэн. Энэ нь математикийн гоо үзэсгэлэн нь мэдрэхүйн таашаалыг давсан гүн, мөнхийн шинж чанартай гэдгийг илэрхийлдэг.
'Адилхан' гэсэн ойлголт нэгээр дамжуулан математикийн нарийвчлал, мөн тэр нарийвчлалаас бүтээгддэг гоо үзэсгэлэнгийн хэсгийг харлаа. Мэдээжийн энэ нийтлэлд харсан математикийн онцлог нь математикийн асар том ертөнцийн маш жижиг хэсэг л юм. Гэвч үүгээр дамжуулан бид математик энгийн тооцоолол эсвэл хийсвэр онолд дуусахгүй дэлхийг ойлгож илэрхийлэх хүчирхэг, үзэсгэлэнт хэл гэдгийг таамаглаж чадлаа. Математикийн ертөнц гүн, өргөн юм. Мөн тэр аяллын бүх шатанд логикийн нарийвчлал, бүтцийн гоо үзэсгэлэнтэй уулзаж чаддаг. Энэ л бол олон хүмүүс математикт татагддаг шалтгаан бөгөөд математик хүн төрөлхтний соёл иргэншлийн хөгжилд асар их хувь нэмэр оруулж чадсан хөдөлгөгч хүч юм.
🍭