\(A\) нь \(k\) зэрэгтэй дөрвөлжин матриц ба \(x\in\mathbb{F}^k\) үед шугаман тэгшитгэлийн системийг \[Ax = y\] шийдэх аргын нэг нь урвуу матриц \(A^{-1}\)-г олж, шийдийг \(x = A^{-1}y\) болгон олох юм. Энэ нь \(A\)-ийн урвуу матриц оршин байх үед боломжтой. Энэ нийтлэлд ийм нөхцөлийг хязгааргүй хэмжээст орон зай руу өргөтгөн судлая.
Тодорхойлолт 1. (Урвуу бүхий оператор)
\(X\), \(Y\) нь норм орон зай байг. Оператор \(T \in B(X,\,Y)\) нь урвуу бүхий гэдэг нь \(ST = I_X\), \(TS = I_Y\)-г хангах оператор \(S \in B(Y,\,X)\) оршин байгаа гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд \(S\)-г \(T\)-ийн урвуу оператор гэж нэрлэж \(T^{-1}\) гэж тэмдэглэнэ.
Оператор \(T \in B(X,\,Y)\) урвуу бүхий бол түүний урвуу цор ганц байна.
Одоо урвуу бүхий операторын шинж чанарыг судлая.
Лемм 2. (Урвуу бүхий операторын шинж чанар)
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь норм орон зай ба \(T_1 \in B(X,\,Y)\), \(T_2 \in B(Y,\,Z)\) нь урвуу бүхий оператор байг.
- \(T_1^{-1}\) нь урвуу бүхий оператор ба \((T_1^{-1})^{-1} = T_1\) байна.
- \(T_2 T_1\) нь урвуу бүхий оператор ба \( (T_2 T_1 )^{-1} = T_1^{-1}T_2^{-1}\) байна.
\(X = Y\) байх тохиолдолд \(B(X)\) нь \(B(X,\,Y)\)-ээс илүү баялаг алгебрийн шинж чанартай байна. Ялангуяа \(T \in B(X)\) бол зэрэглэл \(T^n\) тодорхойлогдоно. Цаашлаад \(T\) урвуу бүхий бол урвуу зэрэглэл \(T^{-n} = (T^{-1})^n\) ч тодорхойлогдоно.
Энэ нийтлэлд операторын урвуу байдал ба урвуу бүхий операторын шинж чанарт анхаарлаа хандуулна. Эхлээд орон зай \(X\), \(Y\)-ийн хооронд урвуу бүхий оператор оршин байхын тулд хоёр орон зайн алгебрийн болон топологийн шинж чанар ижил төстэй байх ёстой гэдгийг судлая.
Тодорхойлолт 3. (Норм орон зайнуудын хоорондох изоморфизм)
\(X\), \(Y\) нь норм орон зай байг. Урвуу бүхий оператор \(T \in B(X,\,Y)\) оршин байвал "\(X\), \(Y\) нь изоморф" гэж хэлж, энэ үед \(T\)-г изоморфизм гэж нэрлэнэ.
\(T \in B(X,\,Y)\) нь изоморфизм бол \(T^{-1} \in B(Y,\,X)\) ч изоморфизм байна. Мөн изоморф орон зайнууд дараах шинж чанартай байна.
Лемм 4. (Изоморф орон зайн шинж чанар)
Норм орон зай \(X\), \(Y\) изоморф бол дараах зүйл биелнэ.
- \(\dim X < \infty\) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(\dim Y < \infty\) ба энэ үед \(\dim X = \dim Y\) байна.
- \(X\) нь ялгаатай орон зай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(Y\) нь ялгаатай орон зай байх явдал юм.
- \(X\) нь бүрэн байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь \(Y\) нь бүрэн байх явдал юм.
Оператор урвуу бүхий болохыг баталгаажуулах энгийн жишээг судлая.
Жишээ 5. (\(L^2 [0,\, 1]\) дэх үржүүлгийн оператор)
Дурын \(h \in C[0,1]\)-ийн хувьд \(T_h \in B(L^2[0,\,1])\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[(T_h u)(t) = h(t)u(t), \quad u \in L^2[0,1].\] \(f \in C[0,1]\) нь \(f(t) = 1 + t\) гэж тодорхойлогдвол \(T_f\) нь урвуу бүхий байна.
Шийдэл
Дурын \(h \in C[0,1]\)-ийн хувьд \(T_h\) нь хязгаартай байна. \(g(t) = \frac{1}{1+t}\) гэж үзье. Тэгвэл \(g \in C[0,1]\) ба бүх \(t \in [0,1]\)-ийн хувьд \[(T_g T_f u)(t) = (T_g(fu))(t) = g(t)f(t)u(t) = u(t)\] байна. Тиймээс бүх \(u \in L^2[0,1]\)-ийн хувьд \((T_g T_f)u = u\) тул \(T_g T_f = I\) байна. Мөн адилаар \(T_f T_g = I\) байна. Тиймээс \(T_f\) нь урвуу бүхий ба \(T_f^{-1} = T_g\) байна.
Жишээ 5-д урвуу оператор өгөгдсөн байсан тул \(T_f\) урвуу бүхий болохыг баталгаажуулах амархан байлаа. Ерөнхий тохиолдолд урвуу оператор өгөгдөөгүй бөгөөд урвуу оператор оршин байгаа эсэхийг шийдэх амар биш байдаг. Жишээ 5-тэй ижил орон зайд ижил төстэй функц \(f \in C[0,1]\)-г \(f(t) = t\) гэж тодорхойлох тохиолдолд ч дээрх жишээтэй ижил арга барилыг ашиглах боломжгүй. Учир нь \(\frac{1}{f(t)}\) нь \(C[0,\,1]\)-д харьяалагдахгүй юм. Гэхдээ үүнээс \(T_f\) урвуу бүхий биш гэж дүгнэж болохгүй. \(T_f\) нь \(T_h\), \(h \in C[0,1]\) хэлбэртэй биш урвуу операторыг гарцтай байж болох бөгөөд үүнийг баталгаажуулах математикийн хэрэгсэл одоохондоо байхгүй юм.
Тиймээс оператор урвуу бүхий эсэхийг шийдэх өөр аргыг олох хэрэгтэй. Хязгаарлагдмал хэмжээст тохиолдолд матрицын тодорхойлогчийг ашиглан матриц урвуу бүхий эсэхийг шийдэж болдог ч үүнийг хязгааргүй хэмжээст тохиолдолд ерөнхийлэх хэцүү байдаг. Тиймээс оператор урвуу бүхий эсэхийг шийдэх өөр аргыг олох хэрэгтэй. Эхний арга нь операторын нормыг ашиглах арга юм.
Теорем 6. (Нейманы цувааны задаргаа)
\(X\) нь Банахын орон зай ба \(T \in B(X)\) байг. Хэрэв \(\|T\| < 1\) бол \(I - T\) нь урвуу бүхий ба түүний урвуу оператор нь дараах байдалтай байна. \[(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} T^n.\] Энэ цувааг Нейманы цуваа гэж нэрлэнэ.
Нотолгоо
\(X\) нь Банахын орон зай тул \(B(X)\) ч Банахын орон зай байна. \(\|T\| < 1\) тул цуваа \(\sum_{n=0}^{\infty} \|T\|^n\) тойрч, бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|T^n\| \leq \|T\|^n\) тул цуваа \(\sum_{n=0}^{\infty} \|T^n\|\) ч тойрно. Иймээс \(\sum_{n=0}^{\infty} T^n\) тойрно.
\(S = \sum_{n=0}^{\infty} T^n\) ба \(S_k = \sum_{n=0}^{k} T^n\) гэж үзье. Тэгвэл дараалал \(\{S_k\}\) нь \(B(X)\) дэх \(S\) руу тойрно. \[\|(I - T)S_k - I\| = \|I - T^{k+1} - I\| = \|-T^{k+1}\| \leq \|T\|^{k+1}\] ба \(\|T\| < 1\) тул \(\lim_{k \to \infty} (I - T)S_k = I\) байна. Тиймээс \[(I - T)S = (I - T) \lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} (I - T)S_k = I\] байна. Ижил аргаар \(S(I - T) = I\) тул \(I - T\) нь урвуу бүхий ба \((I - T)^{-1} = S\) байна.
Дээрх теоремийг ашиглах жишээ болгон интеграл тэгшитгэлийн шийдийг олох асуудлыг судлая.
Жишээ 7.
\(A \in \mathbb{C}\) ба \(a,\,b \in \mathbb{R},\) \(a < b\) байг. Мөн функц \(k: [a,\,b] \times [a,\,b] \to \mathbb{R}\) нь дараах байдлаар тодорхойлогдсон байг. \[k(x,\,y) = A \sin(x-y).\] \(|A| < 1\) үед дурын \(f \in C[a,\,b]\)-ийн хувьд \[g(x) = f(x) + \int_0^1 k(x,\,y)g(y) \, dy\] -г хангах \(g \in C[a,\,b]\) оршин байна.
Шийдэл
Шугаман хувиргалт \(K: C[a,\,b] \to C[a,\,b]\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[(K(g))(s) = \int_a^b k(s,\,t)g(t) \, dt .\] Тэгвэл энэ оператор хязгаартай ба \(\|K(g)\| \leq |A|\|g\|\) байна. Тиймээс \(\|K\| \leq A\) байна.
Асуудлын интеграл тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. \[(I - K)g = f .\] Теорем 6-аар \(I - K\) нь урвуу бүхий тул интеграл тэгшитгэл (цорын ганц) шийд \[g = (I - K)^{-1}f\] -тай байна.
Теорем 6-г урвуу бүхий операторын олонлогийн зайн орон зайн шинж чанарыг гаргахад ч ашиглаж болно.
Дагавар 8. (Урвуу бүхий операторын олонлог нэээлттэй олонлог байна)
\(X\), \(Y\) нь Банахын орон зай байг. \(B(X,\,Y)\) дэх урвуу бүхий операторын олонлог \(\mathcal{A}\) нь нээлттэй олонлог байна.
Нотолгоо
\(T \in \mathcal{A}\) ба \(\eta = \|T^{-1}\|^{-1}\) гэж үзье. \(\mathcal{A}\) нь нээлттэй олонлог болохыг харуулахын тулд \(\|T - S\| < \eta\) үед \(S \in \mathcal{A}\) болохыг харуулах хангалттай.
\(\|T - S\| < \eta\) гэж үзье. Тэгвэл \[\|(T - S)T^{-1}\| \leq \|T - S\|\|T^{-1}\| < \|T^{-1}\|^{-1}\|T^{-1}\| = 1\] байна. Тиймээс теорем 6-аар \(I_Y - (T - S)T^{-1}\) нь урвуу бүхий байна. Гэхдээ \[I_Y - (T - S)T^{-1} = I_Y - (I_Y - ST^{-1}) = ST^{-1}\] байна. Тиймээс \(ST^{-1}\) нь урвуу бүхий ба \(S = ST^{-1}T\) ч урвуу бүхий байна. Иймээс \(S \in \mathcal{A}\) байна.
Одоо операторын урвуу байдлыг шалгах хоёр дахь аргыг судлая. \(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) гэж үзье. \(T\) урвуу бүхий бол нэг нэгэнд харгалзах функц байна. (Өөрөөр хэлбэл \(\operatorname{ker}(T) = \{0\}\) ба \(\operatorname{im}(T) = Y\) байна.) Эсрэгээр \(T\) нь нэг нэгэнд харгалзах бол \(S \circ T = I_X\) ба \(T \circ S = I_Y\) байх цорын ганц шугаман хувиргалт \(S: Y \to X\) оршин байна. Гэхдээ ерөнхийдөө \(S\) хязгаартай байх баталгаа байхгүй тул \(T\) нэг нэгэнд харгалзах байдал нь урвуу байдлын хангалттай нөхцөл биш юм. Гэхдээ дараах теорем биелнэ.
Теорем 9. (Нээлттэй зураглалын теорем)
\(X\) ба \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) нь \(Y\) дээрх функц байг. Мөн \[L = \{T(x) \,\vert\, x \in X \text{ and } \|x\| \leq 1\}\] ба \(L\)-ийн хаалтыг \(\overline{L}\) гэж үзье. Тэгвэл дараах зүйл биелнэ.
- \(\{y \in Y \,\vert\, \|y\| \leq r\} \subseteq \overline{L}\) байх \(r > 0\) оршин байна.
- \(\{y \in Y \,\vert\, \|y\| \leq \frac{r}{2}\} \subseteq L\) байна.
- \(T\) нь нэг нэгэнд харгалзах функц бол \(T\) нь урвуу бүхий байна.
Нотолгоо
Аль олонлог аль орон зайд харьяалагддагийг тодорхой болгохын тулд дараах тэмдэглэгээг хэрэглье. \[B_{X}(0,\,r) = \{x \in X \,\vert\, \|x\| < r\}\] -г орон зай \(X\) дэх төв нь \(0\), радиус нь \(r\) байх нээлттэй бөмбөрцөг гэж үзээд энэ бөмбөрцгийн хаалтыг \[\overline{B}_{X}(0,\,r) = \{x \in X \,\vert\, \|x\| \leq r\}\] гэж үзэж, \(B_{Y}(0,\,r)\) ба \(\overline{B}_{Y}(0,\,r)\)-г орон зай \(Y\) дэх нээлттэй бөмбөрцөг ба нээлттэй бөмбөрцгийн хаалт гэж үзье.
- \(T\) нь \(X\)-г \(Y\) дээр зураглах тул дурын \(y \in Y\)-ийн хувьд \(T(x) = y\) байх \(x \in X\) оршин байна. Тиймээс \(y \in \|x\|L\) ба \[Y = \bigcup_{n=1}^{\infty} nL\] байна. Иймээс Бэйрийн ангиллын теоремоор \(N \in \mathbb{N}\) оршин байж \(NL\) нь нээлттэй бөмбөрцөг агуулна. Скаляр үржүүлэх үйлдэл тасралтгүй функц тул \(L\) ч нээлттэй бөмбөрцөг агуулна. Иймээс \(p \in \overline{L}\) ба \(t > 0\) оршин байж \[p + B_{0,Y}(t) \subseteq \overline{L}\] -г хангана. \(y \in B_{Y}(0,\,t)\) гэж үзье. Тэгвэл \(p + y\) ба \(y - p\) хоёулаа \(\overline{L}\)-д харьяалагддаг тул \[y = \frac{1}{2}((p + y) + (y - p)) \in \overline{L}\] байна. Тиймээс \(L\) нь \(B_{Y}(0,\,t)\)-г агуулдаг тул \(r = t/2\) гэж сонгоход хүссэн үр дүнг олно.
- \(y \in B_{Y}(0,\,r/2)\) гэж үзье. \(2y \leq r\) ба \(B_{Y}(0,\,r) \subseteq \overline{L}\) тул \(w_1 \in L\) оршин байж \[\|2y - w_1\| < r/2\] -г хангана. \(2^2y - 2w_1 \in B_{Y}(0,\,r)\) ба \(B_{Y}(0,\,r) \subseteq \overline{L}\) тул \(w_2 \in L\) оршин байж \[\|2^2y - 2w_1 - w_2\| < \frac{r}{2}\] -г хангана. Ижил үйл явцыг давталснаар \(L\)-ийн дараалал \(\{w_n\}\)-г олж болох бөгөөд бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\|2^ny - 2^{n-1}w_1 - 2^{n-2}w_2 - \cdots - w_n\| < \frac{r}{2}\] байна. Тиймээс бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\|y - \sum_{j=1}^{n} 2^{-j}w_j\| < 2^{-n-1}r\] байна. Иймээс \(y = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}w_j\) байна. \(w_n \in L\) тул бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|x_n\| \leq 1\) байх \(x_n \in X\) оршин байж \(w_n = T(x_n)\) байна. Нөгөө талаас тэнцэтгэл биш \[\left \|\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}x_j \right\| \leq \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j} = 1\] -ийн зүүн талын нормын доторх цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалал Кошигийн дараалал тул \(x \in \overline{B}_{X}(0,\,1)\) руу тойрно. Мөн \[T(x) = T(\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}x_j) = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}T(x_j) = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j}w_j = y\] байна. Иймээс \(y \in L\) ба \(B_{Y}(0,\, r/2) \subseteq L\) байна.
- \(S \circ T = I_X\) ба \(T \circ S = I_Y\)-г хангах цорын ганц шугаман хувиргалт \(S: Y \to X\) оршин байна. \(\|y\| \leq 1\) байх \(y \in Y\)-ийн хувьд \(w = \frac{ry}{2}\) гэж үзье. \(\|w\| \leq \frac{r}{2}\) тул (b)-ээр \(\|x\| \leq 1\) байх \(x \in X\) оршин байж \(w = T(x)\) байна. Тиймээс \(y = T(\frac{2x}{r})\) ба \[S(y) = \|\frac{2x}{r}\| \leq \frac{2}{r}\] байна. Иймээс \(S\) нь хязгаартай байна.
Тасралтгүй шугаман хувиргалтын график хаалттай олонлог болохыг өмнөх нийтлэлд судалсан. Теорем 9-г ашиглавал ийм шинж чанарын урвуу биелдэг болохыг харуулж болно. Дараах теоремийг судлая.
Дагавар 10. (Хаалттай графикийн теорем)
\(X\) ба \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(T\) нь \(X\)-ээс \(Y\) руух шугаман хувиргалт байг. Хэрэв \(T\)-ийн график \(\mathcal{G}(T)\) нь хаалттай олонлог бол \(T\) нь тасралтгүй байна.
Нотолгоо
\(X \times Y\) нь Банахын орон зай ба \(\mathcal{G}(T)\) нь \(X \times Y\)-ийн хаалттай дэд векторын орон зай тул \(\mathcal{G}(T)\) нь Банахын орон зай байна. Функц \(R: \mathcal{G}(T) \to X\)-г \(R(x,\,Tx) = x\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(R\) нь \(\mathcal{G}(T)\)-ээс \(X\) руух шугаман хувиргалт ба нэг нэгэнд харгалзах байна \[\|R(x,\,Tx)\| = \|x\| \leq \|x\| + \|Tx\| = \|(x,\,Tx)\|\] тул \(R\) нь хязгаартай ба \(\|R\| \leq 1\) байна. Тиймээс теорем 9-ээр \(S: X \to \mathcal{G}(T)\) оршин байж \[S \circ R = I_{\mathcal{G}(T)} \quad \text{and}\quad R \circ S = I_X\] -г хангана. Ялангуяа бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(Sx = (x,\,Tx)\) биелнэ. Бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \[\|Tx\| \leq \|x\| + \|Tx\| = \|(x,\,Tx)\| = \|Sx\| \leq \|S\|\|x\|\] тул \(T\) нь тасралтгүй байна.
Теорем 9-ийн (c) нь өөрөө нэртэй чухал теорем юм.
Дагавар 11. (Банахийн изоморфизмын теорем)
\(X\), \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) нь нэг нэгэнд харгалзах бол \(T\) нь урвуу бүхий байна.
Тэгшитгэл \(T(x) = y\)-г шийдэхэд одоо хүртэл судалсан теоремийг ашиглахыг оролдоход \(T\) нь \(X\)-г \(Y\) дээр зураглана гэдгийг баталгаажуулах үе шатанд аль хэдийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай нөхцөл байдал үүсч болно. Ийм мэтгэлцээний цагирагт байдлаас зайлсхийхийн тулд урвуу байдлын нөхцлийг тогтоох өөр аргыг олох хэрэгтэй.
Лемм 12. (Урвуу бүхий операторын доод зааг)
\(X\), \(Y\) нь норм орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) нь урвуу бүхий оператор байг. Тэгвэл дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \[\|Tx\| \geq \|T^{-1}\|^{-1}\|x\|\] биелнэ.
Нотолгоо
Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \[x = T^{-1}(Tx) \leq \|T^{-1}\|\|Tx\|\] тул \[\|Tx\| \geq \|T^{-1}\|^{-1}\|x\|\] байна.
Дээрх теорем нь \(T \in B(X,\,Y)\) урвуу бүхий бол бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)-г хангах \(\alpha > 0\) оршин байгааг харуулна. Энэ шинж чанарыг ашиглан оператор урвуу бүхий байх нөхцлийг бүтээж үзье.
Лемм 13. (Хаалттай утгын мужийн нөхцөл)
\(X\) нь Банахын орон зай, \(Y\) нь норм орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) байг. "Дурын \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)"-г хангах \(\alpha > 0\) оршин байвал \(\operatorname{im}(T)\) нь хаалттай олонлог байна.
Нотолгоо
\(\operatorname{im}(T)\)-ийн дараалал \(\{y_n\}\) нь \(Y\)-ийн цэг \(y\) руу тойрно гэж үзье. \(y_n \in \operatorname{im}(T)\) тул \(T x_n = y_n\) байх \(x_n \in X\) оршин байна. \(\{y_n\}\) нь тойрогч тул Кошигийн дараалал ба дурын \(m,\) \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\|y_n - y_m\| = \|Tx_n - Tx_m\| = \|T(x_n - x_m)\| \geq \alpha \|x_n - x_m\|\] тул дараалал \(\{x_n\}\) ч Кошигийн дараалал байна. \(X\) нь бүрэн тул \(x \in X\) оршин байж \(\{x_n\}\) нь \(x\) руу тойрно. Тиймээс \(T\)-ийн тасралтгүй байдлаар \[Tx = \lim_{n \to \infty} Tx_n = \lim_{n \to \infty} y_n = y\] байна. Иймээс \(y = Tx \in \operatorname{im}(T)\) ба \(\operatorname{im}(T)\) нь хаалттай олонлог байна.
Лемм 12 ба 13-г ашиглан оператор урвуу бүхий байх өөр нөхцлийг гаргаж болно. Дараах теоремийг судлая.
Теорем 14. (Оператор урвуу бүхий байх нөхцөл)
\(X\), \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) байг. Энэ үед дараах зүйлс харилцан тэнцүү байна.
- \(T\) нь урвуу бүхий байна.
- \(\operatorname{im}(T)\) нь \(Y\) дэх нягт ба "бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(\|Tx\| \geq \alpha \|x\|\)"-г хангах \(\alpha > 0\) оршин байна.
Нотолгоо
[(a) ⇒ (b)] нь лемм 12-оос шууд гарна.
[(b) ⇒ (a)]-г нотолъё. \(\operatorname{im}(T)\) нь \(Y\) дэх нягт ба лемм 13-аар \(\operatorname{im}(T)\) нь хаалттай тул \(\operatorname{im}(T) = Y\) байна. \(x \in \operatorname{ker}(T)\) бол \(Tx = 0\) тул \[0 = \|Tx\| \geq \alpha \|x\|\] байна. Тиймээс \(x = 0\) байна. Иймээс \(\operatorname{ker}(T) = \{0\}\) ба дагавар 11-ээр \(T\) нь урвуу бүхий байна.
Оператор урвуу бүхий биш болохыг харуулахад ч энэ үр дүнг ашиглаж болно.
Дагавар 15. (Оператор урвуу бүхий биш байх нөхцөл)
\(X\), \(Y\) нь Банахын орон зай ба \(T \in B(X,\,Y)\) байг. \(T\) урвуу бүхий биш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь дараахын аль нэг буюу түүнээс олон нь биелэх явдал юм.
- \(\operatorname{im}(T)\) нь \(Y\) дэх нягт биш байна.
- \(\|x_n\| = 1\) байх \(X\)-ийн дараалал \(\{x_n\}\) оршин байж \(\lim_{n \to \infty} Tx_n = 0\) байна.
Дээрх теорем нь операторын урвуу бүхий биш байдлыг харуулах ашигтай арга юм. Дараах жишээг судлая.
Жишээ 16. (Урвуу бүхий биш үржүүлгийн оператор)
Дурын \(h \in C[0,1]\)-ийн хувьд жишээ 5-д тодорхойлсон оператор \(T_h \in B(L^2 [0,\,1])\)-г авч үзье. \(f \in C[0,\,1]\)-г \(f(t) = t\) гэж тодорхойлвол \(T_f\) нь урвуу бүхий биш байна.
Шийдэл
Тоо бүр \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(u_n = \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}\) гэж үзье. Тэгвэл дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(u_n \in L^2[0,1]\) ба \[\|u_n\|^2 = \int_0^1 \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, dt = n \frac{1}{n} = 1\] байна. Гэхдээ \[\begin{aligned} \|T_f(u_n)\|^2 &= \int_0^1 t\sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, t\sqrt{n}\chi_{[0,1/n]}(t) \, dt \\[6pt] &= n\int_0^{1/n} t^2 \, dt = n\frac{1}{3n^3} = \frac{1}{3n^2}\end{aligned}\] тул \[\lim_{n \to \infty} T_f(u_n) = 0\] байна. Иймээс дагавар 15-аар \(T_f\) нь урвуу бүхий биш байна.Теорем 14-г ашиглан оператор урвуу бүхий болохыг харуулж ч болно. Жишээ 5-г өөр аргаар шийдэж үзье.
Жишээ 17. (\(L^2 [ 0,\,1]\) дэх үржүүлгийн операторын урвуу байдлын өөр нотолгоо)
Дурын \(h \in C[0,1]\)-ийн хувьд жишээ 5-д тодорхойлсон оператор \(T_h \in B(L^2[0,\,1])\)-г авч үзье. \(f \in C[0,1]\)-г \(f(t) = 1 + t\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(T_f\) нь урвуу бүхий байна.
Нотолгоо
Энэ оператор теорем 14-ийн хоёр нөхцлийг хангаж байгааг баталгаажуулъё.\(v \in C[0,\,1]\) ба \(u = \frac{v}{f}\) гэж үзье. Тэгвэл \(u \in C[0,\,1]\) ба бүх \(t \in [0,\,1]\)-ийн хувьд \[(T_f(u))(t) = f(t)u(t) = v(t)\] байна. Тиймээс \(T_f(u) = v\) ба \(\operatorname{im}(T_f) = C[0,\,1]\) байна. Мөн дурын \(u \in C[0,1]\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} \|T_f(u)\|^2 &= \int_0^1 f(t)u(t)\overline{f(t)u(t)} \, dt \\[6pt] &= \int_0^1 |f(t)|^2|u(t)|^2 \, dt \\[6pt] &\geq \int_0^1 |u(t)|^2 \, dt = \|u\|^2 \end{aligned}\] байна. Иймээс теорем 14-ээр \(T_f\) нь урвуу бүхий байна.
Дээрх жишээний шийдлийн явцад \(\operatorname{im}(T_f)\) нягт болохыг харуулах нь урвуу операторыг олохтой адил хэцүү мэт харагдаж болно. Гэхдээ Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн тохиолдолд \(B(\mathcal{H})\) дэх нягт байдлыг тогтоох илүү ашигтай арга байдаг тул үүнийг ашиглавал операторын урвуу байдлыг илүү амархан тогтоож болно.
Одоо хаалттай графикийн теоремийг ашигласан теоремийг судлая.
Теорем 18. (Жигд хязгаартай зарчим)
\(U\) ба \(X\) нь Банахын орон зай байг. Мөн \(S\) нь хоосон биш олонлог ба тоо бүр \(s \in S\)-ийн хувьд \(T_s \in B(U,\,X)\) байг. Тоо бүр \(u \in U\)-ийн хувьд олонлог \(\{T_s(u) \,\vert\, s \in S\}\) хязгаартай бол олонлог \(\{T_s \,\vert\, s \in S\}\) нь хязгаартай байна.
Нотолгоо
Олонлог \(\left\{ \lVert f(s) \rVert \,\vert\, s\in S \right\}\) хязгаартай байх функц \(f:S \rightarrow X\)-ийн цуглуулгыг \(F_b (S,\,X)\) гэж үзье. Тэгвэл \(F_b (S,\,X)\) нь \(F(S,\,X)\)-ийн дэд векторын орон зай байна. Энд \[\lVert f \rVert = \operatorname{sup} \left\{ \lVert f(s) \rVert \,\vert\, s\in S\right\}\] гэж тодорхойлогдсон норм өгөгдсөн гэж үзье.
Тоо бүр \(u \in U\)-ийн хувьд функц \(f^u: S \to X\)-г \(f^u(s) = T_s(u)\) гэж тодорхойлъё. Тодорхойлолтоор олонлог \[\{f^u(s) \,\vert\, s \in S\} = \{T_s(u) \,\vert\, s \in S\}\] хязгаартай тул \(f^u \in F_b(S,\,X)\) байна.
Одоо шугаман оператор \(\phi: U \to F_b(S,\,X)\)-г \(\phi(u) = f^u\) гэж тодорхойлъё. \(\phi\)-ийн график \(\mathcal{G}(\phi)\) хаалттай болохыг харуулна. \(\mathcal{G}(\phi)\)-с \(U \times F_b(S,\,X)\)-ийн элемент \((u,\,g)\) руу тойрогч дараалал \(\{(u_n,\,\phi(u_n))\}\)-г авч үзье. Тэгвэл \[\lim_{n \to \infty} \|g(s) - \phi(u_n)(s)\| \leq \lim_{n \to \infty} \|g - \phi(u_n)\|_b = 0\] ба \(T_s\) тасралтгүй тул \[\begin{aligned} g(s) &= \lim_{n \to \infty} \phi(u_n)(s) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} f^{u_n}(s) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} T_s(u_n) = T_s(u) \end{aligned}\] байна. Тиймээс \(g(s) = f^u(s) = \phi(u)(s)\) ба \(g = \phi(u)\), \((u,\,g) \in \mathcal{G}(\phi)\) байна. Иймээс \(\mathcal{G}(\phi)\) нь хаалттай байна.
Одоо хаалттай графикийн теоремоор \(\phi\) хязгаартай тул \(s \in S,\) \(u \in U\)-ийн хувьд \[\|T_s(u)\| = \|f^u(s)\| \leq \|f^u\|_b = \|\phi(u)\|_b \leq \|\phi\|\|u\|\] байна. Тиймээс дурын \(s \in S\)-ийн хувьд \(\|T_s\| \leq \|\phi\|\) байна.
Дагавар 19. (Цэг бүрт тойрвол хязгаартай байна)
\(U\), \(X\) нь Банахын орон зай ба тоо бүр байгалийн тоо \(n\)-ийн хувьд \(T_n \in B(U,\,X)\) байг. Мөн \(u \in U\)-ийн хувьд \[\lim_{n \to \infty} T_n u\] оршин байна гэж үзье. Функц \(T\)-г тоо бүр \(u\in U\)-ийн хувьд \[Tu = \lim_{n \to \infty} T_n u\] гэж тодорхойлвол \(T \in B(U,\,X)\) байна.
Нотолгоо
\(B(X,\,Y)\) бүрэн болохыг нотлохтой ижил аргаар \(T\) шугаман болохыг мэдэж болно.
Дараа нь дурын \(u \in U\)-ийн хувьд хязгаар \(\lim_{n \to \infty} T_n u\) оршин байгаа тул олонлог \(\{T_n u \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\) хязгаартай болохыг мэдэж болно. Тиймээс теорем 18-д \(S = \mathbb{N}\) байх тохиолдлыг авч үзвэл "бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|T_n\| \leq M\)" байх \(M\) оршин байгааг мэдэж болно. Тиймээс \[\|Tu\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n u\| \leq M\|u\|\] тул \(T\) нь хязгаартай байна.