\[ \newcommand{\complexI}{\mathbf{i}} \newcommand{\imaginaryI}{\mathbf{i}} \newcommand{\cis}{\operatorname{cis}} \newcommand{\vecu}{\mathbf{u}} \newcommand{\vecv}{\mathbf{v}} \newcommand{\vecw}{\mathbf{w}} \newcommand{\vecx}{\mathbf{x}} \newcommand{\vecy}{\mathbf{y}} \newcommand{\vecz}{\mathbf{z}} \]
ROSÉ

Хэрмит оператор

by Narin Yargui
234 views

Гильберт орон зайд тодорхойлсон операторын орон зайд тодорхой бүтэц өгснөөр операторын урвуу байдлын тодорхойлолттой холбоотой хэрэгтэй үр дүнг олж болно. Энэ нь яг "хэрмит оператор" юм. Энэ нийтлэлд хэрмит операторын үзэл баримтлалыг авч үзээд хэрмит операторыг олох хэдэн жишээг харна. Дараа нь хэрмит операторын шинж чанарыг авч үзээд ийм шинж чанар нь операторын урвуу байдалтай хэрхэн холбоотой болохыг харна. Дараа нь хэрмит операторын үзэл баримтлалыг үндэслэн хэвийн оператор, өөрийн хэрмит оператор, унитар операторыг тодорхойлж эдгээрийн шинж чанарыг харна.

Эхлээд хэрмит операторыг тодорхойлж түүний оршин байх ба өвөрмөц байдлыг харуулъя. Норм орон зайтай адилхан хоёр ба түүнээс олон дотоод үржвэрийн орон зай байгаа тохиолдолд зарчмын хувьд дотоод үржвэрийг ялгах тэмдэглэгээ ашиглах ёстой. Гэвч андуурах эрсдэл байхгүй бол дотоод үржвэрийг илэрхийлэхдээ зүгээр л \(\langle \cdot,\, \cdot \rangle\) гэх мэт тэмдэг ашиглахаар тохиролцъё. Ерөнхийдөө вектор ямар орон зайд харъяалагдахаас хамааран ямар дотоод үржвэр ашиглахыг амархан ялгаж болдог учраас тэгэж болно.

Теорем 1. (Хэрмит операторын оршин байх ба өвөрмөц байдал)

\(\mathcal{H}\) ба \(\mathcal{K}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\) гэж үзье. Энэ үед дараах нөхцөлийг хангах \(T^* \in B(\mathcal{K},\, \mathcal{H})\) оператор өвөрмөцөөр оршин байна.

"\(x \in \mathcal{H}\) ба \(y \in \mathcal{K}\) бүрийн хувьд \(\langle Tx,\, y \rangle = \langle x,\, T^*y \rangle\) болно."

Нотолгоо

\(y \in \mathcal{K}\)-г авч \(f : \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C}\) функцийг \(f(x) = \langle Tx,\, y \rangle\) гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(f\) нь шугаман хувиргалт бөгөөд Коши-Шварц тэнцэгдэхгүй байдал ба \(T\)-ийн тасралтгүй байдлаар дараахийг олно. \[|f(x)| = |\langle Tx,\, y \rangle| \leq \lVert Tx \rVert \lVert y \rVert \leq \lVert T \rVert \lVert x \rVert \lVert y \rVert.\] Тиймээс \(f\) нь тасралтгүй ба Рис-Фреше теоремоор \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(f(x) = \langle x,\, z \rangle\)-г хангах өвөрмөц \(z \in \mathcal{H}\) оршин байна. \(T^*(y) = z\) гэж тодорхойлвол \(T^*\) нь \(\mathcal{K}\)-с \(\mathcal{H}\) руу чиглэсэн функц бөгөөд \(x \in \mathcal{H}\) ба \(y \in \mathcal{K}\) бүрийн хувьд \(\langle T(x),\, y \rangle = \langle x,\, T^*(y) \rangle\)-г хангана.

\(T^*\) нь шугаман хувиргалт болохыг харуулахын тулд \(y_1,\, y_2 \in \mathcal{K}\), \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\), \(x \in \mathcal{H}\)-г дурын байдлаар авъё. Тэгвэл \(T^*\)-ийн тодорхойлолтоор дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} \langle x,\, T^*(\lambda y_1 + \mu y_2) \rangle &= \langle T(x),\, \lambda y_1 + \mu y_2 \rangle \\[6pt] &= \lambda \langle T(x),\, y_1 \rangle + \mu \langle T(x),\, y_2 \rangle \\[6pt] &= \lambda \langle x,\, T^*(y_1) \rangle + \mu \langle x,\, T^*(y_2) \rangle \\[6pt] &= \langle x,\, \lambda T^*(y_1) + \mu T^*(y_2) \rangle. \end{aligned}\] Тиймээс \[T^*(\lambda y_1 + \mu y_2) = \lambda T^*(y_1) + \mu T^*(y_2)\] болж \(T^*\) нь шугаман хувиргалт болно.

Дараа нь \(T^*\) нь тасралтгүй болохыг харуулъё. Коши-Шварц тэнцэгдэхгүй байдлаар дараах зүйл биелнэ. \[\begin{aligned} \lVert T^*(y) \rVert^2 &= \langle T^*(y),\, T^*(y) \rangle = \langle TT^*(y),\, y \rangle \\[6pt] &\leq \lVert TT^*(y) \rVert \lVert y \rVert \leq \lVert T \rVert \lVert T^*(y) \rVert \lVert y \rVert. \end{aligned}\] \(T^*(y) > 0\) бол дээрх тэнцэгдэхгүй байдлын хоёр талыг тус тус \(\lVert T^*(y) \rVert\)-ээр хуваавал \[\lVert T^*(y) \rVert \leq \lVert T \rVert \lVert y \rVert\] болно. Хэрэв \(T^*(y) = 0\) бол энэ тэнцэгдэхгүй байдал өөрөө тодорхой биелнэ.

Тиймээс \(y \in \mathcal{K}\) бүрийн хувьд \[\lVert T^*(y) \rVert \leq \lVert T \rVert \lVert y \rVert\] тул \(T^*\) нь тасралтгүй ба \(\lVert T^* \rVert \leq \lVert T \rVert\) болно.

Эцэст нь \(T^*\) нь өвөрмөц болохыг харуулъё. \(B_1\) ба \(B_2\) нь \(B(\mathcal{K},\, \mathcal{H})\)-д харъяалагдаж \(x \in \mathcal{H}\) ба \(y \in \mathcal{K}\) бүрийн хувьд \[\langle Tx,\, y \rangle = \langle x,\, B_1y \rangle = \langle x,\, B_2y \rangle\] гэж үзье. Тэгвэл \(y \in \mathcal{K}\) бүрийн хувьд \(B_1y = B_2y\) тул \(B_1 = B_2\) болно. Тиймээс \(T^*\) нь өвөрмөц юм.

Тодорхойлолт 2. (Хэрмит оператор)

\(\mathcal{H}\) ба \(\mathcal{K}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\) гэж үзье. Энэ үед Теорем 1-д бүтээсэн \(T^*\) операторыг \(T\)-ийн хэрмит оператор (adjoint operator) гэж нэрлэнэ.

Теорем 1-ийн өвөрмөц байдлын хэсэг нь хэрмит операторыг олоход маш хэрэгтэй байдаг. Теорем 1-ийн тэмдэглэгээнд \(x\) ба \(y\) бүрийн хувьд \(\langle Tx,\, y \rangle = \langle x,\, Sy \rangle\)-г хангах \(S\) операторыг олвол \(S = T^*\) болно. Бодитоор хэрмит операторыг олох ажил нь ихэвчлэн тэгшитгэлийг шийдэх ажилд хэлбэгддэг.

Бидний олох хэрмит операторын эхний жишээ нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай хооронд тодорхойлсон операторын хэрмит оператор юм. Ялангуяа операторын матрицын илэрхийллийг ашиглан хэрмит операторын матрицын илэрхийллийг олно. Шийдэлийн явцад \(A = [a_{i,j}] \in M_{mn}(\mathbb{F})\) матриц өгөгдсөн үед \([\overline{a_{j,i}}]\) тэмдэг нь \(A\)-ийн транспоз матриц \(A^T\)-ийн бүх элементэд хосолмол комплекс тоо авч олсон матрицыг илэрхийлнэ.

Жишээ 3.

\(\mathbf{u} = \{\hat{e}_1, \hat{e}_2\}\) нь \(\mathbb{C}^2\)-ийн стандарт суурь бөгөөд \(T \in B(\mathbb{C}^2)\) гэж үзье. Хэрэв \(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{u}}(T) = [a_{i,j}]\) бол \(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{u}}(T^*) = [\overline{a_{j,i}}]\) болно.

Шийдэл

\(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{u}}(T^*) = [b_{i,j}]\) гэж үзье. Тэгвэл хэрмит операторыг тодорхойлох тэгшитгэлийг ашиглан \(\mathbb{C}^2\)-ийн бүх вектор \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) ба \(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\)-ийн хувьд дараах зүйл биелнэ. \[\Big\langle\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\Big\rangle = \Big\langle\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\Big\rangle.\] Тиймээс дараах тэгшитгэлийг олно. \[\Big\langle\begin{pmatrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\Big\rangle = \Big\langle\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_{1,1}y_1 + b_{1,2}y_2 \\ b_{2,1}y_1 + b_{2,2}y_2 \end{pmatrix}\Big\rangle.\] Энэ илэрхийллийг задлавал \[a_{1,1}x_1\overline{y_1} + a_{1,2}x_2\overline{y_1} + a_{2,1}x_1\overline{y_2} + a_{2,2}x_2\overline{y_2} = x_1\overline{b_{1,1}y_1 + b_{1,2}y_2} + x_2\overline{b_{2,1}y_1 + b_{2,2}y_2}\] ба \[a_{1,1}x_1\overline{y_1} + a_{1,2}x_2\overline{y_1} + a_{2,1}x_1\overline{y_2} + a_{2,2}x_2\overline{y_2} = x_1\overline{b_{1,1}}\overline{y_1} + x_1\overline{b_{1,2}}\overline{y_2} + x_2\overline{b_{2,1}}\overline{y_1} + x_2\overline{b_{2,2}}\overline{y_2}\] болно. Энэ тэгшитгэл нь \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) ба \(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) бүрийн хувьд биелдэг тул дараахийг мэдэж болно. \[a_{1,1} = \overline{b_{1,1}},\, a_{1,2} = \overline{b_{2,1}},\, a_{2,1} = \overline{b_{1,2}},\, a_{2,2} = \overline{b_{2,2}}.\] Тиймээс \([b_{i,j}] = [\overline{a_{j,i}}]\) болно.

Илүү ерөнхийдөө \(\mathbf{u}\) нь \(\mathbb{C}^n\)-ийн стандарт суурь, \(\mathbf{v}\) нь \(\mathbb{C}^m\)-ийн стандарт суурь, \(T \in B(\mathbb{C}^n,\, \mathbb{C}^m)\) ба \(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T) = [a_{i,j}]\) бол дээрх жишээний шийдэлтэй адил аргаар \[M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{u}}(T^*) = [\overline{a_{j,i}}]\] болохыг харуулж болно. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг оруулах нь зохистой.

Тодорхойлолт 4. (Хэрмит матриц)

\(A = [a_{i,j}] \in M_{mn}(\mathbb{F})\) үед \([\overline{a_{j,i}}]\) матрицыг \(A\)-ийн хэрмит матриц гэж нэрлэж \(A^*\)-аар тэмдэглэнэ.

Дараах хоёр жишээ нь хязгааргүй хэмжээст орон зай хооронд тодорхойлсон операторын хэрмит операторыг олох аргыг харуулна.

Жишээ 5.

\(k \in C[0,\, 1]\) бүрийн хувьд \(T_k \in B(L^2[0,\, 1])\)-г дараах байдлаар тодорхойлъё. \[(T_kg)(t) = k(t)g(t) \tag{1}\] Хэрэв \(f \in C[0,\, 1]\) бол \((T_f)^* = T_{\overline{f}}\) болно.

Шийдэл

\(g,\, h \in L^2[0,\, 1]\) ба \(k = (T_f)^*h\) гэж үзье. Тэгвэл хэрмит операторын тодорхойлолтоор \(\langle T_fg,\, h \rangle = \langle g,\, k \rangle\) ба \[\int_0^1 f(t)g(t)\overline{h(t)} dt = \int_0^1 g(t)\overline{k(t)} dt\] болно. Энэ тэгшитгэл нь \(k(t) = \overline{h(t)}f(t)\), өөрөөр хэлбэл \(k(t) = \overline{f(t)}h(t)\) үед биелнэ. Тиймээс хэрмит операторын өвөрмөц байдлаар \((T_f)^*h = k = \overline{f}h\)-аас \((T_f)^* = T_{\overline{f}}\)-г олно.

Жишээ 6.

Нэг талын шилжүүлэх оператор \(S \in B(\ell^2)\)-ийн хэрмит оператор нь дараах \(S^*\) юм. \[S^*(y_1,\, y_2,\, y_3,\, \ldots) = (y_2,\, y_3,\, y_4,\, \ldots)\]

Шийдэл

\(x = \{x_n\}\) ба \(y = \{y_n\}\) нь \(\ell^2\)-д харъяалагдах элемент, \(z = \{z_n\} = S^*(y)\) гэж үзье. Тэгвэл хэрмит операторын тодорхойлолтоор \(\langle Sx,\, y \rangle = \langle x,\, S^*y \rangle\) болно. Тиймээс \[\langle(0,\, x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots),\, (y_1,\, y_2,\, y_3,\, \ldots)\rangle = \langle(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots),\, (z_1,\, z_2,\, z_3,\, \ldots)\rangle\] ба \[x_1\overline{y_2} + x_2\overline{y_3} + x_3\overline{y_4} + \ldots = x_1\overline{z_1} + x_2\overline{z_2} + x_3\overline{z_3} + \ldots\] болно. Хэрэв \(z_1 = y_2,\, z_2 = y_3,\, \ldots\) бол энэ тэгшитгэл нь \(x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots\) бүрийн хувьд биелдэг тул хэрмит операторын өвөрмөц байдлаар \[S^*(y_1,\, y_2,\, y_3,\, \ldots) = (z_1,\, z_2,\, z_3,\, \ldots) = (y_2,\, y_3,\, y_4,\, \ldots)\] болно.

Жишээ 6-д олсон нэг талын шилжүүлэх операторын хэрмит оператор нь дараалалын гишүүдийг анхны дарааллыг хадгалж шилжүүлэх өөр төрлийн оператор юм. \(S\) нь дараалалын гишүүдийг "урагш" шилжүүлдэг тул урагшлах шилжүүлэх гэж нэрлэвэл \(S^*\) нь дараалалын гишүүдийг "ухрах" шилжүүлдэг тул ухраах шилжүүлэх гэж нэрлэж болно.

Операторын хэрмит оператор нь оператор өөрөө байж болно.

Жишээ 7.

\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай гэж үзье. Хэрэв \(I\) нь \(\mathcal{H}\) дээрх нэгж оператор бол \(I^* = I\) болно.

Шийдэл

\(x,\, y \in H\) бол \[\langle Ix,\, y \rangle = \langle x,\, y \rangle = \langle x,\, Iy \rangle\] болно. Тиймээс хэрмит операторын өвөрмөц байдлаар \(I^* = I\) болно.

Дээрх жишээнд хэрмит операторыг тооцоолох аргыг харсан тул одоо шугаман хослол ба операторын үржвэрийн хэрмит операторыг олох аргыг харъя. Матрицын тохиолдлоос эхэлье. Хэрэв \(A\) ба \(B\) нь матриц, \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\) бол транспоз матрицын томъёо \((AB)^T = B^T A^T\)-аас \[(AB)^* = B^*A^*\] ба \[(\lambda A + \mu B)^* = \overline{\lambda}A^* + \overline{\mu}B^*\] болохыг олно. Энэ үр дүнг дараах байдлаар операторт ч адил ашиглаж болно.

Туслах теорем 8.

\(\mathcal{H},\, \mathcal{K},\, \mathcal{L}\) нь комплекс Гильберт орон зай, \(R,\, S \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\), \(T \in B(\mathcal{K},\, \mathcal{L})\) гэж үзье. Мөн \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\) гэж үзье. Тэгвэл дараах зүйлс биелнэ.

  1. \((\mu R + \lambda S)^* = \overline{\mu}R^* + \overline{\lambda}S^*.\)
  2. \((TR)^* = R^*T^*.\)

Цаашид харах үр дүүдийн ихэнх нь шугаман оператор ба матриц хоёуланд хамаарч биелдэг бөгөөд хоёр тохиолдлын хооронд бага зэрэг ялгаа л байдаг. Тиймээс одооноос шугаман операторын тохиолдлын талаар л авч үзэхээр болъё. Матрицын тухай үр дүн нь операторын тухай үр дүнг бага зэрэг өөрчлөн олж болно.

Теорем 9.

\(\mathcal{H}\) ба \(\mathcal{K}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\) гэж үзье. Тэгвэл дараах зүйлс биелнэ.

  1. \((T^*)^* = T.\)
  2. \(\lVert T^* \rVert = \lVert T \rVert.\)
  3. \(f : B(\mathcal{H},\, \mathcal{K}) \rightarrow B(\mathcal{K},\, \mathcal{H})\) функцийг \(f(R) = R^*\) гэж тодорхойлвол \(f\) нь тасралтгүй болно.
  4. \(\lVert T^*T \rVert = \lVert T \rVert^2.\)

Нотолгоо

  1. Хэрмит операторын хэрмит оператор нь анхны оператор болохыг харуулах ёстой. \[\begin{aligned} \langle y,\, (T^*)^*x \rangle &= \langle T^*y,\, x\rangle \\[6pt] &= \langle x,\, T^*y \rangle \\[6pt] &= \langle Tx,\, y \rangle \\[6pt] &= \langle y,\, Tx\rangle. \end{aligned}\] Тиймээс \(x \in H\) бүрийн хувьд \((T^*)^*x = Tx\) тул \((T^*)^* = T\) болно.
  2. Теорем 1-ээр \(\lVert T^* \rVert \leq \lVert T \rVert\) болно. Энэ үр дүнг \((T^*)^*\)-д хэрэглээд (a)-г ашиглавал \[\lVert T \rVert = \lVert (T^*)^* \rVert \leq \lVert T^* \rVert \leq \lVert T \rVert\] тул \(\lVert T^* \rVert = \lVert T \rVert\) болно.
  3. \(\varepsilon > 0\) ба \(\delta = \varepsilon\) гэж үзье. Тэгвэл \(\lVert R - S \rVert < \delta\) үед \[\lVert f(R) - f(S) \rVert = \lVert R^* - S^* \rVert = \lVert (R - S)^* \rVert = \lVert (R - S) \rVert < \varepsilon\] тул (b)-аар \(f\) нь тасралтгүй болно.
  4. \(\lVert T \rVert = \lVert T^* \rVert\) тул \[\lVert T^*T \rVert \leq \lVert T^* \rVert \lVert T \rVert = \lVert T \rVert^2\] болно. Нөгөө талаас \[\begin{aligned} \lVert Tx \rVert^2 &= \langle Tx,\, Tx \rangle \\[6pt] &= \langle T^*Tx,\, x \rangle \\[6pt] &\leq \lVert T^*Tx \rVert \lVert x \rVert \\[6pt] &\leq \lVert T^*T \rVert \lVert x \rVert^2 \end{aligned}\] болно. Тиймээс \(\lVert T \rVert^2 \leq \lVert T^*T \rVert\) ба үүгээр хүссэн дүгнэлтийг олно.

Дараах туслах теорем нь урвуу байдлыг тодорхойлох аргатай холбоотой чухал үр дүн юм.

Туслах теорем 10.

\(\mathcal{H}\) ба \(\mathcal{K}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H},\, \mathcal{K})\) гэж үзье. Тэгвэл дараах зүйлс биелнэ.

  1. \(\operatorname{Ker} T = (\operatorname{Im} T^*)^\perp.\)
  2. \(\operatorname{Ker} T^* = (\operatorname{Im} T)^\perp.\)
  3. \(\operatorname{Ker} T^* = \{0\}\) байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь \(\operatorname{Im} T\) нь \(\mathcal{K}\)-д нягт байх явдал юм.

Нотолгоо

  1. Эхлээд \(\operatorname{Ker} T \subseteq (\operatorname{Im} T^*)^\perp\) болохыг харуулъё. Үүний тулд \(x \in \operatorname{Ker} T\) ба \(z \in \operatorname{Im} T^*\) гэж үзье. \(z \in \operatorname{Im} T^*\) тул \(T^*y = z\) болох \(y \in \mathcal{K}\) оршин байна. Тиймээс \[\langle x,\, z \rangle = \langle x,\, T^*y \rangle = \langle Tx,\, y \rangle = 0\] болно. Тиймээс \(x \in (\operatorname{Im} T^*)^\perp\) ба \(\operatorname{Ker} T \subseteq (\operatorname{Im} T^*)^\perp\) болно.
    Дараа нь \((\operatorname{Im} T^*)^\perp \subseteq \operatorname{Ker} T\) болохыг харуулъё. \(v \in (\operatorname{Im} T^*)^\perp\) гэж үзье. \(T^*Tv \in \operatorname{Im} T^*\) тул \[\langle Tv,\, Tv \rangle = \langle v,\, T^*Tv \rangle = 0\] болно. Тиймээс \(Tv = 0\) ба \(v \in \operatorname{Ker} T\) болно.
    Тиймээс \(\operatorname{Ker} T = (\operatorname{Im} T^*)^\perp\) болно.
  2. (a) ба Теорем 9-г ашиглавал дараахийг олно. \[\operatorname{Ker} T^* = (\operatorname{Im} ((T^*)^*))^\perp = (\operatorname{Im} T)^\perp.\]
  3. \(\operatorname{Ker} T^* = \{0\}\) бол \[((\operatorname{Im} T)^\perp)^\perp = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp = \{0\}^\perp = \mathcal{K}\] болно. Тиймээс \(\operatorname{Im} T\) нь \(\mathcal{K}\)-д нягт болно.
    Эсрэгээр \(\operatorname{Im} T\) нь \(\mathcal{K}\)-д нягт бол \((\operatorname{Im} T)^\perp)^\perp = \mathcal{K}\) болно. Тиймээс \[\operatorname{Ker} T^* = (\operatorname{Im} T)^\perp = ((\operatorname{Im} T)^\perp)^\perp)^\perp = \mathcal{K}^\perp = \{0\}\] болно.

Туслах теорем 10-аас дараах үр дүнг олно.

Дагавар теорем 11.

\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) гэж үзье. Дараах хоёр нөхцөл хоорондоо дүйцэх юм.

  1. \(T\) нь урвуу байдалтай юм.
  2. \(\operatorname{Ker} T^* = \{0\}\) ба \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(\lVert T(x) \rVert \geq \alpha \lVert x \rVert\)-г хангах \(\alpha > 0\) оршин байна.

Ерөнхийдөө \(T\) операторын хэрмит операторыг олж \(\operatorname{Ker} T^*\)-г олох нь \(\operatorname{Im} T\) нь нягт болохыг харуулахаас амархан байдаг. Дагавар теорем 11-г оператор урвуу байдалгүй болохыг харуулахад ч ашиглаж болно. Дараах жишээгээр түүний жишээг танилцуулна.

Жишээ 12.

Нэг талын шилжүүлэх оператор \(S \in B(\ell^2)\) нь урвуу байдалгүй юм.

Шийдэл

Жишээ 6-д \(S^*(y_1,\, y_2,\, y_3,\, \ldots) = (y_2,\, y_3,\, y_4,\, \ldots)\) болохыг харуулсан. Тиймээс \((1,\, 0,\, 0,\, 0,\, \ldots) \in \operatorname{Ker} S^*\) тул Дагавар теорем 11-ээр \(S\) нь урвуу байдалгүй юм.

Операторын урвуу байдал ба түүний хэрмит операторын урвуу байдлын хооронд ч холбоо байдаг.

Туслах теорем 13.

\(\mathcal{H}\) нь комплекс Гильберт орон зай бөгөөд \(T \in B(\mathcal{H})\) нь урвуу байдалтай бол \(T^*\) ч урвуу байдалтай ба \((T^*)^{-1} = (T^{-1})^*\) болно.

Нотолгоо

\(TT^{-1} = T^{-1}T = I\) тул энэ тэгшитгэлийн хоёр талд хэрмит оператор авбал Туслах теорем 8 ба Жишээ 7-оор \[(TT^{-1})^* = (T^{-1}T)^* = I^*\] болно. Тиймээс \[(T^{-1})^*T^* = T^*(T^{-1})^* = I\] болно. Тиймээс \(T^*\) нь урвуу байдалтай ба \((T^*)^{-1} = (T^{-1})^*\) болно.