Энэ нийтлэлд комплекс Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон өөртөө хослол компакт операторын спектрийг авч үзье. Өөртөө хослол компакт операторын хувьд ерөнхий компакт операторуудаас илүү спектртэй холбоотой илүү сайн дүгнэлт гаргаж болно. Учир нь өөртөө хослол гэсэн нөхцөл нэмэгдэх үед тэр операторт хамаарах инвариант орон зайг авч үзэж болдог.
Тодорхойлолт 1. (Инвариант дэд орон зай)
\(X\) нь векторын орон зай, \(S \in L(X)\) байг. Дэд векторын орон зай \(W \subset X\) нь \(S\)-д инвариант байна гэдэг нь \(S(W) \subset W\) гэсэн үг юм.
Лемм 2. (Өөртөө хослол операторын ортогональ нэмэлт орон зайн инвариант шинж чанар)
\(K\) нь Гильбертын орон зай, \(S \in B(K)\) нь өөртөө хослол оператор байг. \(M\) нь \(S\)-д инвариант байх \(K\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай бол \(M^\perp\) ч мөн \(S\)-д инвариант байна.
Батламж
Дурын \(u \in M\), \(v \in M^\perp\)-д \[\langle Sv,\,u \rangle = \langle v,\,Su \rangle = 0\]биелнэ. Учир нь \(S\) нь өөртөө хослол оператор бөгөөд \(Su \in M\) байдаг. Тиймээс \(Sv \in M^\perp\), \(S(M^\perp) \subset M^\perp\) тул хүссэн дүгнэлтийг олно.
Энэ лемм нь өөртөө хослол операторыг "задлах" боломжийг олгож, янз бүрийн дэд векторын орон зай \(M \subset H\) дэх үйлдэл болон ортогональ нэмэлт орон зай \(M^\perp\) дэх үйлдлийг авч үзэх боломжийг олгодог. Ерөнхий оператор \(S \in B(H)\)-ийн хувьд \(S\) нь \(M\)-д инвариант байсан ч \(M^\perp\)-д инвариант биш байж болно.
\(T\)-г задлахад гол хэрэглэгддэг дэд орон зай нь \(\operatorname{Ker} T\) болон \(\overline{\operatorname{Im} T}\) юм. (\(0 \in \operatorname{Ker} T\), \(\operatorname{Im} T \subset \overline{\operatorname{Im} T}\) тул энэ хоёр орон зай бүгд \(T\)-д инвариант байдаг нь тодорхой.) \(T\) нь өөртөө хослол оператор тул \[\overline{\operatorname{Im} T} = (\operatorname{Ker} T)^\perp \tag{1}\] байна. Одооноос эхлэн \(P\) нь \(H\)-ээс \(\overline{\operatorname{Im} T}\) руу ортогональ проекцыг илэрхийлнэ гэж үзье. Тэгвэл (1)-ээр \(I - P\) нь \(\operatorname{Ker} T\) руу ортогональ проекц байна. Түүнчлэн орон зай \(\overline{\operatorname{Im} T}\) нь тооллын Гильбертын орон зай байна. Цаашид \(T\)-ийн өөрийн векторуудаас бүрдэх \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурийг бүтээж болохыг авч үзнэ. (Энэ нь \(H\) нь тооллын эсэхээс үл хамааран биелдэг.) Тодорхойлогдох муж нь орон зай \(\operatorname{Ker} T\) болох \(T\)-ийн хязгаарлах функц нь тодорхой тогтдог тул \(T\)-ийн өөрийн векторуудаас бүрдэх \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь нь \(H\) дэх \(T\)-ийн үйлдлийн бүрэн дүрслэлийг өгдөг.
\(T\) нь өөртөө хослол оператор биш тохиолдолд тэгшитгэл (1) нь заавал биелдэхгүй. \(\mathbb{C}^2\) дэх матриц \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{2}\] -аар илэрхийлэгдэх операторыг эсрэг жишээ болгон дурдаж болно.
Ерөнхий компакт оператор нь тривиал биш өөрийн утгагүй байж болохыг өмнө авч үзсэн. Энэ нь тэг биш өөртөө хослол компакт операторт тохиолдож болохгүй.
Теорем 3. (Тривиал биш өөрийн утгын оршин байх байдал)
\(\|T\|\) болон \(-\|T\|\)-ийн доод тал нь нэг нь \(T\)-ийн өөрийн утга байна.
Батламж
\(T\) нь тэг оператор бол үр дүн тодорхой тул \(T\) нь тэг биш гэж таамаглая. Тэгвэл \(\|T\|\) эсвэл \(-\|T\|\)-ийн доод тал нь нэг нь \(\sigma(T)\)-д хамаарах тул энэ цэг нь \(\sigma_p(T)\)-д хамаарах ёстой.
Одоог хүртэл тогтоосон \(T\)-ийн спектртэй холбоотой баримтуудыг нэгтгэвэл дараах байдал болно.
Теорем 4. (Спектрийн бүтэц)
\(T\)-ийн тривиал биш өөрийн утгуудын олонлог нь хоосон олонлог биш бөгөөд хязгаарлагдмал эсвэл \(0\) руу тэмдэгт дарааллаас бүрдэнэ. Түүнчлэн тривиал биш өөрийн утга бүр нь бодит тоо бөгөөд хязгаарлагдмал давталттай байна. Өөр өөр өөрийн утгуудад харгалзах өөрийн векторууд нь хоорондоо ортогональ байна.
Батламж
Өмнө бүгдийг батласан тул сүүлийн үр дүнг л батлахад хангалттай. \(\lambda_1 ,\) \(\lambda_2 \in \mathbb{R}\) нь харгалзах өөрийн вектор \(e_1 ,\) \(e_2\)-тэй өөр өөр өөрийн утга гэж таамаглая. \(T\) нь өөртөө хослол оператор тул \[\lambda_1\langle e_1,\,e_2 \rangle = \langle Te_1,\,e_2 \rangle = \langle e_1,\,Te_2 \rangle = \lambda_2\langle e_1,\,e_2 \rangle\] бөгөөд \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) тул \(\langle e_1,\,e_2 \rangle = 0\) байна.
Теорем 4-ээр одоо \(T\)-ийн өөрийн утгуудыг \(|\lambda_n|\)-ийн утга буурч, өөрийн утга \(\lambda_n\) бүр өөрийн давталтынхаа тоогоор давтагдан гарч буй хязгаарлагдмал жагсаалт \(\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_J\) эсвэл тооллын хязгаарлагдмал бус жагсаалт \(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots\) хэлбэрээр эрэмбэлж болно. Түүнчлэн \(n\) бүрт Грам-Шмидтийн алгоритмыг ашиглан яг \(m_{\lambda_n}\) ширхэг өөрийн векторуудаас бүрдэх орон зай \(\operatorname{Ker}(T - \lambda_n I)\) бүрийн нормчлогдсон ортогональ суурийг бүтээж болно. Тиймээс өөрийн утгатай ижил дарааллаар өөрийн векторуудыг жагсаавал \(e_1,\,\ldots,\,e_J\) эсвэл \(e_1,\,e_2,\,\ldots\) хэлбэрийн харгалзах өөрийн векторын жагсаалтыг олно. Энэ үед ижил өөрийн утгад харгалзах өөр өөр хоёр өөрийн вектор нь ортогональ бөгөөд теорем 4-ээр өөр өөр өөрийн утгуудад харгалзах өөрийн векторууд нь ортогональ байна. Тиймээс ийм аргаар бүтээсэн жагсаалт нь нормчлогдсон ортогональ олонлог байна.
Одоогоор тривиал биш өөрийн утга хэдэн байдгийг мэдэхгүй байна. Хязгаарлагдмал болон хязгаарлагдмал бус тохиолдлыг хоёуланг нь авч үзэхээр тэр тоог \(J\) гэж тэмдэглэе. Энд \(J\) нь хязгаарлагдмал бүхэл тоо эсвэл "\(J = \infty\)" байж болно. Ийм тэмдэглэгээг ашиглан өмнө бүтээсэн суурийн векторын жагсаалтыг \(\{\lambda_n\}_{n=1}^J\) эсвэл \(\{e_n\}_{n=1}^J\) хэлбэрээр тэмдэглэе. Бодитоор \(J\) нь \(r(T)\)-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл \(T\)-ийн ранктай тэнцүү гэдгийг харуулна. Түүнчлэн \(\{e_n\}_{n=1}^J\) нь Гильбертын орон зай \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь гэдгийг харуулна.
Теорем 5. (Өөртөө хослол компакт операторын спектрийн задлал)
\(T\)-ийн тривиал биш өөрийн утгуудын тоо нь \(r(T)\)-тэй тэнцүү байна. (Гэхдээ өөрийн утгуудыг давталтын дагуу давтан тоолно.) Өмнө бүтээсэн өөрийн векторын олонлог \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь бөгөөд оператор \(T\) нь дараах илэрхийлэлтэй байна. \[Tx = \sum_{n=1}^{r(T)} \lambda_n\langle x,\,e_n \rangle e_n \tag{3}\] Энд \(\{\lambda_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь \(T\)-ийн тривиал биш өөрийн утгуудын олонлог юм.
Батламж
Олонлог \(M\)-г дараах байдлаар тодорхойлье. \[M = \operatorname{Sp}\{e_n\}_{n=1}^J .\] Тэгвэл \(\{e_n\}_{n=1}^J\) нь \(M\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байна. \(M = \overline{\operatorname{Im} T}\) гэдгийг харуулж, улмаар \(J = r(T)\) гэдгийг харуулна. (Энд \(r(T)\) нь хязгаарлагдмал ч байж болно, хязгаарлагдмал бус ч байж болно.) \(r(T) < \infty\) бол \(\operatorname{Im} T\) нь хаалттай тул \(\operatorname{Im} T = \overline{\operatorname{Im} T}\) байна.
Дурын \(u \in M\)-д \[u = \sum_{n=1}^J \alpha_n e_n\] байна. Энд \(\alpha_n = \langle u,\,e_n \rangle ,\) \(n = 1,\,\ldots,\,J\) байна. Тиймээс \(J = \infty\) бол \[u = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \alpha_n \lambda_n^{-1} Te_n = \lim_{k \to \infty} T\left(\sum_{n=1}^k \alpha_n \lambda_n^{-1} e_n\right) \in \overline{\operatorname{Im} T}\] тул \(M \subset \overline{\operatorname{Im} T}\) байна. \(J\) хязгаарлагдмал үед ч ижил аргаар ижил үр дүнг олно. Үүнээс \(\operatorname{Ker} T = (\overline{\operatorname{Im} T})^\perp \subset M^\perp\)-г олно.
Одоо \(M^\perp \subset \operatorname{Ker} T\) гэдгийг харуулая. Энэ нь \(M^\perp = \operatorname{Ker} T\) гэсэн үг бөгөөд улмаар \(M = (M^\perp)^\perp = \overline{\operatorname{Im} T}\)-г олно.
\(J = \infty\), \(u \in M\) бол \[Tu = T\left(\lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right) = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \alpha_n Te_n = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \lambda_n \alpha_n e_n = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n \alpha_n e_n \in M\] байна. \(J\) хязгаарлагдмал тохиолдолд ч ижил аргаар ижил үр дүнг олно. Тиймээс \(M\) нь \(T\)-д инвариант байна. Лемм 2-оор \(N = M^\perp\) ч мөн \(T\)-д инвариант байна.
\(T\)-ийн тодорхойлогдох мужийг \(N\) болгон хязгаарласан функцыг \(T_N\) гэе. Тэгвэл \(T_N\) нь Гильбертын орон зай \(N\) дэх өөртөө хослол компакт оператор байна. Одоо \(T_N\) нь \(N\)-д тэг оператор биш гэж таамаглая. Тэгвэл теорем 3-аар \(T_N\) нь тривиал биш өөрийн утгатай байна. Жишээ нь харгалзах тэг биш өөрийн вектор \(e \in N\)-тэй \(\tilde{\lambda}\)-г өөрийн утга болгон гаргана. Тиймээс \(Te = T_N e = \tilde{\lambda}e\) байна. Гэхдээ энэ нь \(\tilde{\lambda}\) нь \(T\)-ийн тривиал биш өөрийн утга гэсэн үг тул тохирох \(n\)-д \(\tilde{\lambda} = \lambda_n\) бөгөөд \(e\) нь \(\lambda_n\)-д харгалзах өөрийн векторуудаар үүссэн дэд орон зайд хамаарах ёстой. Гэхдээ энэ дэд орон зай нь \(M\) дотор байх тул \(e \in M\) байх ёстой боловч \(e \neq 0\) тул энэ нь \(e \in N = M^\perp\)-тэй зөрчилдөнө. Тиймээс \(T_N\) нь тэг оператор байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл бүх \(v \in N\)-д \(Tv = T_N v = 0\) эсвэл \(M^\perp = N \subset \operatorname{Ker} T\) байна. Тиймээс \(M = \overline{\operatorname{Im} T}\) гэсэн баримт батлагдлаа.
Эцэст нь дурын \(x \in H\)-д \((I - P)x \in M^\perp\) тул дурын \(n\)-д \[\langle x,\,e_n \rangle = \langle Px + (I - P)x,\,e_n \rangle = \langle Px,\,e_n \rangle\tag{4}\] биелнэ. Учир нь \(e_n \in M\) байдаг. Тиймээс \[Tx = T(Px + (I - P)x) = TPx = \sum_{n=1}^J \lambda_n\langle Px,\,e_n \rangle e_n = \sum_{n=1}^J \lambda_n\langle x,\,e_n \rangle e_n\] байна.
Өөртөө хослол оператор \(T\)-г задалсан илэрхийлэл (3) нь матрицыг түүний өөрийн векторуудаас бүрдэх суурийг сонгосноор диагоналчлагдаж болдог гэсэн хязгаарлагдмал хэмжээст шугаман алгебрын алдартай үр дүнгийн хязгаарлагдмал бус хэмжээст хувилбар юм.
Өөрийн векторын нормчлогдсон ортогональ олонлог \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь орон зай \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь боловч \(\overline{\operatorname{Im} T} = H\) биш тохиолдолд бүх орон зай \(H\)-ийн суурь биш байна. (1)-ээр энэ нь \(\operatorname{Ker} T = \{0\}\) үед, өөрөөр хэлбэл \(T\) нь нэг нэгэнд харгалзах үед биелдэг тул дараах үр дүнг олно.
Дагалдах теорем 6. (Цөм тривиал үед суурь)
\(\operatorname{Ker} T = \{0\}\) бол өөрийн векторын олонлог \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь \(H\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байна. Ялангуяа \(H\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст, \(\operatorname{Ker} T = \{0\}\) бол \(T\) нь тоо томшгүй олон өөр өөр өөрийн утгатай байна.
\(H\) нь тооллын бол \(\operatorname{Ker} T = \{0\}\) биш байсан ч \(T\)-ийн өөрийн векторуудаас бүрдэх \(H\)-ийн суурийг олж болно.
Дагалдах теорем 7. (Тооллын Гильбертын орон зайд өөрийн векторын суурь)
\(H\) нь тооллын гэж таамаглая. Тэгвэл зөвхөн \(T\)-ийн өөрийн векторуудаас бүрдэх \(H\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байдаг. Энэ суурь нь \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)} \cup \{z_m\}_{m=1}^{n(T)}\) хэлбэртэй байна. Энд \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь \(\overline{\operatorname{Im} T}\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь, \(\{z_m\}_{m=1}^{n(T)}\) нь \(\operatorname{Ker} T\)-ийн нормчлогдсан ортогональ суурь байна.
Батламж
\(H\) нь тооллын орон зай тул \(\operatorname{Ker} T\) нь тооллын Гильбертын орон зай байна. Тиймээс \(\operatorname{Ker} T\)-ийн нормчлогдсон ортогональ суурь байдаг. Тэр нормчлогдсан ортогональ суурийг \(\{z_m\}_{m=1}^{n(T)}\) хэлбэрээр илэрхийлье. (Энд \(n(T)\) нь хязгаарлагдмал ч байж болно, хязгаарлагдмал бус ч байж болно.) \(m\) бүрт \(Tz_m = 0\) тул \(z_m\) нь өөрийн утга \(\lambda = 0\)-д харгалзах \(T\)-ийн өөрийн вектор байна.
Нэгдэл \(E = \{e_n\}_{n=1}^{r(T)} \cup \{z_m\}_{m=1}^{n(T)}\) нь \(H\) дэх тооллын нормчлогдсан ортогональ олонлог байна. Бодитоор энэ олонлог нь \(H\)-ийн суурь байна. Үүнийг батлая. \[\begin{aligned} x &= Px + (I - P)x \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{r(T)} \langle Px,\,e_n \rangle e_n + \sum_{m=1}^{n(T)} \langle (I - P)x,\,z_m \rangle z_m \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{r(T)} \langle x,\,e_n \rangle e_n + \sum_{m=1}^{n(T)} \langle x,\,z_m \rangle z_m \end{aligned}\] байна. Энд тэнцэтгэл (4)-тэй ижлээр \(m\) бүрт тэнцэтгэл \[\langle (I - P)x,\,z_m \rangle = \langle x,\,z_m \rangle\]-г ашигласан. Тиймээс \(E\) нь \(H\)-ийн нормчлогдсан ортогональ суурь байна.
Өмнөх нийтлэлд ерөнхий компакт оператор \(T\)-д тэгшитгэлийн шийдийн оршин байх байдлын талаар ярилцсан. \(T\) нь өөртөө хослол оператор үед (3) дэх \(T\)-ийн илэрхийлэлийг ашиглан шийдийг илэрхийлэх аргыг олж болно.
Теорем 8. (Өөртөө хослол компакт оператор агуулсан тэгшитгэлийн шийдийн илэрхийлэл)
\(\{\lambda_n\}_{n=1}^{r(T)}\) болон \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\)-г өмнө бүтээсэн \(T\)-ийн тривиал биш өөрийн утгууд болон харгалзах өөрийн векторын нормчлогдсан ортогональ олонлог гэе. Тэгвэл дурын \(\lambda \neq 0\)-д тэгшитгэл \[(T - \lambda I)x = p \tag{5}\] -д дараахын нэг нь биелнэ.
- \(\lambda\) нь өөрийн утга биш бол тэгшитгэл (5) нь цорын ганц шийдтэй бөгөөд энэ шийд нь дараах хэлбэртэй байна. \[x = \sum_{n=1}^{r(T)} \frac{\langle p,\,e_n \rangle}{\lambda_n - \lambda}e_n - \frac{1}{\lambda}(I - P)p .\tag{6}\]
- \(\lambda\) нь өөрийн утга бол \(\lambda_n = \lambda\) байх бүхэл тоо \(n\)-ийн олонлогийг \(E\) гэе. Тэгвэл тэгшитгэл (5) нь дараах нөхцөл биелэх үед л шийдтэй байна. \[\langle p,\,e_n \rangle = 0, \quad n \in E . \tag{7}\] Нөхцөл (7) биелбэл (5)-ийн шийдийн олонлог нь дараах хэлбэртэй байна. \[x = \sum_{\substack{n=1\\n\notin E}}^{r(T)} \frac{\langle p,\,e_n \rangle}{\lambda_n - \lambda}e_n - \frac{1}{\lambda}(I - P)p + z . \tag{8}\] Энд \(z = \sum_{n \in E} \alpha_n e_n\) нь \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)\)-ийн дурын элемент юм.
Батламж
Тэгшитгэл (5)-ийн шийд нь өгөгдсөн нөхцөлд оршин байдаг нь Фредгольмын дихотомийн теоремд батлагдсан. Шийд нь өгөгдсөн хэлбэртэй гэдгийг харуулбал хангалттай. \(\{e_n\}_{n=1}^{r(T)}\) нь \(\overline{\operatorname{Im} T} = (\operatorname{Ker} T)^\perp\)-ийн нормчлогдсан ортогональ суурь тул (4)-ээр \[x = \sum_{n=1}^{r(T)} \langle x,\,e_n \rangle e_n + (I - P)x, \quad p = \sum_{n=1}^{r(T)} \langle p,\,e_n \rangle e_n + (I - P)p\] бөгөөд тиймээс (5)-аар \[(T - \lambda I)x = \sum_{n=1}^{r(T)} \langle x,\,e_n \rangle(\lambda_n - \lambda)e_n - \lambda(I - P)x = \sum_{n=1}^{r(T)} \langle p,\,e_n \rangle e_n + (I - P)p\] байна. Хоёр талын \(e_k,\) \(1 \leq k \leq r(T)\) бүртэй дотоод үржвэрийг авч, \(\lambda\) нь өөрийн утга биш гэж таамаглавал \[\langle x,\,e_k \rangle(\lambda_k - \lambda) = \langle p,\,e_k \rangle\] болон \[\langle x,\,e_k \rangle = \frac{\langle p,\,e_k \rangle}{\lambda_k - \lambda} \tag{9}\] -г олно. Түүнчлэн дээрх тэнцэтгэлийн хоёр талд \(\operatorname{Ker} T\) руу ортогональ проекцыг авбал \[-\lambda(I - P)x = (I - P)p\] байна. Одоо энэ хоёр үр дүнгээс шийд (6)-г олно. Ингэж (a) батлагдлаа.
(b)-ийн батламж ч ижил байдалтай. \(k \in E\) үед нөхцөл (7) нь (9)-ийн эхний тэнцэтгэл нь дурын коэффициент \(\langle x,\,e_k \rangle = \alpha_k\)-аар хангагдана гэдгийг баталгаажуулдаг. (Мөн хуваагчийн \(\lambda_n - \lambda\) гишүүнээс үүсэх асуудлаас зайлсхийж болно.) Харгалзах гишүүн \(\alpha_k e_k\) нь (8)-ийн шийдэд \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) доторх дурын элементийг илэрхийлэхэд ашиглагдана.