Норм орон зайн өөрийн шинж чанар шиг чухал зүйл бол норм орон зайнуудын хооронд тодорхойлогдсон функцын шинж чанар юм. Хоёр векторын орон зайн хооронд тодорхойлогддог хамгийн энгийн функц бол векторын орон зайн бүтцийг хадгалдаг функц буюу шугаман хувиргалт юм. Хоёр векторын орон зай \(X\) ба \(Y\) байгаа бөгөөд \(X\)-ээс \(Y\) руу шугаман хувиргалтыг судлахдаа \(X\) ба \(Y\) нь ижил талбайн дээрх векторын орон зай гэж үзнэ.
Нормын векторын орон зай нь нормтой холбоотой зайны бүтэцтэй тул нормын векторын орон зайнуудын хооронд тодорхойлогдсон функцын тасралтгүй байдлыг авч үзэж болно. Ерөнхийдөө зайны орон зайнуудын хооронд тодорхойлогдсон функцүүдээс тасралтгүй функц нь тасралтгүй биш функцаас илүү чухал юм. Тиймээс нормын векторын орон зайнуудын хооронд тодорхойлогдсон тасралтгүй шугаман хувиргалт-д анхаарлаа төвлөрүүлэн судлах болно.
Тасралтгүй шугаман хувиргалтын жишээг судлахаасаа өмнө шугаман хувиргалтын тасралтгүй байдлын тэнцүү нөхцлийг судлая. Энд тэмдэглэгээний дүрмийг тодорхой болгох хэрэгтэй. \(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай бөгөөд \(T: X \rightarrow Y\) нь шугаман хувиргалт байхад \(X\)-ийн элементийн норм ба \(Y\)-ийн элементийн норм ихэвчлэн нэг томъёонд гарч болно. Тиймээс хэрэгтэй үед хоёр нормыг ялгаж тэмдэглэх арга барилыг хэрэглэх ёстой. Гэхдээ бодитоор контекстээс элемент аль орон зайд харьяалагддаг нь амархан мэдэгддэг бөгөөд тиймээс томъёонд хэрэглэгдсэн норм нь ямар орон зайн норм болохыг далд байдлаар мэдэж болдог учраас нормыг илэрхийлэхдээ зүгээр л \(\|\cdot\|\) тэмдгийг хэрэглэж болно. Мөн өмнө судалсан орон зайн нормыг тодорхой дурдалгүйгээр хэрэглэхэд энэ орон зайн норм нь стандарт норм гэж үзнэ.
Теорем 1. (Шугаман хувиргалтын тасралтгүй байдлын тэнцүү нөхцөл)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T: X \rightarrow Y\) нь шугаман хувиргалт байг. Дараах зүйлс бүгд тэнцүү байна.
- \(T\) нь жигд тасралтгүй байна.
- \(T\) нь тасралтгүй байна.
- \(T\) нь \(0\) цэгт тасралтгүй байна.
- Эерэг бодит тоо \(k\) оршин байж, \(x \in X\) ба \(\|x\| \leq 1\) үед \(\|T(x)\| \leq k\) байна.
- Эерэг бодит тоо \(k\) оршин байж, бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|T(x)\| \leq k\|x\|\) байна.
Нотолгоо
[(a) ⇒ (b)] ба [(b) ⇒ (c)] нь ерөнхий нөхцөлд ч гэсэн биелдэг тул энд [(c) ⇒ (d)], [(d) ⇒ (e)], [(e) ⇒ (a)]-г нотлох хангалттай.
- [(c) ⇒ (d)] \(T\) нь \(0\) цэгт тасралтгүй байгаа тул эерэг тоо \(\epsilon = 1\)-ийн хувьд \(\delta > 0\) оршин байж, \(x \in X\) ба \(\|x\| < \delta\) үед \(\|T(x)\| < 1\) байна. \(\|w\| \leq 1\) байх \(w \in X\)-ийг авч үзье. \[\left\|\frac{\delta w}{2}\right\| = \frac{\delta}{2} \|w\| \leq \frac{\delta}{2} < \delta\] тул \(\|T((\delta w)/2)\| < 1\) байна. \(T\) нь шугаман хувиргалт тул \(T((\delta w)/2) = (\delta/2)T(w)\) байна. Тиймээс \((\delta/2)\|T(w)\| < 1\) ба \(\|T(w)\| < 2/\delta\) байна. Иймээс \(k = 2/\delta\) үед (d) нөхцөл биелнэ.
- [(d) ⇒ (e)] \(\|x\| \leq 1\) үед \(\|T(x)\| \leq k\) биелдэг \(k\) байна гэж үзье. \(T(0) = 0\) тул \(\|T(0)\| \leq k\|0\|\) нь өөрөө мэдэгдэнэ. \(y \in X\) ба \(y \neq 0\) байг. \(\|y/\|y\|\| = 1\) тул \(\|T(y/\|y\|)\| \leq k\) байна. \(T\) нь шугаман хувиргалт тул \[\|T(y)\| = \|y\| \cdot \left\|T \left( \frac{y}{\|y\|} \right) \right\| \leq k\|y\|\] байна. Тиймээс бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|T(x)\| \leq k\|x\|\) байна.
- [(e) ⇒ (a)] \(T\) нь шугаман хувиргалт тул бүх \(x,\,y \in X\)-ийн хувьд \[\|T(x) - T(y)\| = \|T(x - y)\| \leq k\|x - y\|\] байна. \(\epsilon > 0\) дурын байдлаар өгөгдсөн байг. Мөн \(\delta = \epsilon/k\) байг. \(x,\,y \in X\) ба \(\|x - y\| < \delta\) бол \[\|T(x) - T(y)\| \leq k\|x - y\| < k \cdot \frac{\epsilon}{k} = \epsilon\] байна. Тиймээс \(T\) нь жигд тасралтгүй байна.
Шугаман хувиргалт тасралтгүй байх нөхцлийг олж авсан тул одоо хэдэн жишээг судлая. Ерөнхийдөө бидний сонирхож буй функц шугаман хувиргалт болох нь тодорхой тул энэ нийтлэлд энэ функц тасралтгүй эсэхийг харуулахад анхаарлаа хандуулна. Шугаман хувиргалтын тасралтгүй байдлыг баталгаажуулахдаа дээрх теоремын (d) эсвэл (e) нөхцлийг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ 2. (Цэг дэх функцын утга тасралтгүй функц болно)
Шугаман хувиргалт \(T: C([0,\,1] ,\, \mathbb{F} ) \rightarrow \mathbb{F}\)-ийг \(T(f) = f(0)\) гэж тодорхойлъё. Энэ хувиргалт тасралтгүй болохыг харуулья.
\(f \in C([0,\,1] ,\, \mathbb{F} )\) байг. Тэгвэл \[|T(f)| = |f(0)| \leq \sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in [0, 1]\} = \|f\|\] байна. Тиймээс \(T\) нь теорем 1-ийн (e)-д \(k = 1\) байх тохиолдолд хамаардаг тул тасралтгүй байна.
Шугаман хувиргалт \(T\) тасралтгүй эсэхийг баталгаажуулахаасаа өмнө заримдаа \(T\) зөв тодорхойлогдсон эсэхийг эхлээд шалгах хэрэгтэй. Дараах теорем нь шугаман хувиргалт зөв тодорхойлогдсон эсэхийг шалгахад ашиглагддаг.
Лемм 3. (Хязгаартай дарааллаар үржүүлэх нь \(\ell^p\)-г хадгална)
\(\{c_n\} \in \ell^\infty\) ба \(\{x_n\} \in \ell^p\), \(1 \leq p < \infty\) байг. Тэгвэл \(\{c_n x_n\} \in \ell^p\) бөгөөд \[\sum_{n=1}^{\infty} |c_n x_n|^p \leq \|\{c_n\}\|_\infty^p \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p\] байна.
Нотолгоо
\(\{c_n\} \in \ell^\infty\) ба \(\{x_n\} \in \ell^p\) тул \[\lambda = \|\{c_n\}\|_\infty = \sup\{|c_n| : n \in \mathbb{N}\} < \infty\] ба \(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty\) байна.
Бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(|c_n x_n|^p \leq \lambda^p |x_n|^p\) тул харьцуулах шалгуураар \(\sum_{n=1}^{\infty} |c_n x_n|^p\) нь тойрно. Тиймээс \(\{c_n x_n\} \in \ell^p\) бөгөөд теоремын тэнцэтгэл биш бай ч биелнэ.
Жишээ 4. (\(\ell^1\)-ээс \(\mathbb{F}\) руу тасралтгүй шугаман хувиргалт)
\(\{c_n\} \in \ell^\infty\) байг. Шугаман хувиргалт \(T: \ell^1 \rightarrow F\)-ийг \[T(\{x_n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n x_n\] гэж тодорхойлъё. Энэ хувиргалт тасралтгүй болохыг харуулья.
Лемм 3-аар \(\{c_n x_n\} \in \ell^1\) тул \(T\) зөв тодорхойлогдсон байна. Мөн дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} |T(\{x_n\})| &= |\sum_{n=1}^{\infty} c_n x_n| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |c_n x_n| \\[6pt] &\leq \|\{c_n\}\|_\infty \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| = \|\{c_n\}\|_\infty \|\{x_n\}\|_1. \end{aligned}\]
Тиймээс \(T\) нь теорем 1-ийн (e) нөхцөлд \(k = \|\{c_n\}\|_\infty\) байх тохиолдолд хамаардаг тул тасралтгүй байна.
Жишээ 5. (\(\ell^2\) дэх тасралтгүй шугаман хувиргалт)
\(\{c_n\} \in \ell^\infty\) байг. Шугаман хувиргалт \(T: \ell^2 \rightarrow \ell^2\)-г \[T(\{x_n\}) = \{c_n x_n\}\] гэж тодорхойлъё. Энэ хувиргалт тасралтгүй болохыг харуулья.
\(\lambda = \|\{c_n\}\|_\infty\) байг. Лемм 3-аар \(\{c_n x_n\} \in \ell^2\) тул \(T\) зөв тодорхойлогдсон байна. Мөн дараах зүйл биелнэ. \[\|T(\{x_n\})\|_2^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |c_n x_n|^2 \leq \lambda^2 \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 = \lambda^2 \|\{x_n\}\|_2^2.\] Тиймээс \(T\) нь теорем 1-ийн (e) нөхцөлд \(k = \|\{c_n\}\|_\infty\) байх тохиолдолд хамаардаг тул тасралтгүй байна.
Теорем 1-ийн (e) нөхцлийг хангасан функцийг ихэвчлэн ашигладаг тул дараах нэршлийг өгч ашигладаг.
Тодорхойлолт 6. (Хязгаартай шугаман хувиргалт)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T: X \rightarrow Y\) нь шугаман хувиргалт байг. Хэрэв эерэг бодит тоо \(k\) оршин байж бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|T(x)\| \leq k \|x\|\)-г хангавал \(T\)-г хязгаартай шугаман хувиргалт гэж нэрлэнэ.
Теорем 1-ээр шугаман хувиргалтын хувьд "тасралтгүй" ба "хязгаартай" гэдэг нэр томъёог солигдуулан хэрэглэж болно. Гэхдээ энэ нь бодит тооноос бодит тоо руух функцэд хэрэглэгддэг "хязгаартай" гэдэг үгээс өөр утгатай. Жишээлбэл, \(T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) нь \(T(x) = x\) гэж тодорхойлогдсон шугаман хувиргалт байвал \(T\) нь тодорхойлолт 6-д тодорхойлогдсон "хязгаартай шугаман хувиргалт" боловч хязгаартай функцын ерөнхий утгын хувьд мэдээжийн хэрэгт хязгаартай биш юм. Анх хараахад энэ нь нэр томъёоны илт зөрчил мэт санагдаж болох ч үнэндээ энэ нь ноцтой асуудал биш юм. Учир нь тэгийн векторээр тодорхойлогдсон тогтмол шугаман хувиргалтыг эс тооцвол шугаман хувиргалт нь хязгаартай функцын ерөнхий утгын хувьд хэзээ ч хязгаартай биш байдаг. Өөрөөр хэлбэл аль ч тохиолдолд "хязгаартай" гэдэг нэр томъёо юуг харуулах ёстой нь тодорхой илэрдэг тул боломжит хоёрдмол утгаас үүдэлтэй асуудал гарахгүй.
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай байг. \(X\)-ээс \(Y\) руу чиглэсэн бүх тасралтгүй шугаман хувиргалтын олонлогийг \(B(X,\,Y)\) гэж тэмдэглэнэ. \(B(X,\,Y)\)-ийн элементийг хязгаартай шугаман хувиргалт эсвэл тасралтгүй шугаман хувиргалт эсвэл заримдаа зүгээр л оператор гэж нэрлэнэ.
Мэдээжийн хэрэгт \(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай бол \(B(X,\,Y) \subseteq L(X,\,Y)\) байна.
Жишээ 7. (Тасралтгүй цөмтэй интеграл хувиргалт)
\(a, b \in \mathbb{R}\) ба \(k: [a, b] \times [a, b] \rightarrow \mathbb{C}\) нь тасралтгүй функц бөгөөд \[M = \sup\{|k(s,\,t)| \,\vert\, (s,\,t) \in [a,\,b] \times [a,\,b]\}\] байг.
- \(g \in C[a,\,b]\) үед \(f: [a,\,b] \rightarrow \mathbb{C}\)-г \[f(s) = \int_a^b k(s,\,t)g(t)\,dt\] гэж тодорхойлвол \(f \in C[a,\,b]\) байна.
- Шугаман хувиргалт \(K: C[a,\,b] \rightarrow C[a,\,b]\)-г \[(K(g))(s) = \int_a^b k(s,\,t)g(t)\,dt\] гэж тодорхойлвол \(K \in B(C[a,\,b], C[a,\,b])\) ба \(\|K(g)\| \leq M(b-a)\|g\|\) байна.
Шийдэл
- \(\epsilon > 0\) ба \(s \in [a,\,b]\) байг. \(k_s \in C[a,\,b]\)-г \(k_s(t) = k(s,\,t)\), \(t \in [a,\,b]\) байх функц гэж үзье. Дөрвөлжин \([a,\,b] \times [a,\,b]\) нь \(\mathbb{R}^2\)-ийн компакт дэд олонлог тул функц \(k\) нь жигд тасралтгүй ба тиймээс \(\delta > 0\) оршин байж \(|s - s'| < \delta\) бол бүх \(t \in [a,\,b]\)-ийн хувьд \(|k_s(t) - k_{s'}(t)| < \epsilon\) байна. Тиймээс \[|f(s) - f(s')| \leq \int_a^b |k(s,\,t) - k(s',\,t)||g(t)|\,dt \leq \epsilon(b-a)\|g\|.\] Иймээс \(f\) нь тасралтгүй байна.
- Бүх \(s \in [a,\,b]\)-ийн хувьд \[|(K(g))(s)| \leq \int_a^b |k(s,\,t)g(t)|\,dt \leq \int_a^b M\|g\|\,dt = M(b-a)\|g\|.\] Тиймээс \(\|K(g)\| \leq M(b-a)\|g\|\) тул \(K \in B(C[a,\,b], C[a,\,b])\) байна.
Жишээ 7-д маш олон хаалт байна. Хэт олон хаалт хэрэглэхээс зайлсхийхийн тулд \(T \in B(X,\,Y)\) ба \(x \in X\) үед \(T(x)\)-г энгийнээр \(Tx\) гэж тэмдэглэх нь нийтлэг байдаг.
Одоо хүртэл дурдагдсан жишээг харахад бүх шугаман хувиргалт тасралтгүй гэж бодож болно. Гэхдээ дараах жишээнд харуулсанчлан тасралтгүй биш шугаман хувиргалт оршин байна.
Жишээ 8. (Тасралтгүй биш дифференциал оператор)
\(\mathcal{P}\) нь бүх олон гишүүнт функцүүдээс бүрдсэн \(C([0,\,1],\,\mathbb{C})\)-ийн дэд векторын орон зай байг. \(T: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P}\) нь \(T(p) = p'\) гэж тодорхойлогдсон шугаман хувиргалт байг. Энд \(p'\) нь \(p\)-ийн уламжлал юм. Тэгвэл \(T\) нь тасралтгүй биш байна.
Шийдэл
\(p_n \in \mathcal{P}\)-г \(p_n(t) = t^n\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \[\|p_n\| = \sup\{|p_n(t)| : t \in [0,1]\} = 1\] байна. Харин \[\begin{aligned} \|T(p_n)\| &= \|p'_n\| = \sup\{|p'_n(t)| \,\vert\, t \in [0,1]\} \\[6pt] &= \sup\{|nt^{n-1}| \,\vert\, t \in [0,1]\} = n \end{aligned}\] байна. Тиймээс "бүх \(p \in \mathcal{P}\)-ийн хувьд \(\|T(p)\| \leq k\|p\|\)"-г хангах \(k \geq 0\) оршдоггүй тул \(T\) нь тасралтгүй биш байна.
Жишээ 8-д судалсан орон зай \(\mathcal{P}\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст биш тул хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зайнуудын хоорондох бүх шугаман хувиргалт тасралтгүй эсэх талаар эргэлзэж болно. Энэ хариултыг дараах теоремд судлая.
Теорем 9. (Хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайнуудын хоорондох шугаман хувиргалт тасралтгүй байна)
\(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зай, \(Y\) нь дурын норм орон зай ба \(T: X \rightarrow Y\) нь шугаман хувиргалт байг. Тэгвэл \(T\) нь тасралтгүй байна.
Нотолгоо
Эхлээд \(X\)-д шинэ норм тодорхойлъё. Энэ норм нь анхны нормтой ялгаатай байж болох тул хоёр нормыг ялгаж тэмдэглэх арга барилыг хэрэглэх ёстой. Шинэ норм \(\|\cdot\|_1: X \rightarrow \mathbb{R}\)-г \(\|x\|_1 = \|x\| + \|T(x)\|\) гэж тодорхойлъё.
\(\|\cdot\|_1\) нь \(X\)-ийн норм болохыг харуулья. \(x,\,y \in X\) ба \(\lambda \in F\) байг.
- \(\|x\|_1 = \|x\| + \|T(x)\| \geq 0\).
- \(\|x\|_1 = 0\) бол \(\|x\| = \|T(x)\| = 0\) тул \(x = 0\) байна. Мөн \(x = 0\) бол \(\|x\| = \|T(x)\| = 0\) тул \(\|x\|_1 = 0\) байна.
- \(\|\lambda x\|_1 =\)\( \|\lambda x\| + \|T(\lambda x)\| =\)\( |\lambda|\|x\| + |\lambda|\|T(x)\| =\)\( |\lambda|(\|x\| + \|T(x)\|) =\)\( |\lambda|\|x\|_1\).
- \(\|x + y\|_1 =\)\( \|x + y\| + \|T(x + y)\| =\)\( \|x + y\| + \|T(x) + T(y)\| \leq\)\( \|x\| + \|y\| + \|T(x)\| + \|T(y)\| =\)\( \|x\|_1 + \|y\|_1 .\)
Тиймээс \(\|\cdot\|_1\) нь \(X\)-ийн норм байна.
\(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст тул \(\|\cdot\|\) ба \(\|\cdot\|_1\) нь тэнцүү бөгөөд бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|x\|_1 \leq K\|x\|\)-г хангах \(K > 0\) оршин байна. Тиймээс бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|T(x)\| \leq \|x\|_1 \leq K\|x\|\) тул \(T\) нь хязгаартай байна.
Хэрэв шугаман хувиргалтын тодорхойлогдох муж хязгаарлагдмал хэмжээст бол теорем 9-ээр тэр шугаман хувиргалт тасралтгүй байна. Шугаман хувиргалтын утгын муж хязгаарлагдмал хэмжээст байх тохиолдолд дараах жишээнд харуулсанчлан шугаман хувиргалт заавал тасралтгүй байдаггүй.
Жишээ 10. (Олон гишүүнт функцийн тасралтгүй биш шугаман функционал)
\(\mathcal{P}\) нь бүх олон гишүүнт функцүүдээс бүрдсэн \(C([0,\,1],\,\mathbb{C})\)-ийн дэд векторын орон зай байг. \(T: \mathcal{P} \rightarrow \mathbb{C}\) нь \(T(p) = p'(1)\) гэж тодорхойлогдсон шугаман хувиргалт байг. Энд \(p'\) нь \(p\)-ийн уламжлал юм. Тэгвэл \(T\) нь тасралтгүй биш байна.
Шугаман хувиргалт тасралтгүй эсэхийг тодорхойлох аргыг судалсан тул тасралтгүй шугаман хувиргалтын хэдэн үндсэн шинж чанарыг судлая. Энд хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зайнуудын хоорондох шугаман хувиргалт ба матрицын хоорондох харилцаа маш ашигтай байж болох ч хязгааргүй хэмжээст орон зайнуудын хоорондох шугаман хувиргалтыг матрицаар авч үзэх нь амар биш юм. Хязгааргүй хэмжээст орон зайн суурь ба хязгааргүй хэмжээтэй матриц хоёулаа авч үзэхэд хэцүү байдаг. Тиймээс бид зөвхөн хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зайнуудын хоорондох шугаман хувиргалтын матрицын илэрхийлэлийг л ашиглах болно.
Лемм 11. (Тасралтгүй шугаман хувиргалтын цөм хаалттай байна)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T: X \rightarrow Y\) нь тасралтгүй шугаман хувиргалт байг. Тэгвэл \(\operatorname{ker}(T)\) нь хаалттай байна.
Нотолгоо
\(T\) нь тасралтгүй ба \[\operatorname{ker}(T) = \{x \in X \,\vert\, T(x) = 0\}\] бөгөөд \(\{0\}\) нь \(Y\)-д хаалттай тул \(\operatorname{ker}(T)\) нь хаалттай байна.
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай бол Декартын үржвэр \(X \times Y\) ч норм орон зай байна. Тиймээс дараах тодорхойлолтыг оруулж болно.
Тодорхойлолт 12. (Шугаман хувиргалтын график)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T: X \rightarrow Y\) нь шугаман хувиргалт байг. Энэ үед \(T\)-ийн график нь дараах байдлаар тодорхойлогдсон \(X \times Y\)-ийн дэд векторын орон зай \(\mathcal{G}(T)\) юм. \[\mathcal{G}(T) = \{(x, Tx) \,\vert\, x \in X\} .\]
Лемм 13. (Тасралтгүй шугаман хувиргалтын график хаалттай байна)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T: X \rightarrow Y\) нь тасралтгүй шугаман хувиргалт байг. Тэгвэл \(\mathcal{G}(T)\) нь хаалттай байна.
Нотолгоо
\(\mathcal{G}(T)\)-д \((x,\,y) \in X \times Y\) руу тойрогч дараалал \(\{(x_n,\,y_n)\}\) байна гэж үзье. Тэгвэл \(\{x_n\}\) нь \(X\)-д \(x\) руу тойрч, \(\{y_n\}\) нь \(Y\)-д \(y\) руу тойрно. Гэвч \((x_n,\,y_n) \in \mathcal{G}(T)\) тул бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(y_n = T(x_n)\) байна. \(T\) нь тасралтгүй тул \[y = \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} T(x_n) = T(x)\] байна. Иймээс \((x,\,y) = (x,\,T(x)) \in \mathcal{G}(T)\) ба тиймээс \(\mathcal{G}(T)\) нь хаалттай байна.
Эцэст нь \(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед олонлог \(B(X,\,Y)\) нь векторын орон зай болохыг судлая. Энэ нь \(B(X,\,Y)\) нь \(L(X,\,Y)\)-ийн дэд векторын орон зай болохыг харуулснаар хийгдэх болно.
Теорем 14. (\(B(X,\,Y)\) нь векторын орон зай байна)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(S,\,T \in B(X,\,Y)\) бөгөөд бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|S(x)\| \leq k_1 \|x\|\) ба \(\|T(x)\| \leq k_2 \|x\|\) байг. Мөн \(\lambda \in F\) байг. Тэгвэл дараах зүйл биелнэ.
- Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|(S + T)(x)\| \leq (k_1 + k_2)\|x\|\) байна.
- Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|(\lambda S)(x)\| \leq |\lambda|k_1 \|x\|\) байна.
- \(B(X,\,Y)\) нь \(L(X,\,Y)\)-ийн дэд векторын орон зай байна.
Нотолгоо
- \(x \in X\) бол \[\begin{aligned} \|(S + T)(x)\| &\leq \|S(x)\| + \|T(x)\| \\[6pt] &\leq k_1\|x\| + k_2\|x\| \\[6pt] &= (k_1 + k_2)\|x\|. \end{aligned}\]
- \(x \in X\) бол \[(\lambda S)(x) = |\lambda|\|S(x)\| \leq |\lambda|k_1\|x\|.\]
- (a) ба (b)-ээр \(S + T\) ба \(\lambda S\) нь \(B(X,\,Y)\)-д харьяалагддаг тул \(B(X,\,Y)\) нь \(L(X,\,Y)\)-ийн дэд векторын орон зай байна.