\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(B(X,\,Y)\) нь векторын орон зай байна. Энэ нийтлэлд \(B(X,\,Y)\) нь норм орон зай болохыг харуулах болно. Үүний тулд гурван өөр нормыг нэгэн зэрэг авч үзэх болох бөгөөд зарчмын хувьд эдгээр гурван нормыг ялгах ёстой. Бодитоор элемент аль орон зайд харьяалагддаг нь амархан мэдэгддэг тул гурван нормыг ижил тэмдэг \(\|\cdot\|\) гэж тэмдэглэж болох бөгөөд аль нормыг хэрэглэж байгааг мэдэж болно.
Операторын нормыг тодорхойлохоосоо өмнө дараах тэнцэтгэл биелдэг гэдгийг санаж үзье. \[\sup\{\|T(x)\| \,\vert\, \|x\| \leq 1\} = \inf\{k \,\vert\, \|T(x)\| \leq k\|x\| \text{ for all } x \in X\}.\] Ялангуяа бүх \(y \in X\)-ийн хувьд \[\|T(y)\| \leq \sup\{\|T(x)\| \,\vert\, \|x\| \leq 1\}\|y\|\] байна.
Лемм 1. (Операторын нормын тодорхойлолт)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай байг. \(\|\cdot\|: B(X,\,Y) \rightarrow \mathbb{R}\)-г
\[\|T\| = \sup\{\|T(x)\| \,\vert\, \|x\| \leq 1\}\]гэж тодорхойлвол \(\|\cdot\|\) нь \(B(X,\,Y)\)-ийн норм байна.
Нотолгоо
\(S,\,T \in B(X,\,Y)\) ба \(\lambda \in F\) байг.
- Мэдээжийн хэрэгт дурын \(T \in B(X,\,Y)\)-ийн хувьд \(\|T\| \geq 0\) байна.
- Тэгийн шугаман хувиргалт \(R\) нь бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(R(x) = 0\)-г хангана. Тиймээс дараах харилцаа биелнэ. \[\begin{aligned} \|T\| = 0 \quad & \Leftrightarrow \quad \|Tx\| = 0 \text{ for all } x \in X \\[6pt] & \Leftrightarrow \quad Tx = 0 \text{ for all } x \in X \\[6pt] & \Leftrightarrow \quad T \text{ is the zero linear transformation .} \end{aligned}\]
- \(\|T(x)\| \leq \|T\|\|x\|\) тул бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \[\|(\lambda T)(x)\| \leq |\lambda|\|T\|\|x\|\] байна. Тиймээс \[\|\lambda T\| \leq |\lambda|\|T\|\] байна. \(\lambda = 0\) бол \(\|\lambda T\| = |\lambda| \|T\|\) ба \(\lambda \neq 0\) бол \[\|T\| = \|\lambda^{-1}\lambda T\| \leq |\lambda^{-1}| \|\lambda T\| \leq |\lambda^{-1}||\lambda|\|T\| = \|T\|\] байна. Тиймээс \(\|T\| = |\lambda^{-1}| \|\lambda T\|\) тул \(\|\lambda T\| = |\lambda| \|T\|\) байна.
- Эцэст нь гурвалжин тэнцэтгэл бишийг шалгах ёстой. \[\begin{aligned} \|(S + T)(x)\| &\leq \|S(x)\| + \|T(x)\| \\[6pt] &\leq \|S\|\|x\| + \|T\|\|x\| \\[6pt] &= (\|S\| + \|T\|)\|x\|. \end{aligned}\] Тиймээс \(\|S + T\| \leq \|S\| + \|T\|\) байна.
Ингэснээр \(B(X,\,Y)\) нь норм орон зай болохыг тогтоов.
Тодорхойлолт 2. (Тасралтгүй шугаман операторын норм)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\,Y)\) байг. \(T\)-ийн норм-г дараах байдлаар тодорхойлно. \[\|T\| = \sup\{\|T(x)\| \,\vert\, \|x\| \leq 1\} .\]
Хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайнуудын хоорондох шугаман хувиргалт ба матрицын хоорондох харилцааг ашиглавал тасралтгүй шугаман хувиргалтын нормын тодорхойлолтоор дамжуулан \(m \times n\) матрицын векторын орон зайд норм өгч болно.
Тодорхойлолт 3. (Матрицын норм)
\(\mathbb{F}^p\) нь стандарт нормтой ба \(A\) нь \(\mathbb{F}\)-ийн элементүүдийг бүрэлдэхүүн хэсэг болгон гарцтай \(m \times n\) матриц байг. \(T: \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m\) нь \(T(x) = Ax\) гэж тодорхойлогддог тасралтгүй шугаман хувиргалт бол матриц \(A\)-ийн норм нь \(\|A\| = \|T\|\) гэж тодорхойлогдоно.
Одоо тасралтгүй шугаман хувиргалтын нормыг тооцоолох аргыг судлая. Операторын норм нь олонлогийн дээд зааг тул нормыг олоход заримдаа хэцүү байж болно. \(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зай ба \(\|y\| = 1\) байх \(y \in X\) оршин байж \[\|T\| = \sup\{\|T(x)\| \,\vert\, \|x\| \leq 1\} = \|T(y)\|\] байх тохиолдолд ч ийм элемент \(y\)-г олох нь амар биш байж болно. Хязгааргүй хэмжээст тохиолдолд дээд зааг нь олонлогт хамаарахгүй байж болно. Тиймээс тасралтгүй шугаман хувиргалтын нормыг олох ерөнхий журам байхгүй. Гэсэн хэдий ч нормыг амархан олж болох тохиолдолууд байдаг. Дараах жишээг үзье.
Жишээ 4. (Функцын утгын операторын норм)
\(T: C([0,\,1],\,\mathbb{F}) \rightarrow \mathbb{F}\) нь \(T(f) = f(0)\) гэж тодорхойлогддог тасралтгүй шугаман оператор бол \(\|T\| = 1\) байна.
Шийдэл
Өмнө дурын \(f \in C([0,\,1],\,\mathbb{F})\)-ийн хувьд \(|T(f)| \leq \|f\|\) болохыг харуулсан. Тиймээс \[\|T\| = \inf\{k \,\vert\, \|T(x)\| \leq k\|x\| \text{ for all } x \in X\} \leq 1\] байна. Нөгөө талаас \(g: [0,1] \rightarrow C\)-г бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(g(x) = 1\) гэж тодорхойлвол \(g \in C([0,\,1],\, \mathbb{C})\) ба \[\|g\| = \sup\{|g(x)| \,\vert\, x \in [0,\,1]\} = 1\] бөгөөд \(|T(g)| = |g(0)| = 1\) байна. Тиймээс \[1 = |T(g)| \leq \|T\|\|g\| = \|T\|\] тул \(\|T\| = 1\) байна.
Заримдаа нэг операторын нормыг ашиглан өөр операторын нормыг олж болдог. Дараах теоремд энэ баримтыг судлая.
Теорем 5. (Тасралтгүй шугаман операторын өргөтгөл)
\(X\) нь норм орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн нягт дэд орон зай байг. Мөн \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(S \in B(W,\,Y)\) байг.
- \(x \in X\) ба \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) нь \[\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = x\] байх \(W\)-ийн дараалал бол \(\{S(x_n)\}\) ба \(\{S(y_n)\}\) хоёулаа тойрч \[\lim_{n \to \infty} S(x_n) = \lim_{n \to \infty} S(y_n)\] байна.
- \(T \in B(X,\,Y)\) оршин байж \(\|T\| = \|S\|\) ба бүх \(x \in W\)-ийн хувьд \(Tx = Sx\)-г хангана.
Нотолгоо
- \(\{x_n\}\) нь тойрогч тул Кошигийн дараалал байна. Гэвч \[\|S(x_n) - S(x_m)\| = \|S(x_n - x_m)\| \leq \|S\|\|x_n - x_m\|\] тул \(\{S(x_n)\}\) ч Кошигийн дараалал бөгөөд \(Y\) нь Банахын орон зай тул \(\{S(x_n)\}\) нь тойрно. Өөрөөр хэлбэл тохирох \(x\)-ийн хувьд \[\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = x\] тул \[\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0\] байна. Мөн \[\|S(x_n) - S(y_n)\| = \|S(x_n - y_n)\| \leq \|S\|\|x_n - y_n\|\] ба \[\lim_{n \to \infty} S(x_n) - S(y_n) = 0\] тул \[\lim_{n \to \infty} S(x_n) = \lim_{n \to \infty} S(y_n)\] байна.
- \(T: X \rightarrow Y\)-г тодорхойлъё. Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(W\) нь \(X\)-д нягт тул
\[\lim_{n \to \infty} x_n = x\]
байх \(W\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\) оршин байгаа бөгөөд энэ үед
\[T(x) = \lim_{n \to \infty} S(x_n)\]
гэж тодорхойлно. Ийнхүү тодорхойлогдсон \(T\) нь (a)-аар дараалал \(\{x_n\}\)-ийн сонголтоос үл хамаарна.
\(T\) нь шугаман хувиргалт болохыг харуулья. \(x,\,y \in X\) ба \(\lambda \in \mathbb{F}\) байг. \[\lim_{n \to \infty} x_n = x , \quad \lim_{n \to \infty} y_n = y\] байх \(W\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\) ба \(\{y_n\}\)-г авч үзье. Тэгвэл \(\{x_n\}\) ба \(\{y_n\}\) нь \[\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x + y\] ба \[\lim_{n \to \infty} \lambda x_n = \lambda x\] байх \(W\)-ийн дараалал юм. Тиймээс \[\begin{aligned} T(x + y) &= \lim_{n \to \infty} S(x_n + y_n) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} (S(x_n) + S(y_n)) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} S(x_n) + \lim_{n \to \infty} S(y_n) = T(x) + T(y) \end{aligned}\] ба \[\begin{aligned} T(\lambda x) &= \lim_{n \to \infty} S(\lambda x_n) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} \lambda S(x_n) \\[6pt] &= \lambda \lim_{n \to \infty} S(x_n) = \lambda T(x) \end{aligned}\] байна. Тиймээс \(T\) нь шугаман хувиргалт байна.
Одоо \(\|x\| = 1\) байх \(x \in X\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзээд \(\lim_{n \to \infty} x_n = x\) байх \(W\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\)-г авч үзье. \[\lim_{n \to \infty} x_n = x = 1\] тул \[w_n = \frac{x_n}{\|x_n\|}\] гэж тодорхойлвол \(\{w_n\}\) нь \[\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{\|x_n\|} = x\] -г хангаж, бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\|w_n\| = \frac{\|x_n\|}{\|x_n\|} = 1\] байх \(W\)-ийн дараалал юм. Мөн \[\begin{aligned} \|Tx\| &= \lim_{n \to \infty} \|Sw_n\| \leq \sup\{\|Sw_n\| \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} \\[6pt] &\leq \sup\{\|S\|\|w_n\| \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \|S\| \end{aligned}\] тул \(T\) нь хязгаартай ба \(\|T\| \leq \|S\|\) байна. Мөн \(w \in W\) бол тогтмол дараалал \(\{w\}\) нь \(w\) руу тойрогч \(W\)-ийн дараалал тул \[Tw = \lim_{n \to \infty} Sw = Sw\] байна. Тиймээс \[\|Sw\| = \|Tw\| \leq \|T\|\|w\|\] тул \(\|S\| \leq \|T\|\) байна. Иймээс \(\|S\| = \|T\|\) байна. Мөн \(x \in W\) үед \(Tx = Sx\) гэдгийг харуулсан.
Теорем 5-ийн оператор \(T\) нь оператор \(S\)-г илүү том орон зай \(X\) руу өргөтгөсөн гэж үзэж болно.
Одоо нормыг амархан олж болох операторын төрлийг судлая.
Тодорхойлолт 6. (Зайтай хувиргалт)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T \in L(X,\,Y)\) байг. Хэрэв дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|T(x)\| = \|x\|\) бол \(T\)-г зайтай хувиргалт гэж нэрлэнэ.
Бүх норм орон зайд наад зах нь нэг зайтай хувиргалт байдаг.
Жишээ 7. (Зайтай хувиргалт болох адилхан хувиргалт)
\(X\) нь норм орон зай ба \(I\) нь \(X\) дээрх адилхан хувиргалт бол \(I\) нь зайтай хувиргалт байна.
Шийдэл
\(x \in X\) бол \(I(x) = x\) тул \(\|I(x)\| = \|x\|\) байна. Тиймээс \(I\) нь зайтай хувиргалт байна.
Зайтай хувиргалтын өөр жишээ болгон дараах шугаман хувиргалтыг судлая.
Жишээ 8. (Нэг талын шилжилтийн оператор)
- \(x = (x_1,\,x_2,\,x_3,\,\ldots) \in \ell^2\) бол \(y = (0,\,x_1,\,x_2,\,x_3,\,\ldots) \in \ell^2\) байна.
- Шугаман хувиргалт \(S: \ell^2 \rightarrow \ell^2\)-г \[S(x_1,\,x_2,\,x_3,\,\ldots) = (0,\,x_1,\,x_2,\,x_3,\,\ldots)\] гэж тодорхойлвол \(S\) нь зайтай хувиргалт байна.
Шийдэл
- \(x \in \ell^2\) тул \[\begin{aligned} |0|^2 + |x_1|^2 & + |x_2|^2 + |x_3|^2 + \ldots \\[6pt] &= |x_1|^2 + |x_2|^2 + |x_3|^2 + \ldots < \infty\end{aligned}\] байна. Тиймээс \(y \in \ell^2\) байна.
- Мөн адилаар \[\begin{aligned} \|S(x)\|_2^2 &= |0|^2 + |x_1|^2 + |x_2|^2 + |x_3|^2 + \ldots \\[6pt] &= |x_1|^2 + |x_2|^2 + |x_3|^2 + \ldots = \|x\|_2^2\end{aligned}\] тул \(S\) нь зайтай хувиргалт байна.
Жишээ 8-д судалсан оператор \(S:\ell^2 \rightarrow \ell^2\)-г нэг талын шилжилтийн оператор гэж нэрлэнэ.
Нэг талын шилжилт нь \(\ell^2\)-г \(\ell^2\) дээр зураглахгүй. (Өөрөөр хэлбэл дээд функц биш.) Энэ нь хязгаарлагдмал хэмжээст нөхцөлтэй эсрэг байна. Хязгаарлагдмал хэмжээст тохиолдолд \(X\) нь норм орон зай ба \(T\) нь \(X\)-ээс \(X\) руу зайтай хувиргалт бол \(T\) нь \(X\)-г \(X\) дээр зураглана.
Дараах теорем нь зайтай хувиргалтын норм \(1\) болохыг харуулна.
Теорем 9. (Зайтай хувиргалтын норм)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай, \(T \in L(X,\,Y)\) байг. \(T\) нь зайтай хувиргалт бол \(T\) нь хязгаартай ба \(\|T\| = 1\) байна.
Теорем 9-ийн урвуу биелдэггүй. Жишээ 4-т \(\|T\| = 1\) боловч бүх \(h \in C_F[0,\, 1]\)-ийн хувьд \(|T(h)| = \|h\|\) биш байна. Жишээлбэл \(h: [0, 1] \rightarrow F\)-г бүх \(x \in [0, 1]\)-ийн хувьд \(h(x) = x\) гэж тодорхойлвол \(\|h\| = 1\) боловч \(|T(h)| = 0\) байна. Тиймээс шугаман хувиргалт зайтай хувиргалт гэдэг нь түүний норм \(1\) гэхээс илүү хүчтэй нөхцөл юм.
Тодорхойлолт 10. (Зайтай изоморфизм)
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T\) нь \(X\)-ээс \(Y\) дээр (onto) зайтай хувиргалт бол \(T\)-г зайтай изоморфизм гэж нэрлэж "\(X\) ба \(Y\) нь зайтай изоморф" гэж хэлнэ.
Хоёр орон зай зайтай изоморф гэдэг нь хоёр орон зай векторын орон зай болгонд ижил бүтэц, норм орон зай болгонд ижил нормын бүтэцтэй гэсэн үг юм.
Теорем 11. (Хилбертийн орон зай ба \(\ell^2\) хоорондын зайтай изоморфизм)
\(\mathcal{H}\) нь \(\mathbb{F}\) дээрх нормчилсон ортогонал суурь \(\{e_n\}\)-тэй хязгааргүй хэмжээст Хилбертийн орон зай байг. Тэгвэл дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(T(e_n) = \tilde{e}_n\) байх \(\mathcal{H}\)-ээс \(\ell^2_\mathbb{F}\) дээр зайтай хувиргалт \(T\) оршин байна.
Нотолгоо
\(x \in H\) байг. Тэгвэл \(\{e_n\}\) нь \(H\)-ийн нормчилсан ортогонал суурь тул \[x = \sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n\] байна. Мөн \(\alpha_n = \langle x,\,e_n \rangle\) гэж үзвэл Бесселийн тэнцэтгэл бишээр \(\{\alpha_n\} \in \ell^2_\mathbb{F}\) тул шугаман хувиргалт \(T: \mathcal{H} \rightarrow \ell^2_\mathbb{F}\)-г \(T(x) = \{\alpha_n\}\) гэж тодорхойлж болно. Энэ үед дараах тэнцэтгэл биелнэ. \[\|T(x)\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle |^2 = \|x\|^2 .\] Энэ тэнцэтгэл дурын \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд биелдэг тул \(T\) нь зайтай хувиргалт ба тодорхойлолтоор дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(T(e_n) = \tilde{e}_n\) байна.
Эцэст нь \(\{\beta_n\} \in \ell^2_\mathbb{F}\) бол цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \beta_n e_n\) нь \(H\)-ийн нэг цэг \(y\) руу тойрно. \(\langle y,\,e_n \rangle = \beta_n\) тул \(T(y) = \{\beta_n\}\) байна. Тиймээс \(T\) нь \(\mathcal{H}\)-ээс \(\ell^2_\mathbb{F}\) дээр зайтай хувиргалт байна.
Дагавар 12. (Ялгаатай Хилбертийн орон зай \(\ell^2\)-тэй зайтай изоморф байна)
\(\mathbb{F}\) дээрх хязгааргүй хэмжээст ялгаатай Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\) нь \(\ell^2_\mathbb{F}\)-тэй зайтай изоморф байна.
Нотолгоо
\(\mathcal{H}\) нь нормчилсан ортогонал суурь \(\{e_n\}\)-тэй тул теорем 11-ээр \(\mathcal{H}\) нь \(\ell^2_\mathbb{F}\)-тэй зайтай изоморф байна.