Хэрмит оператор нь олон төрлийн операторын шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог үзэл баримтлал юм. Ялангуяа хэрмит операторыг ашиглан хэвийн оператор, өөрийн хэрмит оператор, унитар операторыг тодорхойлж болно. Эдгээр операторууд нь шугаман алгебр болон функц анализд байнга гарч ирдэг.
Эхлээд хэвийн операторыг харъя.
Тодорхойлолт 1. (Хэвийн оператор ба хэвийн матриц)
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье. Энэ үед \(T\) нь хэвийн оператор гэдэг нь \[TT^* = T^*T\] биелэхийг хэлнэ.
- \(A\) нь дөрвөлжин матриц гэж үзье. Энэ үед \(A\) нь хэвийн матриц гэдэг нь \[AA^* = A^*A\] биелэхийг хэлнэ.
Оператор хэвийн оператор мөн эсэхийг шалгах үйл явц тийм ч хэцүү биш. Учир нь операторын хэрмит операторыг олж үржвэрийн үр дүнг шалгавал болдог учраас тэгэж болно.
Жишээ 2. (Хэвийн операторын жишээ)
\(k \in C[0,\, 1]\) бүрийн хувьд \(T_k \in B(L^2[0,\, 1])\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[T_k(g)(t) = k(t)g(t).\] Хэрэв \(f \in C[0,\, 1]\) бол \(T_f\) нь хэвийн оператор юм.
Шийдэл
Өмнөх нийтлэлийн Жишээ 5-д \((T_f)^* = T_{\overline{f}}\) болохыг тогтоосон. Тиймээс \(g \in L^2[0,\, 1]\) бүрийн хувьд \[\begin{gathered} (T_f(T_f)^*)(g) = T_f(T_{\overline{f}}(g)) = T_f(\overline{f}g) = f\overline{f}g \end{gathered}\] ба \[\begin{gathered} ((T_f)^*T_f)(g) = T_{\overline{f}}(T_f(g)) = T_{\overline{f}}(fg) = \overline{f}fg = f\overline{f}g \end{gathered}\] болно. Өөрөөр хэлбэл \(T_f(T_f)^* = (T_f)^*T_f\) тул \(T_f\) нь хэвийн оператор юм.
Жишээ 3. (Хэвийн биш операторын жишээ)
Нэг талын шилжүүлэх оператор \(S \in B(\ell^2)\) нь хэвийн оператор биш юм.
Шийдэл
\(\{y_n\} \in \ell^2\) бүрийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[S^*(y_1,\, y_2,\, y_3,\, \ldots) = (y_2,\, y_3,\, y_4,\, \ldots).\] \(\{x_n\} \in \ell^2\)-ийн хувьд \[\begin{gathered} S^*(S(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots)) = S^*(0,\, x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots) = (x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots) \end{gathered}\] харин \[\begin{gathered} S(S^*(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots)) = S(x_2,\, x_3,\, \ldots) = (0,\, x_2,\, x_3,\, \ldots) \end{gathered}\] болно. Тиймээс \(\{x_n\} \in \ell^2\) бүрийн хувьд \[S^*(S(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots)) \neq S(S^*(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots))\] тул \(S\) нь хэвийн оператор биш юм.
Арай илүү хийсвэр жишээг харъя.
Жишээ 4. (Хэвийн операторын жишээ)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай, \(I\) нь \(\mathcal{H}\) дээр тодорхойлсон нэгж оператор, \(\lambda \in \mathbb{C}\) гэж үзье. Хэрэв \(T \in B(\mathcal{H})\) нь хэвийн оператор бол \(T - \lambda I\) ч хэвийн оператор болно.
Шийдэл
Хэвийн операторын шинж чанараар \((T - \lambda I)^* = T^* - \overline{\lambda}I\) болно. Тиймээс \(T^*T = TT^*\) тэгшитгэлийг ашиглавал дараахийг олно. \[\begin{aligned} (T - \lambda I)(T - \lambda I)^* &= (T - \lambda I)(T^* - \overline{\lambda}I) \\[6pt] &= TT^* - \lambda T^* - \overline{\lambda}T + \lambda\overline{\lambda}I \\[6pt] &= T^*T - \lambda T^* - \overline{\lambda}T + \lambda\overline{\lambda}I \\[6pt] &= (T^* - \overline{\lambda}I)(T - \lambda I) \\[6pt] &= (T - \lambda I)^*(T - \lambda I). \end{aligned}\] Тиймээс \(T - \lambda I\) нь хэвийн оператор юм.
Одоо хэвийн операторын хэдэн шинж чанарыг харъя.
Туслах теорем 5. (Хэвийн операторын шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай, \(T \in B(\mathcal{H})\) нь хэвийн, \(\alpha > 0\) үед дараах зүйлс биелнэ.
- \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(\lVert Tx \rVert = \lVert T^*x \rVert\) болно.
- Хэрэв \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(\lVert Tx \rVert \geq \alpha\lVert x \rVert\) бол \(\operatorname{Ker} T^* = \{0\}\) болно.
Нотолгоо
- \(x \in \mathcal{H}\) гэж үзье. \(T^*T = TT^*\) тул \[\begin{aligned} \lVert Tx \rVert^2 - \lVert T^*x \rVert^2 &= \langle Tx,\, Tx \rangle - \langle T^*x,\, T^*x \rangle \\[6pt] &= \langle T^*Tx,\, x \rangle - \langle TT^*x,\, x \rangle \\[6pt] &= \langle T^*Tx - TT^*x,\, x \rangle \\[6pt] &= 0 \end{aligned}\] болно. Тиймээс \(\lVert Tx \rVert = \lVert T^*x \rVert\) болно.
- \(y \in \operatorname{Ker} T^*\) гэж үзье. Тэгвэл \(T^*y = 0\) тул (a)-аар \[0 = \lVert T^*y \rVert = \lVert Ty \rVert \geq \alpha\lVert y \rVert\] болно. Тиймээс \(\lVert y \rVert = 0\) ба \(y = 0\) болно. Тиймээс \(\operatorname{Ker} T^* = \{0\}\) болно.
Туслах теорем 5-ийн үр дүнд дараах байдлаар хэвийн операторын урвуу байдлыг тодорхойлох теоремийг олно.
Дагавар теорем 6. (Хэвийн операторын урвуу байдлын тодорхойлолт)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) нь хэвийн гэж үзье. Энэ үед дараах хоёр мэдэгдэл хоорондоо дүйцэх юм.
- \(T\) нь урвуу байдалтай юм.
- \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(\lVert Tx \rVert \geq \alpha \lVert x \rVert\)-г хангах \(\alpha > 0\) оршин байна.
Дээрх теорем нь дурын операторын урвуу байдлыг тодорхойлохоос хэвийн операторын урвуу байдлыг тодорхойлох нь харьцангуй илүү амархан гэдгийг харуулна.
Дараа нь өөрийн хэрмит оператор ба унитар операторыг харъя.
Ерөнхийдөө \(1 \times 1\) комплекс матрицын олонлогыг комплекс тооны олонлогтой адил гэж үзэж болох ба энэ тохиолдолд комплекс тоо \(z\)-ийн хэрмит матриц нь \(z^* = \overline{z}\) болно. Комплекс тооны олонлогийн чухал хоёр олонлог болох бодит тооны олонлог \[\mathbb{R} = \{z \in \mathbb{C} \,\vert\, z = \overline{z}\}\] ба комплекс хавтгай дахь нэгж тойрог \[\{z \in \mathbb{C} \,\vert\, z\overline{z} = \overline{z}z = 1\}\] гэх мэт хоёр олонлогыг хэрмит матриц (хосолмол комплекс тоо)ыг ашиглан дараах байдлаар илэрхийлж болно. \[\begin{gathered} \mathbb{R} = \{z \in \mathbb{C} \,\vert\, z = z^* \}, \\[6pt] \{z \in \mathbb{C} \,\vert\, z z^* = z^* z = 1\}. \end{gathered}\] Эдгээрийн эхнийх олонлогыг операторт ерөнхийлөхөд дараах байдал болно.
Тодорхойлолт 7. (Өөрийн хэрмит оператор ба өөрийн хэрмит матриц)
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье. Энэ үед \(T\) нь өөрийн хэрмит оператор гэдэг нь \[T = T^*\] ийг хангахийг хэлнэ.
- \(A\) нь дөрвөлжин матриц гэж үзье. Энэ үед \(A\) нь өөрийн хэрмит матриц гэдэг нь \(A = A^*\)-г хангахийг хэлнэ.
Оператор эсвэл матриц өөрийн хэрмит оператор эсвэл өөрийн хэрмит матриц мөн эсэхийг шалгах хэд хэдэн арга байна. Эхний арга нь хэрмит оператор эсвэл хэрмит матрицыг олж түүнийг анхны оператор эсвэл матрицтай адил эсэхийг шалгах явдал юм. Дараах жишээг харъя.
Жишээ 8. (Өөрийн хэрмит матрицын жишээ)
\(A = \begin{bmatrix} 2 & i \\ -i & 3 \end{bmatrix}\) матриц нь өөрийн хэрмит матриц юм.
Шийдэл
\(A\)-ийн хэрмит матрицыг олвол \[A^* = \begin{bmatrix} 2 & -i \\ i & 3 \end{bmatrix} = A\] тул \(A\) нь өөрийн хэрмит матриц юм.
\(T\) оператор өөрийн хэрмит оператор мөн эсэхийг шалгах хоёр дахь арга нь \(x\) ба \(y\) вектор бүрийн хувьд \(\langle Tx,\, y \rangle = \langle x,\, Ty \rangle\) болохыг шууд харуулах явдал юм. Хэрмит операторын өвөрмөц байдлаар энэ тэгшитгэл биелвэл \(T\) нь өөрийн хэрмит оператор болно.
Жишээ 9. (Өөрийн хэрмит операторын жишээ)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай гэж үзье. Нэгж оператор \(I \in B(\mathcal{H})\) нь өөрийн хэрмит оператор юм.
Хэрэв операторын хэрмит операторыг аль хэдийн мэддэг бол түүнийг өөрийн хэрмит оператор мөн эсэхийг шалгах нь илүү амархан байдаг. Дараах жишээг харъя.
Жишээ 10. (Хэрмит операторыг мэдэж байгаа тохиолдолд өөрийн хэрмит операторыг тодорхойлох)
\(k \in C[0,\, 1]\) бүрийн хувьд \(T_k \in B(L^2[0,\, 1])\)-г Жишээ 2-тай адилхан тодорхойлъё. Хэрэв \(f \in C[0,\, 1]\) нь бодит утгатай бол \(T_f\) нь өөрийн хэрмит оператор юм.
Шийдэл
Эхлээд \((T_f)^* = T_{\overline{f}}\) болно. Таамаглалаар \(f\) нь бодит утгатай тул \(\overline{f} = f\) болно. Тиймээс \[(T_f)^* = T_{\overline{f}} = T_f\] болно. Тиймээс \(T_f\) нь өөрийн хэрмит оператор юм.
Өөрийн хэрмит операторын ерөнхий алгебрийн шинж чанар нь дараах туслах теоремтэй адил юм. Энд өөрийн хэрмит оператор ба бодит тооны хоорондын ижил төстэй байдлыг ажиглаж болно.
Туслах теорем 11. (Өөрийн хэрмит операторын алгебрийн шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(\mathcal{S}\) нь \(B(\mathcal{H})\) дээр тодорхойлсон өөрийн хэрмит операторын олонлог гэж үзье.
- Хэрэв \(\alpha\) ба \(\beta\) нь бодит тоо, \(T_1 \in \mathcal{S},\, T_2 \in \mathcal{S}\) бол \(\alpha T_1 + \beta T_2 \in \mathcal{S}\) болно.
- \(\mathcal{S}\) нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн хаалттай дэд олонлог юм.
Нотолгоо
- \(T_1\) ба \(T_2\) нь өөрийн хэрмит оператор тул \[(\alpha T_1 + \beta T_2)^* = \alpha T_1^* + \beta T_2^* = \alpha T_1 + \beta T_2\] болно. Тиймээс \(\alpha T_1 + \beta T_2 \in \mathcal{S}\) болно.
- \(\{T_n\}\) нь \(\mathcal{S}\)-с \(T \in B(\mathcal{H})\) руу сэнэгдэх дараалал гэж үзье. Тэгвэл \(\{T_n^*\}\) нь \(T^*\) руу сэнэгдэнэ. Тиймээс \(n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(T_n^* = T_n\) болохоор \(\{T_n\}\) нь \(T^*\) руу сэнэгдэнэ. Тиймээс \(T = T^*\) ба \(T \in \mathcal{S}\) болно. Өөрөөр хэлбэл \(\mathcal{S}\) нь хаалттай юм.
Дээрх теоремийг өөрөөр илэрхийлвэл \(B(\mathcal{H})\) дэх өөрийн хэрмит операторын олонлог нь бодит Банах орон зай үүсгэдэг гэсэн үг юм.
Туслах теорем 12. (Хязгаарлагдмал оператор ба өөрийн хэрмит операторын хамаарал)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье.
- \(T^*T\) ба \(TT^*\) нь өөрийн хэрмит оператор юм.
- Өөрийн хэрмит оператор \(R,\, S\) оршин байж \(T = R + iS\) болно.
Нотолгоо
- Хэрмит операторын алгебрийн шинж чанараар \[(T^*T)^* = T^*T^{**} = T^*T\] болно. Тиймээс \(T^*T\) нь өөрийн хэрмит юм. Адилхан \(TT^*\) ч өөрийн хэрмит юм.
- \(R\) ба \(S\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[R = \frac{1}{2}(T + T^*),\quad S = \frac{1}{2i}(T - T^*).\] Тэгвэл \(T = R + iS\) болно. Мөн \[R^* = \frac{1}{2}(T + T^*)^* = \frac{1}{2}(T^* + T) = R\] тул \(R\) нь өөрийн хэрмит оператор юм. Мөн \[S^* = - \frac{1}{2i}(T - T^*)^* = - \frac{1}{2i}(T^* - T^{**}) = \frac{1}{2i}(T - T^*) = S\] тул \(S\) ч өөрийн хэрмит оператор юм.
Туслах теорем 12-д тодорхойлсон \(R\) ба \(S\) операторыг ихэвчлэн \(T\) операторын бодит хэсэг ба хийсвэр хэсэг гэж нэрлэдэг.
Одоо \[\{z \in \mathbb{C} \,\vert\, z\overline{z} = \overline{z}z = 1\}\] олонлогыг операторт ерөнхийлсөн унитар операторыг харъя.
Тодорхойлолт 13. (Унитар оператор ба унитар матриц)
- \(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье. Энэ үед \(T\) нь унитар оператор гэдэг нь \[TT^* = T^*T = I\] ийг хангахийг хэлнэ.
- \(A\) нь дөрвөлжин матриц гэж үзье. Энэ үед \(A\) нь унитар матриц гэдэг нь \[AA^* = A^*A = I\] ийг хангахийг хэлнэ.
Тодорхойлолтоор унитар операторын урвуу оператор нь хэрмит оператор бөгөөд унитар матрицын урвуу матриц нь хэрмит матриц юм.
Жишээ 14. (Унитар операторын жишээ)
\(k \in C[0,\, 1]\) бүрийн хувьд \(T_k \in B(L^2[0,\, 1])\)-г Жишээ 2-тай адилхан тодорхойлъё. Хэрэв \(f \in C[0,\, 1]\) ба \(t \in [0,\, 1]\) бүрийн хувьд \(|f(t)| = 1\) бол \(T_f\) нь унитар оператор юм.
Шийдэл
Эхлээд \((T_f)^* = T_{\overline{f}}\) болно. Тиймээс \[((T_f)^*T_f)g(t) = \overline{f(t)}f(t)g(t) = |f(t)|^2g(t)\] тул \(T_f^*T_f(g) = g\) болж \(T_f^*T_f = I\) болно. Адилхан \(T_fT_f^* = I\) болно. Тиймээс \(T_f\) нь унитар оператор юм.
Өгөгдсөн оператор унитар оператор мөн эсэхийг тодорхойлох өөр геометрийн аргыг харъя.
Туслах теорем 15. (Дотоод үржвэр ашиглан операторын тэнцүү байдлыг тодорхойлох)
\(X\) нь комплекс дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(S,\, T \in B(X)\) гэж үзье. Хэрэв \(z \in X\) бүрийн хувьд \(\langle Sz,\, z \rangle = \langle Tz,\, z \rangle\) биелвэл \(S = T\) болно.
Теорем 16. (Унитар оператор ба зайлшгүй хувиргалтын хамаарал)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T,\, U \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье.
- \(T^*T = I\) байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(T\) нь зайлшгүй хувиргалт (isometry) байх явдал юм.
- \(U\) нь унитар оператор байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(U\) нь \(\mathcal{H}\)-с \(\mathcal{H}\) дээш (onto) зайлшгүй хувиргалт байх явдал юм.
Нотолгоо
- Эхлээд \(T^*T = I\) гэж үзье. Тэгвэл
\[\lVert Tx \rVert^2 = \langle Tx,\, Tx \rangle = \langle T^*Tx,\, x \rangle = \langle Ix,\, x \rangle = \lVert x \rVert^2\]
тул \(T\) нь зайлшгүй хувиргалт болно.
Эсрэгээр \(T\) нь зайлшгүй хувиргалт гэж үзье. Тэгвэл \[\langle T^*Tx,\, x \rangle = \langle Tx,\, Tx \rangle = \lVert Tx \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 = \langle Ix,\, x \rangle\] тул \(T^*T = I\) болно. - Эхлээд \(U\) нь унитар оператор гэж үзье. Тэгвэл \(U\) нь (a)-аар зайлшгүй хувиргалт болно. Түүнчлэн \(y \in \mathcal{H}\) бол \(y = U(U^*y)\) тул \(y \in \operatorname{Im} U\) болно. Тиймээс \(U\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{H}\) дээш харгалзуулна.
Эсрэгээр \(U\) нь \(\mathcal{H}\)-с \(\mathcal{H}\) дээш зайлшгүй хувиргалт гэж үзье. Тэгвэл (a)-аар \(U^*U = I\) биелнэ. \(y \in \mathcal{H}\) үед \(U\) нь \(\mathcal{H}\)-г \(\mathcal{H}\) дээш харгалзуулдаг тул \(Ux = y\)-г хангах \(x \in \mathcal{H}\) оршин байна. Тиймээс \[UU^*y = UU^*(Ux) = U(U^*U)x = UIx = Ux = y\] тул \(UU^* = I\) болно. Өөрөөр хэлбэл \(U\) нь унитар оператор юм.
Дараах нь байнга ашиглагддаг унитар операторын шинж чанар юм.
Теорем 17. (Унитар операторын олонлогийн шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(\mathcal{U}\) нь \(B(\mathcal{H})\) дэх унитар операторын олонлог гэж үзье.
- Хэрэв \(U \in \mathcal{U}\) бол \(U^* \in \mathcal{U}\) ба \(\lVert U \rVert = \lVert U^* \rVert = 1\) болно.
- Хэрэв \(U_1 \in \mathcal{U},\, U_2 \in \mathcal{U}\) бол \(U_1U_2\) ба \(U_1^{-1}\) нь \(\mathcal{U}\)-д харъяалагдана.
- \(\mathcal{U}\) нь \(B(\mathcal{H})\)-ийн хаалттай дэд олонлог юм.