Бид өдөр тутмын амьдралдаа 'хязгааргүй' гэсэн илэрхийллийг ашигладаг. "Тэнгэрт од хязгааргүй олон байдаг", "Миний толгойд төсөөлөл хязгааргүй" гэх мэт илэрхийлэл. 'Хязгааргүй' гэсэн үг бидний хэлний дотор гүнзгий байрлаж байна. Математикт ч 'хязгааргүй' гэсэн ойлголттой байнга учрах боломжтой. "Байгалийн тоо хязгааргүй олон", "Шулуун дээрх цэг хязгааргүй олон", "Энэ функц хязгааргүй том руу дивергенц хийнэ" гэх мэт илэрхийлэл тэр жишээ юм.
Математикт авч үздэг хязгааргүй байдал олон төрөл байгаа боловч ахлах сургуулийн хөтөлбөрт тулгардаг хязгааргүй байдлыг том хоёр хэсэгт хувааж болно. Нэг нь функцийн хязгаарт тулгардаг хязгааргүй байдал, нөгөө нь олонлогийн элементийн тоог илэрхийлэх хязгааргүй байдал юм. Энэ нийтлэлд сүүлчийнх буюу олонлогийн элементийн тоог илэрхийлэх хязгааргүй байдлын талаар ярихыг хүсч байна.
Хязгааргүй олонлогийн хэмжээ
Олонлогийн элементийн тоо 'хязгааргүй' гэдэг нь ямар утгатай болохыг бодож үзцгээе. Байгалийн тоо болон рационал тооны аль нь илүү олон вэ? Байгалийн тоо болон бодит тооны аль нь илүү олон вэ? Бүгд хязгааргүй олон гэдэг бол адилхан юу, эсвэл байгалийн тоо биш рационал тоо байдаг учраас рационал тоо илүү олон юу? Бодит тооны тоо хэмжээ яаж байх вэ? Эхэнд сонсохоор эдгээр асуулт утгагүй мэт санагдаж болно. "Хязгааргүй байдал бол зүгээр л хязгааргүй биш үү?" гэж бодож болно. Гэвч энэ асуулт 19-р зууны төгсгөлд математичдыг ихээхэн бодоход автуулж, эцэст нь шинэ математикийн салбар төрөхөд хүргэсэн.
Хязгааргүй байдлын хэмжээг харьцуулах, тэр ч байтугай математикийн хувьд нарийвчлан харьцуулах гэдэг ямар утгатай вэ? Үүнийг ойлгохын тулд эхлээд хязгаарлагдмал объектын тоог хэрхэн харьцуулдагийг бодож үзцгээе. Ангийн сандлын тоо болон сурагчдын тоог харьцуулж байна гэж бодцгооё. Хамгийн энгийн арга бол сандлын тоо болон сурагчдын тоог тус тус тоолж харьцуулах явдал юм. Гэвч тоо тоолохгүйгээр ч харьцуулах аргатай. Сурагчдад тус бүр сандал дээр суухыг хэлээд, үлдсэн сандал эсвэл зогсож буй сурагч байгаа эсэхийг шалгах явдал.
Энэ арга нь тооны ойлголтгүйгээр ч хоёр олонлогийн элементийн тоог харьцуулах боломжийг олгодог. Эрт дээр үед хоньчид үүнтэй төстэй аргаар хонины тоог тогтоодог байсан гэдэг. Өглөө бүр хонийг гаргахдаа жижиг чулуу нэг нэгээр халаасанд хийж, орой хонийг цуглуулахдаа жижиг чулууг нэг нэгээр гаргаж үлдсэн жижиг чулуу байгаа эсэхийг шалгадаг байв. Ийм төрлийн харьцуулалтын арга нь хязгааргүй олонлогийн элементийн тоог харьцуулахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хоёр олонлог \(A\) болон \(B\) байхад \(A\)-ийн бүх элементийг \(B\)-ийн элементтэй нэг нэгээр үлдээлгүйгээр хосолж чадвал "хоёр олонлогийн хэмжээ адилхан" гэж хэлнэ. Ингээд үлдээлгүйгээр нэг нэгээр хослуулсныг математикийн хувьд 'нэг нэгт харгалзуулалт' гэж нэрлэдэг.
Энэ ойлголтыг хязгааргүй олонлогт хэрэглэвэл гайхалтай нь байгалийн тооны олонлог болон тэгш тооны олонлогийн хооронд нэг нэгт харгалзуулалт оршиж байгааг мэдэж болно. Өөрөөр хэлбэл байгалийн тоо \(n\) бүрт \(2n\) гэсэн тэгш тоог харгалзуулвал бүх байгалийн тоо болон бүх тэгш тоо дутуугүйгээр нэг нэгээр хослогддог. Энэ нь байгалийн тооны олонлог болон тэгш тооны олонлогийн хэмжээ адилхан гэсэн үг юм. Зөн совинд байгалийн тоо тэгш тооноос хоёр дахин олон мэт харагдах боловч хязгааргүй байдлын ертөнцөд тийм биш. Илүү гайхалтай баримт бол рационал тооны олонлог ч байгалийн тооны олонлогтой хэмжээ адилхан гэдэг. Эхэнд харахад рационал тоо байгалийн тооноос хамаагүй олон мэт харагдах боловч үнэндээ тийм биш. Ингээд байгалийн тоо, бүхэл тоо, рационал тооны олонлогийн элементийн тоо бүгд адилхан хэмжээтэй хязгааргүй байдал юм. Математичид энэ хэмжээг 'тоолж болох хязгааргүй байдал' гэж нэрлэж 'ℵ₀' гэсэн тэмдгээр илэрхийлдэг. ('алеф тэг' эсвэл 'алеф зеро' гэж уншина.)
Ингээд хязгааргүй олонлогуудын хооронд ч хэмжээг харьцуулж чаддаг. Хоёр хязгааргүй олонлогийн хооронд нэг нэгт харгалзуулалт байвал бид тэр хоёр олонлог 'адилхан хэмжээтэй' гэж хэлнэ. Математикийн хувьд үүнийг 'хоёр олонлог тэнцвэртэй' эсвэл 'хоёр олонлог адилхан кардинал тоотой' гэж илэрхийлдэг. Ийм ойлголтоор дамжуулан бид хязгааргүй байдлын ертөнцийг илүү системтэйгээр ойлгож чаддаг. Гэвч энэ бол зөвхөн эхлэл л юм. Үнэхээр бүх хязгааргүй олонлогийн хэмжээ адилхан юу? Эсвэл өөр өөр хэмжээтэй хязгааргүй байдал байдаг уу?
Хязгааргүй байдлаас ч том хязгааргүй байдал
19-р зууны төгсгөлд Германы математич Георг Кантор 'диагоналын арга'-ыг ашиглан бодит тооны олонлог байгалийн тооны олонлогоос том гэдгийг нотолсон. Хэрэв бодит тоо болон байгалийн тооны хооронд нэг нэгт харгалзуулалт боломжтой гэж үзвэл 0-ээс 1 хүртэлх бүх бодит тоог нэг мөрөнд дутуугүйгээр жагсааж чадах ёстой. Байгалийн тоог 1-ээс эхлэн дутуугүйгээр нэг мөрт жагсаадаг шиг. Гэвч Кантор ийм жагсаалтад дутсан бодит тоо заавал байдгийг харуулсан. Үүгээр дамжуулан Кантор бодит тооны олонлог байгалийн тооны олонлогоос том гэдгийг нотолсон.
Канторын нээлт математикийн ертөнцөд том цочрол өгсөн. Хязгааргүй байдалд ч өөр өөр хэмжээтэй төрөл байдаг гэж үү! Кантор энд нэг алхам цааш орж, ямар ч олонлогийн хүчний олонлог (бүх дэд олонлогийн цуглуулга) үргэлж анхны олонлогоос том байдгийг нотолсон. Үүнийг 'Канторын теорем' гэж нэрлэдэг. Цаашилбал, рационал тооны нягтрал, тасралтгүй функцийн шинж чанарыг ашиглавал байгалийн тооны олонлогийн хүчний олонлог бодит тооны олонлогтой адилхан хэмжээтэй гэдгийг тогтоож болно. Мөн бодит тооны олонлогийн хүчний олонлог түүнээс ч том хязгааргүй байдал болдог. Ийм байдлаар хязгааргүй том хязгааргүй байдлын давхарга байдаг.
Одоо хязгааргүй олонлогийн элементийн тоог зөвхөн 'хязгааргүй' гэж нэрлэх нь тохиромжтой биш мэт харагдаж байна. Хязгааргүй олонлогийн хэмжээ ч олон төрөл байгаа учраас. Математичид байгалийн байдлаар хязгааргүй олонлогийн хэмжээнд нэр өгөхийг оролдож, олонлогийн хэмжээг илэрхийлэх тоонд 'кардинал тоо (cardinal number)' гэсэн нэр өгсөн. Хязгаарлагдмал олонлогийн хувьд тэр олонлогийн элементийн тоо нь л кардинал тоо болдог. Тэгвэл хязгааргүй олонлогийн кардинал тоо хэрхэн болох вэ?
Хамгийн жижиг хязгааргүй олонлог болох байгалийн тооны олонлогийн кардинал тоог 'ℵ₀' (алеф зеро) гэж нэрлэдгийг аль хэдийн дурдсан. Энд 'алеф' нь еврей цагаан толгойн эхний үсэг бөгөөд хязгааргүй байдлыг илэрхийлэх тэмдэг болгон хэрэглэгддэг. Тэгвэл дараагийнх буюу том хязгааргүй байдлын хэмжээ юу вэ? Гайхалтай нь энэ асуултын хариулт 20-р зууны эхэнд тодорхойгүй байсан. Гэвч математичид үүнийг 'ℵ₁' (алеф нэг) гэж нэрлэхээр тохиролцсон. Мөн адил дараагийн хэмжээтэй хязгааргүй байдал 'ℵ₂' болдог. Бодит тооны олонлогийн кардинал тоог онцгойлон 'c' (continuum-ын товчлол) гэж тэмдэглэдэг.
Нотлож ч, үгүйсгэж ч болдоггүй мэдэгдэл
Хязгааргүй олонлогийн хэмжээнд нэр өгөх явцад байгалийн тооны олонлогоос том, бодит тооны олонлогоос жижиг хэмжээтэй олонлог байдаг эсэх талаар эргэлзээ гарсан. Олон математич ийм олонлог байхгүй байх гэж таамаглаж байсан бөгөөд энэ л бол алдартай 'тасралтгүй байдлын таамаглал' юм. 1900 онд математич Давид Хилберт энэ асуудлыг 20-р зуунд шийдвэрлэх ёстой 23 чухал математикийн асуудлын нэг болгон сонгосон. Гэвч энэ асуудлын шийдэл төсөөлснөөс ч гайхалтай үр дүн авчирсан.
1938 онд математич Курт Гёдель тасралтгүй байдлын таамаглал тэр үеийн стандарт олонлогийн онол (ZFC аксиомын систем)-д худал гэдгийг нотлох боломжгүй гэдгийг харуулсан. Түүнээс 25 жилийн дараа буюу 1963 онд Пол Коэн тасралтгүй байдлын таамаглал үнэн гэдгийг нотлох ч боломжгүй гэдгийг харуулсан. Энэ ямар утгатай вэ? Энгийнээр хэлбэл тасралтгүй байдлын таамаглал ZFC математикийн системд нотлож ч, үгүйсгэж ч болдоггүй гэсэн үг. Үүнийг 'одоо байгаа системээс хараат бус мэдэгдэл' гэж илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл тасралтгүй байдлын таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч ч, няцаач ч хоёулаа зөрчилгүй математикийн систем бүтээж чаддаг гэсэн үг.
Үнэн гэдгийг нотлож чадахгүй, худал гэдгийг ч нотлож чадахгүй мэдэгдэл байдаг гэж үү, гайхалтай! Тэгвэл тасралтгүй байдлын таамаглалаас гадна нотлолт, үгүйсгэлт аль алинд нь боломжгүй мэдэгдэл дахин байдаг уу? Гёдель байгалийн тоог хэлэлцэх боломжтай аксиомын системийг үндэслэн зөрчилгүй математикийн загварт нотлолт, үгүйсгэлт аль алинд нь боломжгүй мэдэгдэл заавал гардгийг нотолсон. Өөрөөр хэлбэл хэрэв тасралтгүй байдлын таамаглал үнэн болохоор эсвэл худал болохоор математикийн системийг дахин зохион байгуулсан ч тийм байдлаар дахин зохион байгуулсан математикийн системд тасралтгүй байдлын таамаглалаас гадна нотлолт, үгүйсгэлт аль алинд нь боломжгүй мэдэгдэл дахин гарч ирдэг. Ийм теоремийг Гёделийн (нэгдүгээр) бүрэн бус байдлын теорем гэж нэрлэдэг. (Дурдахад хоёрдугаар бүрэн бус байдлын теорем гэдэг нь байгалийн тоог хэлэлцэх боломжтай аксиомын системийг багтаасан зөрчилгүй загвар өөрийн зөрчилгүй байдлыг тэр загварын доторх нотлож чадахгүй гэсэн мэдэгдэл юм.)
Бүрэн бус байдлын теорем эхэнд харахад математикийн бүрэн бус байдлыг илэрхийлж буй мэт харагдана. Гэвч 'бүрэн бус байдал' гэсэн илэрхийллийн жингээс үл хамааран энэ теорем 'байгалийн тооны аксиомын системийг багтаасан, зөрчилгүй' гэсэн нөхцлийг хангасан загвар 'нотлолт, үгүйсгэлт аль алинд нь боломжгүй мэдэгдлийг агуулдаг' гэсэн энгийн 'шинж чанар'-тай байдгийг илэрхийлж байгаа бөгөөд математикийн бүрэн бус байдлыг илэрхийлэх биш юм. Цаашилбал мэдэгдлийн логик, нэгдүгээр эрэмбийн логик шиг байгалийн тооны аксиомын системийг багтаагаагүй загвар бүрэн байдалтай байж чаддаг.
Бүрэн бус байдлын теоремийн ач холбогдол
Хэрэв математикийн аксиомын системийг нягт зохион байгуулж тэр аксиомын системээс гарах бүх мэдэгдлийг тэр аксиомын систем дотор нотолж чадвал математикийн бүх теорем механик байдлаар (Тюрингийн машины зарчмын адил аргаар) нотлогдох болно. Хилберт үүнийг боломжтой гэж итгэж, нягт (зөрчилгүй бөгөөд бүрэн) аксиомын систем зохион байгуулахыг хичээсэн бөгөөд энэ л Хилбертийн хөтөлбөр байв. Гэвч 1931 онд Гёдель бүрэн бус байдлын теорем нийтэлснээр Хилбертийн мөрөөдөл эвдэрсэн. Гэвч өөр үзэл бодлоор харвал Гёделийн бүрэн бус байдлын теорем математикийн бүх теорем механик байдлаар нотлогдож чадахгүй гэдгийг илтгэдэг. Тиймээс бүрэн бус байдлын теорем математикийн ертөнцөд машин хүнийг бүрэн орлож чадахгүй, хүнд хийх ажил үлдээд байгааг баталгаажуулдаг итгэлийн гэрэл мэт юм.
Хүн төрөлхтөн хязгааргүй байдлын ертөнцийг судлахдаа гайхалтай нээлт хийсэн. Өөр өөр хэмжээтэй хязгааргүй байдал байдаг, мөн тэр хязгааргүй байдлын давхарга эцэс төгсгөлгүй үргэлжилдэг гэдгийг мэдсэн. Мөн тасралтгүй байдлын таамаглал, бүрэн бус байдлын теоремээр дамжуулан математикийн мөн чанарыг илүү гүнзгий ойлгох болсон. Эдгээр нээлтүүд зөвхөн математикийн дотор л чухал биш юм. Хязгааргүй байдлын судалгаа философи, физик, компьютерийн шинжлэх ухаан зэрэг олон салбарт нөлөө үзүүлсэн. Жишээлбэл орчин үеийн компьютерийн шинжлэх ухааны үндэс болсон тооцоологдох чадварын онол хязгааргүй олонлогийн хэмжээний судалгаанаас эхэлсэн.
Паскаль "Хүн бол бодож чаддаг зэгс мод" гэж хэлсэн. Бид хязгаарлагдмал оршихуй боловч хязгааргүй байдлыг бодож чаддаг чадвартай. Энэ чадвар л биднийг онцгой болгодог биш үү? Хязгааргүй байдлын судалгаа зөвхөн математикийн сониуч зандыг давж өөрсдийгөө болон орчлон ертөнцийг ойлгохыг гүнзгийрүүлэх аялал юм.
🍭