Хязгаарлагдмал хэмжээст Гильбертын орон зайд шугаман оператор \(T\)-ийн спектр \(\sigma (T)\) нь давталт нь хязгаарлагдмал байх хязгаарлагдмал тооны өөрийн утгуудаас бүрдэнэ. Хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон шугаман операторын спектр нь маш өөр хэлбэртэй байж болно. Гэхдээ компакт операторын спектр нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугаман операторын спектртэй ижил төстэй шинж чанартай байдаг. Өөрөөр хэлбэл хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зайд тодорхойлогдсон компакт оператор \(T\)-ийн спектр \(\sigma (T)\) нь давталт нь хязгаарлагдмал байх тооллын тооны \(0\) биш өөрийн утгууд болон өөрийн утга биш ч байж болно, давталт нь хязгаарлагдмал биш ч байж болох \(0\) цэгээс бүрдэнэ.
Энэ нийтлэлд тусгайлан дурдахгүй бол \(H\) нь комплекс Гильбертын орон зайг илэрхийлж, \(T\) нь \(K(H)\)-ийн элемент гэж үзнэ.
Тодорхойлолт 1. (Цэгийн спектр ба резольвентийн олонлог)
\(K\) нь Гильбертын орон зай, \(S \in B(K)\) байг. Дараах олонлогуудыг тодорхойлъё. \[\begin{aligned} \sigma_p(S) &= \{\lambda \,\vert\, \lambda \text{ нь } S\text{-ийн өөрийн утга}\},\\[6pt] \rho(S) &= \mathbb{C} \setminus \sigma(S). \end{aligned}\] Энэ үед олонлог \(\sigma_p(S)\)-г \(S\)-ийн цэгийн спектр (point spectrum) гэж нэрлэж, \(\rho(S)\)-г \(S\)-ийн резольвентийн олонлог (resolvent set) гэж нэрлэнэ.
\(T\) нь шугаман оператор үед \(\lambda = 0\) болон \(T\)-ийн спектрийн хоорондын хамаарлыг авч үзье.
Теорем 2. (Спектр ба 0)
\(H\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст бол \(0 \in \sigma(T)\) байна. \(H\) нь тооллын бол \(0 \in \sigma_p(T)\) эсвэл \(0 \in \sigma(T) \setminus \sigma_p(T)\) аль аль нь боломжтой. \(H\) нь тооллын биш бол \(0 \in \sigma_p(T)\) байна.
Батламж
\(0 \in \rho(T)\) бол \(T\) нь урвуутай болно. Гэхдээ \(H\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст тул энэ нь зөрчилдөнө. Тиймээс \(0 \in \sigma(T)\) гэдгийг мэдэж болно.
\(H\) нь тооллын биш тохиолдлыг авч үзье. \(H\) нь тооллын биш тул \(\overline{\operatorname{Im} T} \ne H\) бөгөөд \(\operatorname{Ker} T \neq \overline{\operatorname{Im} T}^\perp \neq \left\{ 0 \right\}\) байна. Тиймээс \(e\neq 0\) байж \(Te =0\) болно. Өөрөөр хэлбэл \(e\) нь \(T\)-ийн өөрийн вектор бөгөөд энэ векторт харгалзах өөрийн утга нь \(0\) байна.
Нөгөө талаас \(B(\ell ^2 )\)-ийн хоёр элемент \(S,\) \(T\)-г \[\begin{aligned} Sx &= \left( 0 ,\, \frac{x_1}{1} ,\, \frac{x_2}{2} ,\, \frac{x_3}{3} ,\, \ldots \right) ,\\[6pt] Tx &= \left( \frac{x_2}{1} ,\, \frac{x_3}{2} ,\, \frac{x_4}{3} ,\, \ldots \right) \end{aligned}\] гэж тодорхойлбол \(\sigma (S) = \left\{ 0 \right\} ,\) \(\sigma_p (S) = \varnothing \), \(\sigma (T) = \sigma_p (T) = \left\{ 0 \right\}\) байна. (Ялангуяа \(\operatorname{Im }S\) нь \(\ell^2\)-д нягт биш боловч \(\operatorname{Im} T\) нь \(\ell^2\)-д нягт байна.)
Дараа нь хэдэн теоремоор \(\lambda \neq 0\) тохиолдлыг авч үзье.
Теорем 3. (Өөрийн орон зайн хэмжээс)
\(\lambda \neq 0\) бол \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) нь хязгаарлагдмал хэмжээстэй байна.
Батламж
\(M = \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\)-ийн хэмжээс хязгаарлагдмал бус гэж таамаглая. Тасралтгүй операторын цөм нь хаалттай олонлог тул орон зай \(M\) нь хязгаарлагдмал бус хэмжээст Гильбертын орон зай бөгөөд \(M\)-д нормчлогдсон ортогональ дараалал \(\{e_n\}\) байдаг. \(e_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) тул \(n \in \mathbb{N}\) бүрт \(Te_n = \lambda e_n\) байна. \(\lambda \neq 0\) тул дараалал \(\{\lambda e_n\}\) нь тэмдэгт дэд дарааллгүй байна. Учир нь \(\{e_n\}\) нь нормчлогдсон ортогональ дараалал байдаг. Энэ нь \(T\) нь компакт оператор гэсэн баримттай зөрчилдөнө.
Теорем 4. (Тэг биш спектрийн утгад хаалттай чийрэг)
\(\lambda \neq 0\) бол \(\operatorname{Im}(T - \lambda I)\) нь хаалттай байна.
Батламж
\(\{y_n\}\) нь \(\operatorname{Im}(T - \lambda I)\) дахь дараалал, \[\lim_{n \to \infty} y_n = y\] гэж таамаглая. Тэгвэл \(n\) бүрт \(y_n = (T - \lambda I)x_n\) байх \(x_n\) байдаг. Цөм \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) нь хаалттай олонлог тул \(x_n\) нь \(x_n = u_n + v_n\) хэлбэрийн ортогональ задлалтай байна. Энд \(u_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\), \(v_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^{\perp}\) байна.
Дараалал \(\{v_n\}\) нь хязгаарлагдмал гэдгийг харуулая. \(\{v_n\}\) нь хязгаарлагдмал биш гэж таамаглая. (Шаардлагатай бол дэд дарааллыг авснаар) бүх \(n\)-д \(v_n \neq 0\), \(\lim_{n\to\infty} \|v_n\| = \infty\) гэж таамаглаж болно. \(w_n = v_n / \|v_n\|\) гэвэл \(n = 1, \,2,\, \ldots\)-д \(w_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^{\perp}\), \(\|w_n\| = 1\), \((T - \lambda I)w_n = y_n / \|v_n\| \to 0\) байна. Учир нь \(\{y_n\}\) нь хязгаарлагдмал байдаг. Түүнчлэн \(T\) нь компакт оператор тул \(\{Tw_n\}\) нь тэмдэгтнэ гэж таамаглаж болно. (Шаардлагатай бол дэд дарааллыг авснаар ийм таамаглал хийж болно.) Эдгээр үр дүнг нэгтгэвэл дараалал \(\{w_n\}\) нь тэмдэгтнэ гэдгийг мэдэж болно. (\(\lambda \neq 0\) учраас.) \(w = \lim_{n\to\infty} w_n\) гэвэл \(\|w\| = 1\), \[(T - \lambda I)w = \lim_{n\to\infty} (T - \lambda I)w_n = 0\] байна. Тиймээс \(w \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) байна. Гэхдээ \(w_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^{\perp}\) тул \[\|w - w_n\|^2 = \langle w - w_n,\,w - w_n \rangle = 1 + 1 = 2\] байна. Энэ нь \(w_n \to w\) гэсэн баримттай зөрчилдөнө. Тиймээс дараалал \(\{v_n\}\) нь хязгаарлагдмал байна.
\(T\) нь компакт оператор тул \(\{Tv_n\}\) нь тэмдэгтнэ гэж таамаглаж болно. Тэгвэл \(n\in\mathbb{N}\)-д \[v_n = \lambda^{-1}(Tv_n - (T - \lambda I)v_n) = \lambda^{-1}(Tv_n - y_n)\] бөгөөд дараалал \(\{v_n\}\) нь тэмдэгтнэ. Тэр хязгаарыг \(v\) гэе. Тэгвэл \[y = \lim_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty} (T - \lambda I)v_n = (T - \lambda I)v\] бөгөөд \(y \in \operatorname{Im}(T - \lambda I)\) байна. Тиймээс \(\operatorname{Im}(T - \lambda I)\) нь хаалттай олонлог байна.
\(T^*\) ч мөн компакт оператор тул теорем 3, 4 нь \(T^*\)-д ч хэрэглэгдэнэ. Ялангуяа \(\lambda \neq 0\) үед \(\operatorname{Im}(T^* - \overline{\lambda}I)\) нь хаалттай байна. Тиймээс дараах үр дүнг олно.
Дагалдах теорем 5. (Цөм ба чийрэгийн хоорондын хамаарал)
\(\lambda \neq 0\) бол дараах зүйл биелнэ. \[\begin{gathered} \operatorname{Im}(T - \lambda I) = \operatorname{Ker}(T^* - \overline{\lambda}I)^{\perp},\\[6pt] \operatorname{Im}(T^* - \overline{\lambda}I) = \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^{\perp}. \end{gathered}\]
Одоо \(\sigma(T)\) болон \(\sigma(T^*)\)-д \(0\) биш хэсгийн бүтцийг ярилцаж болно. Дараах үр дүнгүүд нь \(T^*\)-д ч мөн адил хэрэглэгдэнэ.
Теорем 6. (\(0\) биш өөрийн утгын тархалт)
Дурын бодит тоо \(t > 0\)-д \(|\lambda| \geq t\) байх \(T\)-ийн өөр өөр өөрийн утга \(\lambda\)-ын олонлог нь хязгаарлагдмал олонлог байна.
Батламж
Дүгнэлтийг үгүйсгээд ямар нэг \(t_0 > 0\) байж \(|\lambda_n| \geq t_0\) байх өөр өөр өөрийн утгын дараалал \(\{\lambda_n\}\) байдаг гэж таамаглая. Тэгээд эдгээр өөрийн утгуудад харгалзах өөрийн векторын дарааллыг \(\{e_n\}\) гэе. Одоо тусгай нэгж векторын дараалал \(\{y_n\}\)-г индуктив байдлаар бүтээе. \(y_1 = e_1\) гэе. Дараа нь бүхэл тоо \(k \geq 1\) өгөгдсөн, \(y_1 ,\) \(y_2 ,\) \(\ldots ,\) \(y_k\) тодорхойлогдсон гэе. Олонлог \(\{e_1,\) \(e_2 ,\) \(\ldots,\) \(e_k\}\) нь шугаман хараат бус тул олонлог \[M_k = \operatorname{Sp} \{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\]нь \(k\)-хэмжээст дэд орон зай байна. Тиймээс энэ олонлог нь хаалттай олонлог байна. \(e \in M_k\) нь \[e = \alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_k e_k\] хэлбэрээр бичигдэж, \[(T - \lambda_k I)e = \alpha_1(\lambda_1 - \lambda_k)e_1 + \ldots + \alpha_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)e_{k-1}\] тул \(e \in M_k\) бол \((T - \lambda_k I)e \in M_{k-1}\) байна. Мөн адил \(e \in M_k\) бол \(Te \in M_k\) байна.
Дараа нь \(M_k\) нь \(M_{k+1}\)-ийн хаалттай дэд орон зай бөгөөд \(M_{k+1}\)-тэй тэнцүү биш тул \(M_{k+1}\) дэх \(M_k\)-ийн ортогональ нэмэлт орон зай нь \(M_{k+1}\)-ийн тривиал биш дэд векторын орон зай байна. Тиймээс \(M_{k+1}\)-д хамаарах нэгж вектор \(y_{k+1}\) байж бүх \(e \in M_k\)-д \(\langle y_{k+1},\,e \rangle = 0\), \(\|y_{k+1} - e\| \geq 1\) байна. Энэ үйл явцыг индуктив байдлаар давтан дараалал \(\{y_n\}\)-г бүтээнэ.
Дараалал \(\{y_n\}\)-ийн бүтээх үйл явцаар бүхэл тоо \(m,\) \(n\)-д \(n > m\) бол \[\|Ty_n - Ty_m\| = |\lambda_n| \|y_n - \lambda_n^{-1}[-(T - \lambda_n)y_n + Ty_m]\| \geq |\lambda_n| \geq t_0\] байна. Учир нь өмнөх үр дүнгээр \(-(T - \lambda_n)y_n + Ty_m \in M_{n-1}\) байдаг. Энэ нь дараалал \(\{Ty_n\}\) нь тэмдэгт дэд дарааллгүй гэдгийг харуулдаг. Энэ нь \(T\) нь компакт оператор гэсэн баримттай зөрчилдөнө.
Теорем 6-д \(r = 1,\,2,\, \ldots\) үед \(|\lambda| \geq r^{-1}\) байх өөрийн утга \(\lambda\)-ын хязгаарлагдмал олонлогуудын нэгдлийг авбал дараах үр дүнг олно.
Дагалдах теорем 7. (Цэгийн спектрийн тооллын шинж чанар)
Олонлог \(\sigma_p(T)\) нь ихэвчлэн хязгаарлагдмал олонлог эсвэл тооллын хязгаарлагдмал бус олонлог байна. \(\{λ_n\}\) нь \(T\)-ийн өөр өөр өөрийн утгын дараалал бол \[\lim_{n\to\infty} \lambda_n = 0\] байна.
Хязгаарлагдмал бус хэмжээст орон зайд өөрийн утгагүй компакт оператор \(T\) байж болно. Ийм тохиолдолд теорем 2 болон доорх теорем 9-өөр \(\sigma(T) = \{0\}\) байна.
Одоо компакт оператор \(T\)-д \(\sigma(T)\)-ийн элементүүдийн дунд \(0\) биш зүйлс бүгд өөрийн утга гэдгийг харуулна. \(T^*\) ч мөн компакт оператор тул \(\lambda \neq 0\) нь \(T\)-ийн өөрийн утга бол \(\overline{\lambda}\) нь \(T^*\)-ийн өөрийн утга байна. Түүнчлэн эдгээр өөрийн утгууд нь ижил бөгөөд хязгаарлагдмал давталттай гэдгийг харуулна. Батламж нь дараах хоёр алхамаар явагдана.
- Хязгаарлагдмал ранктай операторыг авч үзээд асуудлыг хязгаарлагдмал хэмжээст тохиолдол болгон багасгана.
- Ерөнхий компакт операторыг авч үзээд асуудлыг хязгаарлагдмал ранктай тохиолдол болгон багасгана.
Лемм 8. (Хязгаарлагдмал ранктай операторын шинж чанар)
\(T\) нь хязгаарлагдмал ранктай, \(\lambda \neq 0\) бол дараахын нэг нь биелнэ.
- \(\lambda \in \rho(T)\) бөгөөд \(\overline{\lambda} \in \rho(T^*)\) байна.
- \(\lambda \in \sigma_p(T)\) бөгөөд \(\overline{\lambda} \in \sigma_p(T^*)\) байна.
Түүнчлэн \(n(T - \lambda I) = n(T^* - \overline{\lambda} I) < \infty\) байна.
Батламж
\(M = \operatorname{Im} T\), \(N = \operatorname{Ker} T^* = M^{\perp}\) гэе. \(M\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст тул хаалттай бөгөөд тиймээс дурын \(x \in H\) нь \(x = u + v\) хэлбэрийн ортогональ задлалтай байна. Энд \(u \in M, \) \(v \in N\) байна. Ийм задлалыг ашиглавал дурын \(x \in H\)-г \(M \times N\)-ийн цорын ганц элементийн хос \((u,\, v)\)-тай адилтгаж болно. Түүнчлэн \[(T - \lambda I)(u + v) = Tu - \lambda u + Tv - \lambda v\] тул \[Tu - \lambda u \in M,\,\, Tv \in M,\,\, -\lambda v \in N\] бөгөөд оператор \((T - \lambda I)\)-ийн үйлдлийг дараах матрицын хэлбэрээр илэрхийлж болно. \[(T - \lambda I)\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (T - \lambda I)|_M & T|_N \\ 0 & -\lambda I|_N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} .\] Энд \((T - \lambda I)|_M \in B(M)\), \(T|_N \in B(N,\, M)\), \(I|_N \in B(N)\) нь оператор \(T - \lambda I\), \(T\), \(I\)-ийн орон зай \(M\), \(N\) рүү хязгаарлах функцийг илэрхийлнэ. Одоо \(A = (T - \lambda I)|_M\) гэе. Тэгвэл \(A\) нь урвуутай (өөрөөр хэлбэл \(n(A) = 0\)) эсвэл \(n(A) > 0\) байна. Тэгээд \(T - \lambda I\) нь урвуутай эсвэл \(n(T - \lambda I) = n(A) > 0\) байна. Өөрөөр хэлбэл \(\lambda \in \rho(T)\) эсвэл \(\lambda \in \sigma_p(T)\) байна.
\(P_M ,\) \(P_N\)-г \(H\)-ээс \(M ,\) \(N\) руу ортогональ проекц гэе. \(I = P_M + P_N\) болон \(N = \operatorname{Ker} T^*\)-г ашиглавал \[(T^* - \overline{\lambda} I)(u + v) = (T^* - \overline{\lambda} I)u - \overline{\lambda} v = P_M(T^* - \overline{\lambda} I)u + P_N T^*u - \overline{\lambda} v\] байна. Тиймээс \(T^* - \overline{\lambda} I\)-г дараах матрицын хэлбэрээр илэрхийлж болно. \[(T^* - \overline{\lambda} I)\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_M(T^* - \overline{\lambda} I)|_M & 0 \\ P_N(T^*)|_M & -\overline{\lambda}I|_N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} .\] Түүнчлэн \(A^* = P_M(T^* - \overline{\lambda} I)|_M \in B(M)\) байна. Тиймээс \(n(A^*) = n(A)\) байна. Одоо \(n(A) = 0\) бол \(T - \lambda I\) болон \(T^* - \overline{\lambda} I\) нь урвуутай бөгөөд \(n(A) > 0\) бол \[n(T - \lambda I) = n(T^* - \overline{\lambda} I) = n(A) > 0\] байна. Өөрөөр хэлбэл \(\lambda \in \sigma_p(T)\), \(\overline{\lambda} \in \sigma_p(T^*)\) байна.
Одоо лемм 8-ийн үр дүнг ерөнхий компакт оператор \(T\)-ийн спектр руу өргөжүүлье.
Теорем 9. (Компакт операторын спектрийн шинж чанар)
\(T\) нь компакт оператор, \(\lambda \neq 0\) үед дараахын нэг нь биелнэ.
- \(\lambda \in \rho(T)\) бөгөөд \(\overline{\lambda} \in \rho(T^*)\) байна.
- \(\lambda \in \sigma_p(T)\) бөгөөд \(\overline{\lambda} \in \sigma_p(T^*)\) байна.
Түүнчлэн \(n(T - \lambda I) = n(T^* - \overline{\lambda} I) < \infty\) байна.
Батламж
Ранк нь хязгаарлагдмал операторын тохиолдлыг батлая. \[\|\lambda^{-1}(T - T_F)\| < \frac{1}{2}\] бөгөөд хязгаарлагдмал ранктай \(H\) дээрх оператор \(T_F\) байдаг. Тиймээс оператор \(S = I - \lambda^{-1}(T - T_F)\) болон \(S^*\) нь урвуутай байна. Одоо \(G = T_F S^{-1}\) гэвэл \[T - \lambda I = (G - \lambda I)S\] тул \[T^* - \overline{\lambda} I = S^*(G^* - \overline{\lambda} I)\] байна. \(S\) болон \(S^*\) нь урвуутай тул \(T - \lambda I\) болон \(T^* - \overline{\lambda} I\) нь урвуутай байх нь \(G - \lambda I\) болон \(G^* - \overline{\lambda} I\) нь урвуутай байхтай эквивалент байна. Түүнчлэн \[n(T - \lambda I) = n(G - \lambda I)\] бөгөөд \[n(T^* - \overline{\lambda} I) = n(G^* - \overline{\lambda} I)\] байна. Одоо \(\operatorname{Im} G \subset \operatorname{Im} T_F\) тул оператор \(G\)-ийн ранк нь хязгаарлагдмал байна. Түүнчлэн лемм 8-аар теоремын эхний үр дүнг олно.
Одоо дараах тэгшитгэлүүдийг авч үзье. \[(T - \lambda I)x = 0, \quad (T^* - \overline{\lambda} I)y = 0 \tag{1}\] мөн \[T - \lambda I)x = p, \quad (T^* - \overline{\lambda} I)y = q. \tag{2}\] (1) шиг баруун тал нь \(0\) байх тэгшитгэлийг нэгэн ионц тэгшитгэл гэж нэрлэж, (2) шиг баруун тал нь \(0\) биш байх тэгшитгэлийг нэгэн ионц биш тэгшитгэл гэж нэрлэнэ. Теорем 9 болон дагалдах теорем 5-г ашиглавал дараах үр дүнг олно.
Теорем 10. (Фредгольмын дихотомийн теорем)
\(\lambda \neq 0\) үед дараах хоёроос нэг нь биелнэ.
- Нэгэн ионц тэгшитгэл (1) нь тус тус зөвхөн \(x = 0,\) \(y = 0\) шийдтэй бөгөөд харгалзах нэгэн ионц биш тэгшитгэл (2) нь дурын өгөгдсөн \(p,\) \(q \in H\)-д цорын ганц шийд \(x,\) \(y\)-тай байна.
- Хязгаарлагдмал тоо \(m_\lambda > 0\) байж нэгэн ионц тэгшитгэл (1) нь тус тус яг \(m_\lambda\) ширхэг шугаман хараат бус шийд \(x_n ,\) \(y_n ,\) \(n = 1,\,\ldots,\,m_\lambda\)-тай бөгөөд харгалзах нэгэн ионц биш тэгшитгэл (2) нь \(p,\) \(q \in H\) нь нөхцөл \[\langle p,\,y_n \rangle = 0, \quad \langle q,\,x_n \rangle = 0, \quad n = 1,\ldots,m_\lambda \tag{3}\] -г хангах үед л шийдтэй байна.
Батламж
Теорем 9-өөр үр дүнг олно. (a) нь \(\lambda \in \rho(T)\) тохиолдолд харгалзаж, (b) нь \(\lambda \in \sigma_p(T)\) тохиолдолд харгалзана. Энэ тохиолдолд \(m_\lambda = n(T - \lambda I)\) байна. Дагалдах теорем 5-аар (b) дэх \(p,\) \(q\)-д тавигдах нөхцөл нь тус тус \[p \in \operatorname{Im}(T - \lambda I), \quad q \in \operatorname{Im}(T^* - \overline{\lambda} I)\] гэдгийг шалгаж болох тул тэгшитгэл (2)-ийн шийд байдаг.
Дээрх теоремыг Фредгольм тодорхой интегралын тэгшитгэлийг судлах явцад олжээ. Илүү ерөнхийд тэгшитгэл (1) болон (2)-д оператор \(T-\lambda I\)-г хязгаарлагдмал шугаман оператор \(S\)-аар солих үед \(S\) нь Фредгольмын дихотомийн теоремыг хангана гэдэг нь харгалзах тэгшитгэл нь теорем 10-ийн хоёр тохиолдлыг дахин хангана гэсэн үг юм. Теорем 10-д (a) тохиолдлын агуулсан чухал онцлогийг дараах байдлаар дахин илэрхийлж болно.
Дагалдах теорем 11. (Цорын ганц байдал ба оршин байх байдлын хамаарал)
\(\lambda \neq 0\) бөгөөд тэгшитгэл \[(T - \lambda I)x = 0 \tag{4}\] нь зөвхөн \(x = 0\) шийдтэй бол \(T - \lambda I\) нь урвуутай бөгөөд тэгшитгэл \[(T - \lambda I)x = p \tag{5}\] нь дурын \(p \in H\)-д цорын ганц шийд \(x = (T - \lambda I)^{-1}p\)-тэй байна. Энэ шийд нь \(p\)-аас хамаарч болох бөгөөд харгалзах \(p\mapsto x\) нь тасралтгүй функц болно.
Батламж
Таамаглалаар \(\lambda\) нь \(T\)-ийн өөрийн утга биш тул теорем 10-ийн (a)-аар \(\lambda \in \rho(T)\) бөгөөд тиймээс \(T - \lambda I\) нь урвуутай байна.
Үндсэндээ дагалдах теорем 11-ээр "тэгшитгэл (5)-ийн шийдийн цорын ганц байдал нь шийдийн оршин байх байдлыг хэлж өгдөг." Энэ нь маш хэрэгтэй үр дүн юм. Олон тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийдийн цорын ганц байдлыг батлах нь харьцангуй хялбар байдаг. Тэгшитгэл нь (5)-ийн хэлбэртэй бөгөөд оператор \(T\) нь компакт гэдгийг мэдвэл шийдийн оршин байх байдлыг шууд баталгаажуулж болно.
Хэрэглээний математикийн олон асуудал нь ямар нэг шугаман оператор \(R\) болон өгөгдсөн функц (эсвэл "өгөгдөл") \(f\)-д \[Ru = f \tag{6}\] хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх асуудал болон хувирдаг. Энэ тэгшитгэл нь физикийн нөхцөл байдлын боломжийн загвар болохын тулд тодорхой шинж чанартай байх ёстой. Адамар дараах тодорхойлолтыг санал болгосон.
Тодорхойлолт 12. (Боломжийн загвар)
Тэгшитгэл (6) эсвэл харгалзах физикийн загвар нь боломжтой (well-posed) байна гэдэг нь дараахыг бүгдийг хангах явдал юм.
- Дурын \(f\)-д шийд \(u\) байдаг.
- \(f\) бүрт шийд \(u\) нь цорын ганц байна.
- Шийд \(u\) нь зохих утгаар \(f\)-ээс тасралтгүй хамаардаг.
Шинж чанар (a) болон (b)-ийн сэдэл нь нэлээд тодорхой байдаг. Шийд байхгүй эсвэл олон шийдтэй бол ийм загвар тийм ч хэрэгтэй биш байх болно. Гуравдахь шинж чанарын сэдэл нь физикийн нөхцөл байдалд өгөгдөл \(f\) нь яг мэдэгдэхгүй байдаг баримт дээр үндэслэдэг. Тиймээс өгөгдлийн жижиг өөрчлөлт нь таамагласан шийдэд том өөрчлөлт үүсгэхгүй байх нь зүйтэй. Гэхдээ тодорхойлолт 12-ийн гурван шинж чанар нь математикийн хувьд зарим талаараа тодорхой бус байдаг. Жишээ нь "бүх \(f\)-д" гэдэг нь юуг хэлж байгаа, "зохих утга" гэдэг нь ямар утгыг хэлж байгаа нь тодорхой бус байдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь ерөнхийд зохих нормын орон зай эсвэл Банахын орон зай \(X,\) \(Y\) болон зохих оператор \(R \in B(X, \,Y)\)-г сонгон асуудлыг илэрхийлснээр илүү тодорхой болдог. Орон зай \(Y\) нь ерөнхийд загварчлагдах өгөгдлийн хүссэн шинж чанарыг нэгтгэдэг бөгөөд \(X\) нь олох ёстой шийдэд харгалзах хүссэн шинж чанарыг тодруулдаг. Ийм тохиргоонд тэгшитгэл (6) нь боломжтой байна гэдэг нь оператор \(R\) нь урвуутай байхтай эквивалент байдаг. Үүнийг ихэвчлэн дагалдах теорем 11-г ашиглан батладаг.
Одоо теорем 10-д (b) биелэх тохиолдолд тэгшитгэл (5)-ийн шийдийн олонлог болон эдгээр шийдийн \(p\)-аас хамаарах шинж чанарыг илүү гүнзгий авч үзье.
Теорем 13. (Компакт операторын тэгшитгэлийн шийдийн бүтэц)
\(\lambda \neq 0\) нь \(T\)-ийн өөрийн утга гэж таамаглая. \(p \in \operatorname{Im}(T - \lambda I)\) бол тэгшитгэл (5) нь \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp\)-д цорын ганц шийд \(S_\lambda(p)\)-тэй байна. Функц \[S_\lambda: \operatorname{Im}(T - \lambda I) \to \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp\] нь шугаман бөгөөд хязгаарлагдмал, (5)-ийн шийдийн олонлог нь \[S_\lambda p + \operatorname{Ker}(T - \lambda I) \tag{7}\] хэлбэртэй байна.
Батламж
\(p \in \operatorname{Im}(T - \lambda I)\) тул (5)-ийн шийд \(x_0\) байдаг. \(P\)-г \(H\)-ээс \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp\) руу ортогональ проекц гэж үзээд \(u_0 = Px_0\) гэе. Тэгвэл \(x_0 - u_0 \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) тул \((T - \lambda I)u_0 = (T - \lambda I)x_0 = p\) байна. Тиймээс \(u_0\) ч мөн (5)-ийн шийд бөгөөд \(u_0 + z\) хэлбэрийн бүх вектор нь \(z \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\)-д (5)-ийн шийд байна.
Нөгөө талаас \(x\) нь (5)-ийн шийд бол \((T - \lambda I)(u_0 - x) = p - p = 0\) тул \(u_0 - x \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) бөгөөд тиймээс \(x\) нь \(x = u_0 + z\), \(z \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\) хэлбэртэй байна. Тиймээс (5)-ийн шийдийн олонлог нь (7)-ийн хэлбэртэй байна.
\(u_0 \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp\) нь \(p\)-аар цорын ганц тодорхойлогддог тул функц \[S_\lambda: \operatorname{Im}(T - \lambda I) \to \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp\]-г \[S_\lambda(p) = u_0,\quad p \in \operatorname{Im}(T - \lambda I)\] гэж тодорхойлж болно. Цорын ганц байдлыг ашиглавал функц \(S_\lambda\) нь шугаман гэдгийг харуулж болно.
Эцэст нь \(S_\lambda\) нь хязгаарлагдмал биш гэж таамаглая. Тэгвэл бүх \(n \in \mathbb{N}\)-д \(\|S_\lambda p_n\| \neq 0\) бөгөөд \[\lim_{n\to\infty} \|S_\lambda p_n\| = \infty\]байх нэгж векторын дараалал \(\{p_n\}\) байдаг. \[w_n = \|S_\lambda p_n\|^{-1} S_\lambda p_n\]гэвэл \[w_n \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)^\perp , \quad \|w_n\| = 1\]бөгөөд \(n\rightarrow\infty\) үед \[(T - \lambda I)w_n = \|S_\lambda p_n\|^{-1} p_n \to 0\]биелнэ. Теорем 4-ийн батламжийн явцтай ижил аргументын үр дүнд ийм шинж чанар нь зөрчилдөнө гэдгийг харуулж болно.
Теорем 13 нь шийд \(S_\lambda p\) нь ямар нэг тогтмол \(C > 0\)-д \(\|S_\lambda p\| \leq C\|p\|\)-г хангана гэдгийг харуулдаг. Гэхдээ ийм тэнцэгсизэл нь (5)-ийн бүх шийд \(x\)-д биелэхгүй. Учир нь дурын том \(\|z\|\)-тэй \(z \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\)-д \(S_\lambda p + z\) хэлбэрийн шийд \(x\) байдаг.