Дотоод үржвэрийн орон зайн нормчилсан перпендикуляр дараалал болон сууринд холбогдох онолын үндсэн дээр Хилбертийн орон зай дахь Фурьегийн цувааны онолын үндэслэлийг хөгжүүлж болно. Энэ бичвэрт комплекс экспонент функцийн нормчилсан перпендикуляр дараалал нь дотоод үржвэрийн орон зай \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)-ийн суурь үүсгэдэг болохыг батлаж \(L^2\) орон зай дахь янз бүрийн нормчилсан перпендикуляр сууриудыг үзье.
Теорем 1. (Косинус функцээс бүрдсэн нормчилсан перпендикуляр суурь)
Функцийн олонлог \[C = \left\{c_0(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}},\,c_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos nx \,\bigg\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}\] нь \(L^2[0,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр суурь үүсгэнэ.
Батламж
Эхлээд бодит дотоод үржвэрийн орон зай \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)-ийн хувьд батлая. Олонлог \(C\) нормчилсан перпендикуляр болохыг хялбархан шалгаж болно. Тиймээс \(\operatorname{span} C\) нь \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\) дэх өтгөн болохыг харуулбал хангалттай.
Эхлээд \(\|g_1 - f\| < \epsilon/2\) хангах функц \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\) байна. (Энд \(\|\cdot\|\) нь \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)-ийн нормыг илэрхийлнэ.) Тиймээс ямар ч функц \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)-ийн хувьд \(\|g_2 - g_1\| < \epsilon/2\) хангах функц \(g_2 \in \operatorname{span} C\) байдгийг харуулбал хангалттай. Тэгвэл \(\|g_2 - f\| < \epsilon\) хангах функц \(g_2 \in \operatorname{span} C\) байдаг гэсэн дүгнэлт гарна.
Одоо \(g_1 \in C_\mathbb{R}[0,\,\pi]\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. Функц \(\cos^{-1}: [-1,\,1] \to [0,\,\pi]\) нь тасралтгүй бөгөөд нэг нэгт харгалзах функц юм. Тиймээс \(s \in [-1,\,1]\)-ийн хувьд \(h(s) = g_1(\cos^{-1} s)\) гэж тодорхойлогдох функц \(h \in C_\mathbb{R}[-1,\,1]\)-ийг тодорхойлж болно. Стоун-Вейерштрассын теоремээс олон гишүүнт \(p\) байж ямар ч \(s \in [-1,\,1]\)-ийн хувьд \(|h(s) - p(s)| < \epsilon/2\sqrt{\pi}\) хангана. Тиймээс \(g_2(x) = p(\cos x)\) гэж тавибал бүх \(x \in [0,\,\pi]\)-ийн хувьд \(|g_2(x) - g_1(x)| < \epsilon/2\sqrt{\pi}\) болж \(\|g_2 - g_1\| < \epsilon/2\) болно. Гэхдээ гурвалжны функцийн хөрвүүлэх томъёог ашиглахад \(\sum_{n=0}^m \alpha_n (\cos x)^n\) хэлбэрийн \(\cos x\)-ийн ямар ч гурвалжны олон гишүүнтийг \(\sum_{n=0}^m \beta_n \cos nx\) хэлбэрийн гурвалжны олон гишүүнтээр илэрхийлж болно. Энэ нь \(g_2 \in \operatorname{span} C\) болохыг илэрхийлнэ. Ингээд бодит дотоод үржвэрийн орон зайн тохиолдол батлагдлаа.
Комплекс дотоод үржвэрийн орон зайн тохиолдолд ямар ч \(f \in L^2_\mathbb{C}[0,\,\pi]\)-ийн хувьд \(f_R,\,f_C \in L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)-ийг тус тус \(f\)-ийн бодит хэсэг болон төсөөт хэсгээс олсон функц гэж үзээд аль хэдийн батлагдсан үр дүнг эдгээр функцуудад хэрэглэхэд дараахыг олно. \[f = f_R + \imaginaryI f_C = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n c_n + \imaginaryI\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n c_n = \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha_n + \imaginaryI\beta_n)c_n .\] Тиймээс комплекс дотоод үржвэрийн орон зайд ч ижил дүгнэлт гарна.
Хилбертийн орон зай нормчилсан перпендикуляр сууритай болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь тэр орон зай гарч болдог байх явдал юм. Тиймээс дараах үр дүнг олно.
Дагалдах теорем 2. (\(L^2 [ 0 , \,\pi ]\)-ийн гарч болох байдал)
Орон зай \(L^2[0,\,\pi]\) гарч болдог.
Дараа нь синус функцээс бүрдсэн нормчилсан перпендикуляр сууриыг үзье.
Теорем 3. (Синус функцээс бүрдсэн нормчилсан перпендикуляр суурь)
Функцийн олонлог \[S = \left\{s_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin nx \,\bigg\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}\] нь \(L^2[0,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр суурь үүсгэнэ.
Батламжийн тойм Өмнөх теоремын батламжтай төстэй тул ерөнхий тоймыг л үзье. Энэ удаад \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\) дэх функц \(f\)-ийг дараах байдлаар тодорхойлогдсон функц \(f_\delta\)-аар ойролцуулна. (Энд \(\delta > 0\) юм.) \[f_\delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x \in [0,\,\delta], \\[6pt] f(x) & \text{if } x \in (\delta,\,\pi] . \end{cases}\] Мэдээжийн хэрэг эерэг тоо \(\delta\)-г хангалттай жижиг сонговол \(\|f - f_\delta\|\)-ийг дурын жижиг болгож болно. Дараа нь функц \(f_\delta(x) / \sin x\) нь \(L^2_\mathbb{R}[0,\,\pi]\)-т харьяалагдах тул өмнөх батламжийн үр дүнгээр \(\sum_{n=0}^m \alpha_n \cos nx\) хэлбэрийн функцээр ойролцуулж болно. Тиймээс \(f(x)\)-ийг дараах хэлбэрийн функцээр ойролцуулж болно. \[\sum_{n=0}^m \alpha_n \cos nx \sin x = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^m \alpha_n (\sin(n+1)x - \sin(n-1)x).\] Баруун талын функц нь \(\operatorname{span} S\)-ийн элемент тул хүссэн үр дүнг олно.
Өнөөг хүртэл үзсэн теоремийн дагуу \(L^2[0,\,\pi]\)-ийн ямар ч функц \(f\)-ийг дараах хоёр хэлбэрийн аль нэгээр илэрхийлж болно. \[f = \sum_{n=0}^{\infty} \langle f,\,c_n \rangle c_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \langle f,\,s_n \rangle s_n .\tag{1}\] Энд нийлэл нь \(L^2[0,\,\pi]\) дэх нийлэл юм. Эдгээр цувааг тус тус \(f\)-ийн Фурьегийн косинус цувааны задлага болон Фурьегийн синус цувааны задлага гэж нэрлэнэ.
Дараах теоремд Фурьегийн цувааны задлагын өөр хэлбэрийг үзье.
Дагалдах теорем 4. (Комплекс экспонент функцээс бүрдсэн суурь ба гурвалжны функцээс бүрдсэн суурь)
Функцийн олонлог \[\begin{aligned} E &= \{e_n(x) = (2\pi)^{-1/2}e^{\imaginaryI nx} \,\vert\, n \in \mathbb{Z}\}, \\[6pt] F &= \{2^{-1/2}c_0,\,2^{-1/2}c_n,\,2^{-1/2}s_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} \end{aligned}\] нь тус тус орон зай \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр суурь үүсгэнэ. Нэмэхээр олонлог \(F\) нь орон зай \(L^2_\mathbb{R}[-\pi,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр суурь ч үүсгэнэ. (Олонлог \(E\)-ийн функцууд комплекс функц тул \(E\) нь орон зай \(L^2_\mathbb{R}[-\pi,\,\pi]\)-ийн суурь үүсгэхгүй.)
Батламж
Олонлог \(F\) нь \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр олонлог болохыг хялбархан шалгаж болно. Одоо хүссэн дүгнэлттэй эсрэг тэмцээд \(F\) нь \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\)-ийн суурь биш гэж үзье. Тэгвэл тэг биш функц \(f \in L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\) байж ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\langle f,\,c_0 \rangle = 0, \quad \langle f,\,c_n \rangle = 0 , \quad \langle f,\,s_n \rangle = 0\] хангана. Үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно. \[\begin{aligned} 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) + f(-x)) \, dx, \\[6pt] 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) + f(-x)) \cos nx \, dx, \\[6pt] 0 &= \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx = \int_0^{\pi} (f(x) - f(-x)) \sin nx \, dx . \end{aligned}\] Тиймээс бараг бүх \(x \in [0,\,\pi]\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} f(x) + f(-x) &= 0, \\[6pt] f(x) - f(-x) &= 0 \end{aligned}\] болно. Тиймээс бараг бүх \(x \in [-\pi,\,\pi]\)-ийн хувьд \(f(x) = 0\) болно. Энэ нь \(L^2_\mathbb{F}[-\pi,\,\pi]\) дэх \(f \neq 0\) гэсэн таамаглалтай зөрчилдөнө. Тиймээс \(F\) суурь болно.
Дараа нь олонлог \(E\) нь \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр олонлог болохыг аль хэдийн батлагдсан. Мөн томъёо \[e^{\imaginaryI n\theta} = \cos n\theta + \imaginaryI\sin n\theta\] ээс \(\operatorname{span} E\) нь \(\operatorname{span} F\)-тэй ижил болохыг мэдэж болно. Тиймээс \(E\) ч мөн нормчилсан перпендикуляр суурь болно.
Өнөөг хүртэл үзсэн теорем нь \(L^2\) орон зай дахь Фурьегийн цувааны онолыг хөгжүүлэх үндэслэлийг өгнө. Фурьегийн цувааны онолд өнөөг хүртэл үзсэнээс илүү баялаг агуулга байдаг. Жишээлбэл цэг бүрийн нийлэлийн үүднээс янз бүрийн цувааны нийлэх байдал эсвэл завсарын бүх \(x\)-ийн хувьд жигд нийлэх байдлыг авч үзэж болно.
Энэ бичвэрт үзсэн теоремд хэрэглэсэн завсар \([0,\,\pi]\) болон \([-\pi,\,\pi]\) нь хаалттай завсар байх гэдгээс бусад хязгаарлалт байхгүй. Тиймээс батламжийн явцад хувьсагчийн өөрчлөлт \[x \quad\to\quad \tilde{x} = a + \frac{(b - a)x}{\pi}\] хэрэглэхэд энэ бичвэрт үзсэн теоремыг ерөнхий завсар \([a,\,b]\)-д ч хэрэглэж болно.