Өмнөх нийтлэлд операторын нормтой холбоотой жишээг судалсан тул норм орон зай \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгаас бүрдсэн орон зай \(B(X,\,Y)\)-ийн бүтцийг илүү дэлгэрэнгүй судлая. Норм орон зай бүрэн байхад илүү ашигтай шинж чанартай болдог тул \(B(X,\,Y)\) хэзээ Банахын орон зай болохыг судлах нь зүйтэй юм.
Теорем 1. (\(B(X,\,Y)\)-ийн бүрэн байдал)
\(X\) нь норм орон зай ба \(Y\) нь Банахын орон зай бол \(B(X,\,Y)\) нь Банахын орон зай байна.
Нотолгоо
\(B(X,\,Y)\) нь бүрэн зайн орон зай болохыг харуулах ёстой. \(\{T_n\}\)-г \(B(X,\,Y)\) дэх Кошигийн дараалал гэж үзье. Бүх зайн орон зайд Кошигийн дараалал хязгаартай тул \(M > 0\) оршин байж дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|T_n\| \leq M\)-г хангана. \(x \in X\) байг. \[\|T_n x - T_m x\| = \|(T_n - T_m)(x)\| \leq \|T_n - T_m\| \|x\|\] ба \(\{T_n\}\) нь Кошигийн дараалал тул \(\{T_n x\}\) нь \(Y\) дэх Кошигийн дараалал байна. \(Y\) нь бүрэн тул \(\{T_n x\}\) нь тойрно. Түүний хязгаарын утгыг \(T(x)\) гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл функц \(T: X \rightarrow Y\)-г \[T(x) = \lim_{n \to \infty} T_n x\] гэж тодорхойлж болно.
Одоо \(T \in B(X,\,Y)\) ба \(T\) нь \(B(X,\,Y)\) дэх шаардлагатай хязгаарын функц болохыг харуулья.
\(T\) нь шугаман гэдгийг дараах хоёр томъёоноос мэдэж болно. \[\begin{aligned} T(x+y) &= \lim_{n \to \infty} T_n(x+y) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty}(T_n x + T_n y) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} T_n x + \lim_{n \to \infty} T_n y = T(x) + T(y), \\[10pt] T(\alpha x) &= \lim_{n \to \infty} T_n(\alpha x) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} \alpha T_n x \\[6pt] &= \alpha \lim_{n \to \infty} T_n x = \alpha T(x). \end{aligned}\] Дараа нь \[\|T x\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n x\| \leq M \|x\|\] тул \(T\) нь хязгаартай ба тиймээс \(T \in B(X,\,Y)\) байна.
Эцэст нь \(\lim_{n \to \infty} T_n = T\) болохыг харуулах ёстой. \(\epsilon > 0\) байг. \(N \in \mathbb{N}\) оршин байж \(m,\,n \geq N\) үед \[\|T_n - T_m\| < \frac{\epsilon}{2}\] -г хангана. Тэгвэл \(\|x\| \leq 1\) байх дурын \(x\) ба \(m,\,n \geq N\)-ийн хувьд \[\|T_n x - T_m x\| \leq \|T_n - T_m\| \|x\| < \frac{\epsilon}{2}\] байна. \(T(x) = \lim_{n \to \infty} T_n(x)\) тул \(N_1 \in \mathbb{N}\) оршин байж \(m \geq N_1\) үед \[\|T x - T_m x\| < \frac{\epsilon}{2}\] -г хангана. Тэгвэл \(n \geq N\) ба \(m \geq N_1\) үед \[\begin{aligned} \|T x - T_n x\| &\leq \|T x - T_m x\| + \|T_m x - T_n x\| \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \|x\| \leq \epsilon. \end{aligned}\] байна. Тиймээс \(n \geq N\) үед \(\|T - T_n\| \leq \epsilon\) тул \(\lim_{n \to \infty} T_n = T\) байна.
Иймээс \(B(X,\,Y)\) нь Банахын орон зай байна.
\(Y = \mathbb{F}\) байх тохиолдолд орон зай \(B(X,\,Y)\)-г ихэвчлэн ашигладаг тул дараах тусгай тэмдэглэгээг ашиглан илэрхийлнэ.
Тодорхойлолт 2. (Хосмол орон зай)
\(X\) нь норм орон зай байг. \(X\)-ээс \(\mathbb{F}\) руух шугаман хувиргалтыг шугаман функционал гэж нэрлэнэ. Орон зай \(B(X,\,\mathbb{F})\)-г \(X\)-ийн хосмол орон зай гэж нэрлэж \(X'\) гэж тэмдэглэнэ.
Хосмол орон зайг \(X^*\) гэж тэмдэглэх ч байдаг. Гэхдээ энэ тэмдэглэгээ нь түрш операторттой андуурагдах тул бид прайм тэмдгийг ашиглан хосмол орон зайг илэрхийлье.
Дагавар 3. (Хосмол орон зайн бүрэн байдал)
\(X\) нь норм орон зай бол \(X'\) нь Банахын орон зай байна.
Нотолгоо
Орон зай \(\mathbb{F}\) нь бүрэн тул теорем 1-ээр \(X'\) нь Банахын орон зай байна.
Одоо ерөнхий орон зай \(Y\)-ийн хувьд \(B(X,\,Y)\)-ийн алгебрийн бүтцийг судлая.
Лемм 4. (Тасралтгүй операторын хослол)
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\,Y)\) ба \(S \in B(Y,\,Z)\) байг. Тэгвэл \(S \circ T \in B(X,\,Z)\) ба \[\|S \circ T\| \leq \|S\| \|T\|\] байна.
Нотолгоо
\(S \circ T \in L(X,\,Z)\) ба \[\|(S \circ T)(x)\| = \|S(T(x))\| \leq \|S\| \|T(x)\| \leq \|S\| \|T\| \|x\|\] тул \(S \circ T \in B(X,\,Z)\) ба \(\|S \circ T\| \leq \|S\| \|T\|\) байна.
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь суурь \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{y}\), \(\mathbf{z}\)-тэй хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай, \(T \in L(X,\,Y)\) ба \(S \in L(Y,\,Z)\) бол \[M_{\mathbf{z}}^{\mathbf{x}}(S \circ T) = M_{\mathbf{z}}^{\mathbf{y}}(S) M_{\mathbf{y}}^{\mathbf{x}}(T)\] байна. Тиймээс тасралтгүй шугаман операторын үржвэрийг функцын хослол болгон тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт 5. (Тасралтгүй шугаман операторын үржвэр)
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\,Y)\) ба \(S \in B(Y,\,Z)\) байг. \(S\) ба \(T\)-ийн хослол \(S \circ T\)-г \(ST\) гэж тэмдэглэж \(S\) ба \(T\)-ийн үржвэр гэж нэрлэнэ.
\(X\), \(Y\), \(Z\) нь норм орон зай, \(T \in B(X,\,Y)\) ба \(S \in B(Y,\,Z)\) байг. Орон зай \(X\), \(Y\), \(Z\) бүгд ижил биш бол \(ST\)-г тодорхойлж болно гэдэг нь \(TS\)-г ч тодорхойлж болно гэсэн үг биш юм. Гэхдээ \(X = Y = Z\) бол \(TS\) ба \(ST\) хоёулаа тодорхойлогдоно. Гэхдээ бүх орон зай хязгаарлагдмал хэмжээст ба \(X = Y = Z\) байсан ч ерөнхийдөө \(TS \neq ST\) гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
\(X = Y = Z\) байх нөхцөл ихэвчлэн тохиолддог тул энэ үед хэрэглэх тэмдэглэгээг тодорхойлъё. \(X\) нь норм орон зай үед \(X\)-ээс \(X\) руух бүх тасралтгүй шугаман операторын олонлог болох \(B(X,\,X)\)-г \(B(X)\) гэж тэмдэглэнэ. \(X\) нь норм орон зай үед \(B(X)\) нь дараах бүтэцтэй байна.
Лемм 6. (\(B(X)\)-ийн алгебрийн бүтэц)
\(X\) нь норм орон зай байг.
- \(B(X)\) нь нэгж элементтэй алгебр ба тиймээс нэгж элементтэй цагираг байна.
- Хэрэв \(\{T_n\}\) ба \(\{S_n\}\) нь \(B(X)\)-ийн дараалал ба \[\lim_{n \to \infty} T_n = T ,\quad \lim_{n \to \infty} S_n = S\] бол \[\lim_{n \to \infty} S_n T_n = ST\] байна.
Нотолгоо
- \(X\) нь векторын орон зай ба \(B(X)\) нь \(L(X)\)-ийн дэд орон зай тул \(B(X)\) нь нэгж элементтэй алгебр ба нэгж элементтэй цагираг байна.
- \(\{T_n\}\) нь тойрогч тул хязгаартай байна. Тиймээс \(K > 0\) оршин байж дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|T_n\| \leq K\)-г хангана. \(\epsilon > 0\) байг. Тэгвэл \(N_1 \in \mathbb{N}\) оршин байж \(n \geq N_1\) үед
\[\|S_n - S\| < \frac{\epsilon}{2K}\]
-г хангаж, \(N_2 \in \mathbb{N}\) оршин байж \(n \geq N_2\) үед
\[\|T_n - T\| < \frac{\epsilon}{2(\|S\| + 1)}\]
-г хангана.
\(n \geq \max(N_1,\,N_2)\) гэж үзье. Тэгвэл \[\begin{aligned} \|S_n T_n - ST\| &\leq \|S_n T_n - ST_n\| + \|ST_n - ST\| \\[6pt] &\leq K\|S_n - S\| + \|S\|\|T_n - T\| \end{aligned}\] тул \[\|S_n T_n - ST\| \leq K\|S_n - S\| + \|S\|\|T_n - T\| < \epsilon\] байна. Тиймээс \(\lim_{n \to \infty} S_n T_n = ST\) байна.
\(X\) нь норм орон зай ба \(T \in B(X)\) байг. Энэ үед дараах байдлаар тодорхойлно.
- \(T^2\) нь \(TT\)-г, \(T^3\) нь \(TTT\)-г илэрхийлж, илүү ерөнхийд \(T^n\) нь \(n\) ширхэг \(T\)-г үржүүлсэн функцийг илэрхийлнэ.
- \(a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_n \in \mathbb{F}\) ба \(p: \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}\) нь \[p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\] гэж тодорхойлогдсон олон гишүүнт бол \[p(T) = a_0 I + a_1 T + \ldots + a_n T^n\] гэж тодорхойлно.
\(B(X)\) нь цагираг тул дээрх тэмдэглэгээ нь цагирагт хэрэглэгддэг зэрэглэлийн тэмдэглэгээтэй таарна. Дараах нь тодорхойлолтоос шууд олж болох теорем юм.
Теорем 7. (Операторын олон гишүүнтийн шинж чанар)
\(X\) нь норм орон зай ба \(T \in B(X)\) байг. Мөн \(p\) ба \(q\) нь олон гишүүнт, \(\lambda,\,\mu \in \mathbb{C}\) байг. Энэ үед дараах зүйл биелнэ.
- \((\lambda p + \mu q)(T) = \lambda p(T) + \mu q(T) .\)
- \((pq)(T) = p(T)q(T) .\)