\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгыг \(B(X,\,Y)\) гэж тэмдэглэнэ. Ялангуяа \(Y=\mathbb{F}\) байх тохиолдолд \(B(X,\,\mathbb{F})\)-г \(X\)-ийн хосмол орон зай гэж нэрлэж \(X ' \) гэж тэмдэглэнэ.
Ерөнхийдөө хосмол орон зайн элементийг тус тусад нь судлах нь харьцангуй амархан боловч хосмол орон зайн бүхэл бүтэн шинж чанарыг тодорхойлох нь хэцүү байдаг. Энэ нийтлэлд эхлээд хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн хосмол орон зайн шинж чанарыг судалсны дараа хязгааргүй хэмжээст орон зайн хосмол орон зайн шинж чанарыг тогтоох теоремийг судлая.
Хосмол орон зайн шинж чанарыг судлахын тулд шинэ тэмдэглэгээг танилцуулна. Дурын бүхэл тоо \(j\), \(k\)-ийн хувьд \(\delta_{jk}\)-г дараах байдлаар тодорхойлно. \[\delta_{jk} = \begin{cases} 1 & \text{if}\ j = k , \\[6pt] 0 & \text{if}\ j \neq k . \end{cases}\] Ингэж тодорхойлогдсон \(\delta_{jk}\)-г Кронекерийн дельта гэж нэрлэнэ.
Теорем 1. (Хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зайн хосмол орон зай)
\(X\) нь суурь \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\)-тэй хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зай бол хосмол орон зай \(X'\) нь \[f_j(v_k) = \delta_{jk} , \quad 1 \leq j \leq n, \quad 1\leq k \leq n\] -г хангах суурь \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\)-тэй байна. Ялангуяа \(\dim X' = \dim X\) байна.
Нотолгоо
\(x \in X\) байг. \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь тул \[x = \sum_{k=1}^n \alpha_k v_k\] -г хангах цорын ганц скаляр \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\ldots,\,\alpha_n\) оршин байна. \(j = 1,\,\ldots,\,n\)-ийн хувьд \(f_j : X \rightarrow \mathbb{F}\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[f_j(x) = \alpha_j, \quad x \in X.\] \(f_j\) нь \(f_j(v_k) = \delta_{jk}\)-г хангах шугаман хувиргалт байна. Цаашлаад \(f_j \in X'\) байна.
Одоо \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\) нь \(X'\)-ийн суурь болохыг харуулья.
Скаляр \(\beta_1,\,\beta_2,\,\ldots,\,\beta_n\) нь \[\sum_{j=1}^n \beta_j f_j = 0\] -г хангана гэж үзье. Тэгвэл \[0 = \sum_{j=1}^n \beta_j f_j(v_k) = \sum_{j=1}^n \beta_j \delta_{jk} = \beta_k, \quad 1 \leq k \leq n\] байна. Тиймээс \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\) нь шугаман үл хамаарах байна.
Одоо дурын \(f \in X'\)-ийн хувьд \(\gamma_j = f(v_j),\,j = 1,\,\ldots,\,n\) гэж үзье. Тэгвэл \[\sum_{j=1}^n \gamma_j f_j(v_k) = \sum_{j=1}^n \gamma_j \delta_{jk} = \gamma_k = f(v_k), \quad 1 \leq k \leq n\] ба \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\) нь \(X\)-ийн суурь тул \(f = \sum_{j=1}^n \gamma_j f_j\) байна.
\(X\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст норм орон зай үед \(X'\)-ийн хэмжээсийг тооцоохоос гадна теорем 1-д өгөгдсөн тусгай суурийн оршин байдлыг тогтоох нь чухал тохиолдлууд байдаг. Ийм тохиолдлын нэг нь \(Y\) нь норм орон зай \(X\)-ийн хязгаарлагдмал хэмжээст дэд векторын орон зай байх үед тохиолддог. \(\{v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_n\}\) нь \(Y\)-ийн суурь ба \(\{f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_n\}\) нь \(f_j(v_k) = \delta_{jk}\)-г хангах \(Y'\)-ийн суурь гэж үзье. \(\{g_1,\,g_2,\,\ldots,\,g_n\} \in X'\)-ийн элементийг ашиглан дурын \(y \in Y\)-ийн хувьд \(g(y) = f(y)\)-г хангахыг олж чадвал энэ нь \(Y\)-ийн элементийг ялгах \(X'\)-ийн \(n\) ширхэг элементийг олсон хэрэг юм. Ийм функционал \(g_j\)-г олох нь функционал \(f_j\)-ийн тодорхойлогдох мужийг дэд орон зай \(Y\)-ээс бүхэл орон зай \(X\) руу өргөтгөхтэй адил юм. Ийм өргөтгөлийн үйл явц нь Хан-Банахын теоремын сэдэв бөгөөд үүнийг дараагийн нийтлэлд судлах болно.
Дараа нь ерөнхий Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хосмол орон зайг судлая. Дурын \(y \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \(f_y \in \mathcal{H}'\)-г \[f_y(x) = \langle x,\,y \rangle, \quad x \in \mathcal{H}\] гэж тодорхойлж болно. Энэ нь \(\mathcal{H}'\)-ийн элементүүдийн олонлогийг \(\mathcal{H}\) өөртөө харгалзуулна. Дараах теорем нь үнэндээ \(\mathcal{H}'\)-ийн бүх элемент ийм хэлбэртэй болохыг харуулна.
Теорем 2. (Риз-Фрешегийн теорем)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай ба \(f \in \mathcal{H}'\) байг. Тэгвэл "дурын \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \(f(x) = f_y(x) = \langle x,\,y\rangle\)"-г хангах цорын ганц \(y \in \mathcal{H}\) оршин байна. Мөн \(\lVert f \rVert = \lVert y \rVert\) байна.
Нотолгоо
Оршин байдал ба цор ганц байдлыг нотолно.
- (Оршин байдал) Бүх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \(f(x) = 0\) бол \(y = 0\) гэж үзээд нотолгоо дуусна.
Үгүй бол \(\operatorname{ker} f = \{x \in \mathcal{H} \,\vert\, f(x) = 0\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай жинхэнэ дэд орон зай тул \((\operatorname{ker} f)^{\perp} \neq \{0\}\) байна. Тиймээс \(f(z) = 1\)-г хангах \(z \in (\operatorname{ker} f)^{\perp}\) оршин байна. Ялангуяа \(z \neq 0\) тул \(y = \frac{z}{\lVert z \rVert^2}\)-г тодорхойлж болно.
Одоо \(x \in \mathcal{H}\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. \(f\) шугаман тул \[f(x - f(x)z) = f(x) - f(x)f(z) = 0\] байна. Тиймээс \(x - f(x)z \in \operatorname{ker} f\) байна. Гэхдээ \(z \in (\operatorname{ker} f)^{\perp}\) тул \[\langle x - f(x)z,\,z \rangle = 0\] байна. Тиймээс \(\langle x,\,z\rangle - f(x)\langle z,\,z \rangle = 0\) ба \(\langle x,\,z\rangle = f(x)\lVert z \rVert^2\) байна. Иймээс \[f(x) = \left\langle x,\,\frac{z}{\lVert z \rVert^2}\right\rangle = \langle x,\,y \rangle\] байна. Одоо \(\lVert x \rVert \leq 1\) бол Коши-Шварцын тэнцэтгэл бишээр \[|f(x)| = |\langle x,\,y \rangle | \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert \leq \lVert y \rVert\] байна. Тиймээс \(\lVert f \rVert \leq \lVert y \rVert\) байна. Харин \(x = \frac{y}{\lVert y \rVert}\) бол \(\lVert x \rVert = 1\) ба \[\lVert f \rVert \geq |f(x)| = \frac{|f(y)|}{\lVert y \rVert} = \frac{\langle y,\,y \rangle}{\lVert y \rVert} = \lVert y \rVert\] байна. Иймээс \(\lVert f \rVert \geq \lVert y \rVert\) байна. - (Цор ганц байдал) \(y\) ба \(w\) нь дурын \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \[f(x) = \langle x,\,y\rangle = \langle x,\,w \rangle\] -г хангавал бүх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \(\langle x,\,y - w\rangle = 0\) байна. Тиймээс \(y - w = 0\) ба \(y = w\) байна.
Теорем 2 нь ерөнхий Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хосмол орон зай \(\mathcal{H}'\)-ийн элементийн хэлбэрийг өгч, ямар нэгэн утгаар \(\mathcal{H}\)-ийн шинж чанараас \(\mathcal{H}'\)-ийн шинж чанарыг тогтоох аргыг өгнө. Дараах үр дүн нь энэ аргыг илүү нарийн байдлаар тайлбарлаж \(\mathcal{H}'\) өөрөө Хилбертийн орон зай болохыг тайлбарлана.
Теорем 3. (Хилбертийн орон зайн хосмол орон зайн шинж чанар)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай ба \(T_{\mathcal{H}} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'\)-г \[T_{\mathcal{H}}y = f_y, \quad y \in \mathcal{H}\] гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(T_{\mathcal{H}}\) нь нэг нэгэнд харгалзах бөгөөд дурын \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F},\,y,\,z \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд дараах зүйл биелнэ.
- \(T_{\mathcal{H}}(\alpha y + \beta z) = \alpha T_{\mathcal{H}}y + \beta T_{\mathcal{H}}z .\)
- \(\lVert T_{\mathcal{H}}y \rVert = \lVert y \rVert .\)
Мөн \(\mathcal{H}'\) дэх дотоод үржвэр \(\langle \cdot,\,\cdot \rangle_{\mathcal{H}'}\)-г дараах байдлаар тодорхойлж болно. \[\langle T_{\mathcal{H}}z,\,T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} = \langle y,\,z \rangle_{\mathcal{H}}, \quad y,\,z \in \mathcal{H} . \tag{1}\] Энд дотоод үржвэр тодорхойлогдсон орон зайг ялгахын тулд доод индексийг ашигласан. Энэ дотоод үржвэрийн хувьд \(\mathcal{H}'\) нь Хилбертийн орон зай байна.
Нотолгоо
\(T_{\mathcal{H}}\) нь нэг нэгэнд харгалзах гэдэг ба (b) нь теорем 2-оос шууд гарна. Дараа нь бүх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} f_{\alpha y + \beta z}(x) &= \langle x,\,\alpha y + \beta z \rangle \\[6pt] &= \alpha \langle x,\,y \rangle + \beta \langle x,\,z\rangle \\[6pt] &= \alpha f_y(x) + \beta f_z(x) \end{aligned}\] тул (a) биелнэ.
Одоо (1) нь дотоод үржвэрийг тодорхойлохыг баталгаажуулья. Эхлээд \[\langle f_y,\,f_y \rangle_{\mathcal{H}'} = \langle y,\,y \rangle_{\mathcal{H}} \geq 0\] ба \(y = 0\) үед буюу \(f_y = 0\) үед л тэнцэтгэл тэмдэг биелнэ. Мөн \[\begin{aligned} \langle f_z,\,f_y \rangle _{\mathcal{H}'} = \langle y,\,z \rangle _{\mathcal{H}} = \overline{\langle z,\,y \rangle }_{\mathcal{H}} = \overline{\langle f_y,\,f_z \rangle }_{\mathcal{H}'} \end{aligned}\] ба \[\begin{aligned} \langle \alpha f_y + \beta f_z,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} &= \langle w,\,\alpha y + \beta z \rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \alpha \langle w,\,y \rangle_{\mathcal{H}} + \beta \langle w,\,z \rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \alpha \langle f_y,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} + \beta \langle f_z,\,f_w \rangle_{\mathcal{H}'} \end{aligned}\] байна.
Мөн хосмол орон зай болох \(\mathcal{H}'\)-ийн норм нь (1)-д тодорхойлогдсон дотоод үржвэрээс гарах нормтой ижил болохыг харуулах ёстой. \[\lVert f_y \rVert^2 = \lVert y \rVert^2 = \langle y,\,y \rangle_{\mathcal{H}} = \langle f_y,\,f_y\rangle_{\mathcal{H}'}\] тул теорем 2-оос үр дүнг олно.
Эцэст нь \(X\) нь норм векторын орон зай үед \(X '\) бүрэн тул \(\mathcal{H}'\) нь бүрэн байна.
Хэрэв \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) бол теорем 3-ийн (a)-аар \(T_{\mathcal{H}}\) нь шугаман биш байна. Ийм харгалзуулалтыг эсрэг шугаман гэж нэрлэнэ.
Одоо Банахын орон зай \(\ell^p ,\) \(1 \leq p < \infty\)-ийн хосмол орон зайг судлая. Үүний тулд дараах лемм хэрэгтэй.
Лемм 4. (\(\ell ^p\) орон зайн шинж чанар)
Бүхэл тоо \(k \geq 1\)-ийн хувьд \(S_k \subset \ell^{\infty}\)-г \[x = (x_1,\,\ldots,\,x_k,\,0,\,0,\,\ldots)\] хэлбэрийн дарааллын олонлог гэж үзээд \[S = \bigcup_{k \geq 1} S_k\] гэж үзье. \(1 \leq p < \infty\) үед олонлог \(S\) нь \(\ell^p\) дэх нягт боловч \(\ell^{\infty}\) дэх нягт биш байна.
Дараах теоремд \(\ell^p\)-ийн нормыг \(\lVert \cdot \rVert_p\) гэж тэмдэглэж \(f \in (\ell^p)'\)-ийн нормыг зүгээр л \(\lVert f \rVert\) гэж тэмдэглэх болно.
Теорем 5. (\(\ell ^p\) орон зайн хосмол орон зай)
\(1 \leq p < \infty\) байг. \(p > 1\) бол \(q = p/(p-1)\) гэж үзээд \(p = 1\) бол \(q = \infty\) гэж үзье.
- \(a = \{a_n\} \in \ell^q\) бол дурын \(x = \{x_n\} \in \ell^p\)-ийн хувьд \(\{a_n x_n\} \in \ell^1\) байна. Мөн \[f_a(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n, \quad x \in \ell^p\] гэж тодорхойлогдсон функц \(f_a\) нь \(\lVert f_a \rVert = \lVert a \rVert_q\) ба \(f_a \in (\ell^p)'\)-г хангах шугаман функционал байна.
- \(f \in (\ell^p)'\) бол \(f = f_a\)-г хангах цорын ганц \(a \in \ell^q\) оршин байна.
- \(T_p : \ell^q \rightarrow (\ell^p)'\)-г \(T_p(a) = f_a,\,a \in \ell^q\) гэж тодорхойлвол \(T_p\) нь шугаман бөгөөд зайтай изоморфизм байна.
Нотолгоо
\(p = 1\) байх тохиолдол ба \(p > 1\) байх тохиолдлыг тусад нь авч үзье. Эхлээд \(p > 1\) байх тохиолдлыг судлая.
- \(f_a\)-ийн шугаман байдал нь тодорхой. Мөн эхний үр дүн ба тэнцэтгэл биш \(\lVert f_a \rVert \leq \lVert a \rVert_q\) нь Хөлдерийн тэнцэтгэл бишээр биелнэ. Тэнцэтгэл биш \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f_a \rVert\)-г (b)-д нотолно.
- \(f \in (\ell^p)'\) дурын байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. Дараалал
\[a_n = f(\tilde{e}_n), \quad n \geq 1\]
-г тодорхойлъё. Дурын бүхэл тоо \(k \geq 1\)-ийн хувьд \(\gamma \in S_k\)-г \(a_n \gamma_n = |a_n|^q\)-г хангах \(\gamma_n \in \mathbb{F}\)-г сонгож тодорхойлъё. (\(a_n = 0\) бол \(\gamma_n = 0\) гэж тогтооно.) Тэгвэл \(q\)-ийн тодорхойлолтоор \(|\gamma_n|^p = |a_n|^q\) ба тиймээс
\[\left|f\left(\sum_{n=1}^{k} \gamma_n e_n\right)\right| = \left|\sum_{n=1}^{k} \gamma_n a_n\right| = \sum_{n=1}^{k} |a_n|^q \leq \lVert f \rVert \lVert \gamma \rVert_p = \lVert f \rVert \left(\sum_{n=1}^{k} |a_n|^q\right)^{1/p}\]
байна. Гэхдээ \(1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q}\) тул
\[\left(\sum_{n=1}^{k} |a_n|^q\right)^{1/q} \leq \lVert f \rVert\]
байна. \(k\) дурын тул энэ нь \(a = \{a_n\} \in \ell^q\) гэдгийг харуулна. Өөрөөр хэлбэл \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f \rVert\) ба тиймээс (a)-аар дараалал \(a\)-д харгалзах функционал \(f_a\) оршин байна. Цаашлаад дурын \(k \geq 1\) ба \(x \in S_k\)-ийн хувьд
\[f(x) = f\left(\sum_{n=1}^{k} x_n e_n\right) = \sum_{n=1}^{k} x_n a_n = f_a(x)\]
байна. Тиймээс \(S\) дээр \(f = f_a\) ба \(S\) нь \(\ell^p\) дэх нягт тул \(\ell^p\) дэх \(f = f_a\) байна. Энэ нь дурын \(f \in (\ell^p)'\)-ийн хувьд тохирох \(a \in \ell^q\) оршин байгааг харуулна. Мөн \(\ell^q\) дэх \(a = b\) байх нь \(S\) дээр \(f_a = f_b\) байхтай тэнцүү нь тодорхой ба \(S\) нь \(\ell^p\) дэх нягт тул \(\ell^p\) дээр \(f_a = f_b\) байхтай ч тэнцүү. Ингэснээр цор ганц байдал нотлогдлоо.
Хэрэв функционал \(f_b\)-ийн хэлбэрээс эхэлж ямар нэгэн \(b \in \ell^q\)-ийн хувьд дээрх дараалал \(a\)-г бүтээх үйл явцыг хэрэглэвэл үр дүнд зүгээр л \(a = b\)-г олно. Тиймээс дээрх үр дүнгээс (a)-д нотлох ёстой тэнцэтгэл биш \(\lVert a \rVert_q \leq \lVert f_a \rVert\)-г олно.
Одоо \(p = 1\) байх тохиолдлыг авч үзье. Хэлэлцүүлэг нь дээрхтэй ижил. (a) нь тодорхой ба (b) нь тэнцэтгэл биш \[|a_n| = |f(e_n)| \leq \lVert f \rVert \lVert e_n \rVert_{\infty} = \lVert f \rVert, \quad n \geq 1\] -ээр ологдоно. Өөрөөр хэлбэл \(a = \{a_n\} \in \ell^{\infty}\) ба \(\lVert a \rVert_{\infty} \leq \lVert f \rVert\) байна.
Эцэст нь (a) ба (b)-г нэгтгэвэл (c)-г олно.
Теорем 5 нь \(1 \leq p < \infty\) ба \(q\) нь теорем 5-тэй ижил үед хосмол орон зай \((\ell^p)'\) нь \(\ell^q\)-тэй ижил болохыг харуулна. Цаашлаад \(1 < p < \infty\) бол \[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\tag{2}\] ба \(p\) ба \(q\)-ийн тэгш хэм ба теорем 5-аар \((\ell^q)'\)-ийн хосмол орон зай нь \(\ell^p\)-тэй ижил байна. \(p = 1,\,q = \infty\) үед \(1/\infty = 0\) гэж тайлбарлавал (2) ч биелнэ. Тиймээс \(p = \infty,\) \(q = 1\) байх тохиолдлыг ч ижил аргаар авч үзэх нь зүйтэй мэт харагдана. Энэ тохиолдолд теорем 5-ийн нотолгоо нь харгалзах функц \[T_{\infty} : \ell^1 \rightarrow (\ell^{\infty})'\] сайн тодорхойлогдож зайтай болохыг харуулдаг ч энэ функц дээд функц болохыг харуулахгүй. Учир нь лемм 4-ээр \(S\) нь \(\ell^{\infty}\) дэх нягт биш юм. Үнэндээ \(\ell^1\) нь \((\ell^{\infty})'\)-тэй изоморф биш байна.
Нөгөө талаас теорем 5-тэй ижил үр дүн орон зай \(L^p(\mathbb{R}),\) \(p \geq 1\)-ийн хувьд ч биелдэг. Мөн бидний авч үзсэн бусад стандарт норм орон зайн хосмол орон зайг олох ч боломжтой. Гэхдээ ихэнх тохиолдолд энэ нь хэмжээний теорийн талаарх илүү их мэдлэг шаарддаг тул энд дэлгэрэнгүйг авч үзэхгүй.