Өмнөх бичвэрт хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай дахь перпендикуляр байдлын ойлголт болон перпендикулярын комплемент орон зайг үзсэн. Энэ бичвэрт хязгаартай хэмжээтэй орон зайд үзсэн нормчилсан перпендикуляр сууриийн ойлголтыг хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд өргөжүүлсэн ойлголтыг танилцуулна.
Тодорхойлолт 1. (Нормчилсан перпендикуляр дараалал)
\(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\} \subset X\) нь дараалал байг. Хэрэв \(\{e_n\}\) дараах хоёр нөхцлийг хоёуланг хангавал \(\{e_n\}\)-ийг нормчилсан перпендикуляр дараалал (orthonormal sequence) гэж нэрлэнэ.
- Ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\|e_n\| = 1\) болно.
- \(m\ne n\) байх ямар ч \(m,\,n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\langle e_m,\,e_n \rangle = 0\) болно.
Дараах жишээг хялбархан шалгаж болно.
Жишээ 2. (\(\ell^2\) дэх нормчилсан перпендикуляр дараалал)
Дараалал \(\{\tilde{e} _n\}\) дараах байдлаар тодорхойлогдсон байг. \[\begin{aligned} \tilde{e} _1 &= (1,\, 0,\, 0 ,\, \ldots ), \\[6pt] \tilde{e} _2 &= (0,\, 1,\, 0 ,\, \ldots ), \\[6pt] \tilde{e} _3 &= (0,\, 0,\, 1 ,\, \ldots ), \\[6pt] & \vdots \end{aligned}\] Энэ дараалал нь \(\ell^2\) дэх нормчилсан перпендикуляр дараалал юм. (Энэ дарааллын элемент бүр өөрөө \(\mathbb{F}\) дэх дараалал болохыг анхаарах хэрэгтэй.)
Дараах нь арай төвөгтэй боловч маш чухал нормчилсан перпендикуляр дарааллын жишээ юм.
Жишээ 3. (Экспонент функцээс бүрдсэн нормчилсан перпендикуляр дараалал)
Дараах байдлаар тодорхойлогдсон функцийн олонлог \(\{e_n\}\)-ийг бодоё. \[e_n(x) = (2\pi)^{-1/2}e^{\imaginaryI nx}, \quad n \in \mathbb{Z} .\] Энэ олонлог нь орон зай \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\) дэх нормчилсан перпендикуляр дараалал юм. Энэ баримтыг дараах томъёогоос шууд олж болно. \[ \langle e_m,\,e_n \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\imaginaryI(m-n)x} dx = \begin{cases} 1 & \text{if } m = n, \\[6pt] 0 & \text{if } m \neq n. \end{cases} \]
Жишээ 3-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалалтай холбоотой гурвалжны функцийн дарааллуудыг Фурьегийн цувааг үзэхэд дахин уулзах болно. Нарийн ярвал жишээ 3-д "дараалал" гэсэн нэр томъёог ашиглахын тулд функцийн дарааллын индекс нь \(n \in \mathbb{Z}\) биш харин \(n \in \mathbb{N}\) байх ёстой. \(\mathbb{Z}\) болон \(\mathbb{N}\) хоёулаа тоологдох тул энэ нь боломжтой.
Нормчилсан перпендикуляр дараалал нь шугаман бие даасан олонлог юм. Тиймээс хэрэв орон зай \(X\) нормчилсан перпендикуляр дарааллыг агуулбал тэр орон зай хязгааргүй хэмжээтэй байх ёстой. Эсрэгээр ч биелдэг.
Теорем 4. (Нормчилсан перпендикуляр дарааллын орших байдал)
Ямар ч хязгааргүй хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай \(X\) нормчилсан перпендикуляр дарааллыг агуулна.
Батламж
Хязгааргүй хэмжээтэй хаалттай бөмбөрцгийн компакт биш байдлыг батлахад хэрэглэсэн аргыг ашиглахад \(X\)-д нэгж векторуудаас бүрдсэн шугаман бие даасан дараалал \(\{x_n\}\)-ийг олж болно. Грам-Шмидтийн алгоритмыг энэ дараалал \(\{x_n\}\)-д индуктив байдлаар хэрэглэхэд \(\mathcal{H}\) дэх нормчилсан перпендикуляр дараалал \(\{e_n\}\)-ийг бүтээж болно.
Хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-д нормчилсан перпендикуляр суурь \(\left\{ e_n \right\}\) байх үед \(x\in X\)-ийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно. \[x = \sum_{n=1}^{k} \langle x,\,e_n \rangle e_n .\] Ерөнхий хязгааргүй хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай \(X\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал \(\{e_n\}\) болон вектор \(x \in X\)-ийн хувьд дээрх томъёоны байгалийн ерөнхийлөл дараах байдлаар байх болно. \[x = \sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n . \tag{1}\] Гэхдээ хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд энэ томъёотой холбогдуулан хоёр "анхаарал хандуулах зүйл" байна.
- Баруун талын цуваа нийлэх үү?
- Цуваа нийлэх бол \(x\) рүү нийлэх үү?
Хэд хэдэн туслах леммээр дамжуулан энэ асуултын хариултыг олъё.
Туслах лемм 5. (Бесселийн тэнцэтгэл бус байдал)
\(X\) нь дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(X\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал байг. Ямар ч \(x \in X\)-ийн хувьд цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2\) нийлж \[\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2\] биелнэ.
Батламж
\(k \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \[y_k = \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n\] гэж тавъя. Тэгвэл дараах нь биелнэ. \[\begin{aligned} \|x - y_k\|^2 &= \langle x - y_k,\,x - y_k \rangle \\ &= \|x\|^2 - \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle\overline{\langle x,\,e_n \rangle} - \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle\langle e_n,\,x \rangle + \|y_k\|^2 \\ &= \|x\|^2 - \sum_{n=1}^k |\langle x,\,e_n \rangle|^2 . \end{aligned}\] Тиймээс дараах тэнцэтгэл бус байдлыг олно. \[\sum_{n=1}^k |\langle x,\,e_n \rangle|^2 = \|x\|^2 - \|x - y_k\|^2 \leq \|x\|^2 .\] Зүүн талын хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалал нэмэгдэж байгаа бөгөөд дээшээ хязгаартай тул монотон нийлэлийн теоремээс \(k\to \infty\) үед нийлэнэ.
Дараах үр дүн ерөнхий цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\)-ийн нийлэлийг хангах коэффициент \(\{\alpha_n\}\)-ийн нөхцлийг өгнө.
Теорем 6. (Нормчилсан перпендикуляр дарааллаас бүрдсэн цувааны нийлэл)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал байг. Мөн \(\{\alpha_n\}\)-ийг \(\mathbb{F}\)-ийн дараалал байг. Энэ үед цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\) нийлэх шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 < \infty\) байх явдал юм. Мөн энэ нөхцөл биелбэл дараах тэгшитгэл биелнэ. \[\left\|\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n e_n\right\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2.\]
Батламж
(⇒) Цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\) нийлж \(x = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\) гэж үзье. Тэгвэл ямар ч \(m \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(k \ge m\) үед \[\langle x,\,e_m \rangle = \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n,\,e_m \right\rangle = \alpha_m\] болно. Тиймээс Бесселийн тэнцэтгэл бус байдлаас дараах үр дүнг олно. \[\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2 < \infty.\] (⇐) \(\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 < \infty\) гэж үзээд \(k \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(x_k = \sum_{n=1}^k \alpha_n \,e_n\) гэж тавъя. \(k > j\) байх ямар ч \(j,\,k \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\|x_k - x_j\|^2 = \left\|\sum_{n=j+1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 = \sum_{n=j+1}^k |\alpha_n|^2\] болно. \(\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2 < \infty\) тул энэ цувааны хэсэгчилсэн нийлбэр нийлж Кошийн дарааллыг үүсгэнэ. Тиймээс дараалал \(\{x_k\}\) нь \(\mathcal{H}\) дэх Кошийн дараалал болохоор нийлэнэ.
Эцэст нь \[\left\|\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n e_n\right\|^2 = \lim_{k \to \infty} \left\|\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\right\|^2 = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k |\alpha_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_n|^2\] болохоор хүссэн үр дүнг олно.
Дээрх теоремын үр дүнг дараах байдлаар дахин илэрхийлж болно.
Цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \,e_n\) нийлэх шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\{\alpha_n\} \in \ell^2\) байх явдал юм.
Одоо "анхаарал хандуулах зүйл"-ийн (a)-д хариулт олж болно.
Дагалдах теорем 7. (Фурьегийн коэффициент цувааны нийлэл)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал байг. Ямар ч \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n\) нийлэнэ.
Батламж
Бесселийн тэнцэтгэл бус байдлаас \[\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 < \infty\] болохоор теорем 6-аас цуваа \(\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n\) нийлэнэ.
Одоо "анхаарал хандуулах зүйл"-ийн (b) буюу (1) томъёоны цуваа \(x\) рүү нийлэх тохиолдлыг үзье. Дарааллд нэмэлт нөхцөл байхгүй бол цуваа нийлэхгүй байж болно.
Жишээ 8. (Өгөгдсөн цэгт нийлдэггүй нормчилсан перпендикуляр дараалал)
\(\mathbb{R}^3\) дэх нормчилсан перпендикуляр олонлог \(\{\hat{e}_1,\,\hat{e}_2\}\)-ийг бодож \(x = (3,\,0,\,4)\) гэж үзье. Тэгвэл \[\langle x,\,\hat{e}_1 \rangle\hat{e}_1 + \langle x,\,\hat{e}_2 \rangle\hat{e}_2 \neq x\] болно.
Дээрх жишээнд асуудал нь нормчилсан перпендикуляр олонлог \(\{\hat{e}_1,\,\hat{e}_2\}\) нь орон зай \(\mathbb{R}^3\)-ийг үүсгэхэд хангалттай вектортой биш гэдэгт оршино. Өөрөөр хэлбэл энэ олонлог суурь биш юм. Хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд сууриийн ойлголтыг тодорхойлоогүй байгаа ч дээрх жишээгээр дамжуулан хязгааргүй олон векторт нормчилсан перпендикуляр дарааллаас ч ижил төстэй асуудал гарч болохыг таамаглаж болно.
Жишээ 9. (Өгөгдсөн цэгт нийлдэггүй хязгааргүй нормчилсан перпендикуляр дараалал)
\(\{e_n\}\) нь Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал бөгөөд \(S\) нь дэд дараалал \(S = \{e_{2n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) байг. (Өөрөөр хэлбэл \(S\) нь дараалал \(\{e_n\}\)-ийн тэгш дугаартай гишүүдээс бүрдсэн дараалал.) Тэгвэл \(S\) нь хязгааргүй олон элементтэй \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал болно. Гэхдээ ямар ч \(\alpha_{2n}\)-ийн хувьд \[e_1 \neq \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{2n}e_{2n}\] болно.
Шийдвэр
\(S\) нь нормчилсан перпендикуляр дарааллын дэд олонлог тул мөн нормчилсан перпендикуляр дараалал болно. Одоо вектор \(e_1\)-ийг \[e_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{2n}e_{2n}\] гэж илэрхийлж болно гэж үзье. (Иймэрхүү \(\alpha_{2n}\) байдаг гэж үзье.) Тэгвэл ямар ч \(m\in\mathbb{N}\)-ийн хувьд \[0 = \langle e_1,\,e_{2m} \rangle = \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \alpha_{2n}e_{2n},\,e_{2m}\right\rangle = \alpha_{2m}\] болно. Тиймээс \[e_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{2n} \,e_{2n} = 0\] болох нь дараалал \(\{e_n\}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр шинж чанартай зөрчилдөнө.
Одоо бүх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд (1) биелэх нөхцлийг үзье.
Теорем 10. (Нормчилсан перпендикуляр сууриийн зэрэг нөхцөл)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал байг. Энэ үед дараах нөхцлүүд бүгд зэрэг байна.
- \(\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}^{\perp} = \{0\}.\)
- \(\overline{\operatorname{span}}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \mathcal{H} .\)
- Ямар ч \(x\in\mathcal{H}\)-ийн хувьд \(\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2\) болно.
- Ямар ч \(x\in\mathcal{H}\)-ийн хувьд \(x = \sum_{n=1}^{\infty}\langle x,\,e_n \rangle e_n\) болно.
Батламж
- [(a)⇒(d)] \(x \in \mathcal{H}\) гэж үзээд \[y = x - \sum_{n=1}^{\infty}\langle x,\,e_n \rangle e_n\] гэж тавъя. \(m \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \[\begin{aligned} \langle y,\,e_m \rangle &= \langle x,\,e_m \rangle - \lim_{k \to \infty} \left\langle\sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n,\,e_m\right\rangle \\ &= \langle x,\,e_m \rangle - \langle x,\,e_m \rangle = 0 \end{aligned}\] болно. Тиймээс шинж чанар (a)-аас \(y = 0\) болохоор ямар ч \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \[x = \sum_{n=1}^{\infty}\langle x,\,e_n \rangle e_n\] болно. Өөрөөр хэлбэл шинж чанар (d) биелнэ.
- [(d)⇒(b)] Ямар ч \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд \[x = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n\] болно. Гэхдээ \[\sum_{n=1}^k \langle x,\,e_n \rangle e_n \in \operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\] тул \[x \in \overline{\operatorname{span}}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\] болно. Өөрөөр хэлбэл (b) биелнэ.
- [(d)⇒(c)] Теорем 6-аас шууд олж болно.
- [(b)⇒(a)] \(y \in \{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}^{\perp}\) гэж үзье. Тэгвэл ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\langle y,\,e_n \rangle = 0\) болохоор ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(e_n \in \{y\}^{\perp}\) болно. \(\{y\}^{\perp}\) нь хаалттай дэд векторын орон зай тул \(\mathcal{H} = \overline{\operatorname{span}}\{e_n\} \subset \{y\}^{\perp}\) болохыг илэрхийлнэ. Тиймээс \(y \in \{y\}^{\perp}\) болохоор \(\langle y,\,y \rangle = 0\) болно. Тиймээс \(y = 0\) болно.
- [(c)⇒(a)] Хэрэв ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\langle x,\,e_n \rangle = 0\) бол (c)-ээс \[\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2 = 0\] болохоор \(x = 0\) болно.
Олонлог \(\{e_n\}\)-ийн спан \(\operatorname{span}\{e_n\}\) нь олонлог \(\{e_n\}\)-ийн векторуудаас бүрдсэн бүх боломжит хязгаартай шугаман хослолоос бүрдэнэ. Гэхдээ бүх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн хувьд (1) биелэхийн тулд (1)-д хязгааргүй нийлбэрийг ч авч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь хаалттай спан \(\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}\)-ийг авч үзэхтэй тэнцэнэ. Хязгаартай хэмжээтэй орон зайд спан заавал хаалттай тул спан болон хаалттай спан давхцана. Тиймээс хязгаартай хэмжээтэй шугаман алгебрт хоёр ойлголтыг ялгах шаардлагагүй.
Тодорхойлолт 11. (Нормчилсан перпендикуляр суурь)
\(\mathcal{H}\) нь Хилбертийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал байг. \(\{e_n\}\) нь теорем 10-ийн нөхцлийн аль нэгийг хангавал \(\{e_n\}\)-ийг \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь (orthonormal basis) гэж нэрлэнэ.
Номын зарим хэсэгт нормчилсан перпендикуляр сууриыг бүрэн нормчилсан перпендикуляр дараалал гэж нэрлэх тохиолдол байдаг. Дараалал "бүрэн" байна гэдэг нь орон зайг үүсгэхэд хангалттай вектортой байна гэсэн утгатай. Гэхдээ бүх Кошийн дараалал нийлэх орон зайг тайлбарлахад хэрэглэсэн "бүрэн" ойлголттой андуурахгүйн тулд энд "бүрэн" гэдэг нэр томъёог хэрэглэхгүй.
Теорем 10-ийн (c)-ийг заримдаа Парсевалын теорем (Parseval's theorem) гэж нэрлэдэг. Парсевалын теорем нь Бесселийн тэнцэтгэл бус байдлын тэнцүү тэмдэг биелэх тохиолдол юм. Парсевалын теорем нормчилсан перпендикуляр сууринд биелэх бол Бесселийн тэнцэтгэл бус байдал ерөнхий нормчилсан перпендикуляр дарааллын хувьд биелдэг. Үнэндээ нормчилсан перпендикуляр дараалал \(\{e_n\}\) нормчилсан перпендикуляр суурь биш бол Бесселийн тэнцэтгэл бус байдалд тэнцүү тэмдэггүй тэнцэтгэл бус байдал биелэх вектор \(x \in \mathcal{H}\) байх ёстой.
Өгөгдсөн дараалал нормчилсан перпендикуляр эсэхийг тодорхойлох нь харьцангуй амархан боловч ерөнхийдөө өгөгдсөн нормчилсан перпендикуляр дараалал үнэхээр суурь эсэхийг тодорхойлох нь хамаагүй хэцүү. Жишээ 2 болон жишээ 3-д хязгааргүй хэмжээтэй орон зайн хоёр нормчилсан перпендикуляр дарааллыг үзсэн. Үнэндээ хоёулаа нормчилсан перпендикуляр суурь юм. Жишээ 2-ийн тохиолдолд үүнийг баталгаажуулах амархан боловч жишээ 3 илүү төвөгтэй бөгөөд Фурьегийн цувааны хэлэлцүүлэг шаардлагатай. Энэ агуулгыг дараагийн бичвэрт үзэх болно.
Жишээ 12. (\(\ell^2\)-ийн стандарт нормчилсан перпендикуляр суурь)
Жишээ 2-д үзсэн \(\ell^2\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал \(\{e_n\}\) нь нормчилсан перпендикуляр суурь юм. Энэ сууриыг \(\ell^2\)-ийн стандарт нормчилсан перпендикуляр суурь гэж нэрлэнэ.
Шийдвэр
\(x = \{x_n\} \in \ell^2\) гэж үзье. Тэгвэл \[\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,\,e_n \rangle|^2\] болно. Тиймээс теорем 10-аас \(\{e_n\}\) нь нормчилсан перпендикуляр суурь болно.
Дараалал \(\{e_n\}\) нь орон зай \(\ell^2\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь боловч энэ нь \(p \neq 2\) байх тохиолдолд орон зай \(\ell^p\)-ийн суурь болно гэсэн үг биш юм. Үнэндээ нормчилсан перпендикуляр сууриас бусад тохиолдолд хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд сууриийн ойлголтыг тодорхойлоогүй.
Теорем 4 нь бүх хязгааргүй хэмжээтэй Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\) нормчилсан перпендикуляр дарааллыг агуулдаг болохыг харуулсан. Гэхдээ энэ дараалал суурь гэж тодорхойлж болохгүй. Одоо дараах асуудал гарч ирнэ. "Бүх Хилбертийн орон зай нормчилсан перпендикуляр сууритай байдаг уу?" Хариулт нь "үгүй" юм. Дарааллын тоологдох олонлогоор үүсгэхэд хэтэрхий "том хэмжээтэй" Хилбертийн орон зай байдаг. Цаашид Хилбертийн орон зай нормчилсан перпендикуляр сууритай болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь гарч болох байдалтай байх явдлыг харуулах болно. Ийм үүднээс харвал гарч болох байдлын тодорхойлолт дахь 'тоологдох' дэд олонлог гэдэг нөхцөл нь ийм орон зай тоологдох нормчилсан перпендикуляр сууриар үүсгэгдэж болохоор "хангалттай жижиг" байдгийг хангахын тулд юм.
Эхлээд векторын орон зайн хүрээнд гарч болох байдлын ойлголтын хэд хэдэн жишээг үзье. Оновчтой тооны олонлог тоологдох бөгөөд \(\mathbb{R}\)-д өтгөн тул орон зай \(\mathbb{R}\) гарч болдог. Адилхан байдлаар комплекс тооны олонлогийн дунд бодит хэсэг болон төсөөт хэсэг нь хоёулаа оновчтой тоо болох \(p + \imaginaryI q\) хэлбэрийн комплекс тооны олонлог тоологдох бөгөөд \(\mathbb{C}\)-д өтгөн тул \(\mathbb{C}\) гарч болдог. (Хялбаршуулахын тулд ийм хэлбэрийн тоог комплекс оновчтой тоо гэж нэрлье.) Тоологдох бөгөөд өтгөн дэд олонлогийг бүтээх маш ерөнхий арга нь орон зайн ерөнхий элементийг бодит эсвэл комплекс коэффициенттэй илэрхийллийн хослолоор илэрхийлээд дараа нь эдгээр коэффициентүүдийг оновчтой тоо эсвэл комплекс оновчтой тоогоор ойролцоох явдал юм. Мөн векторын орон зайн хүрээнд хязгааргүй нийлбэрийг дурын том уртын хязгаартай нийлбэрээр солино. Дараах теоремын батламж ийм санааг харуулна.
Теорем 13. (Гарч болох байдал ба нормчилсан перпендикуляр суурь)
- Хязгаартай хэмжээтэй нормтой векторын орон зай гарч болдог.
- Хязгааргүй хэмжээтэй Хилбертийн орон зай \(\mathcal{H}\) гарч болох шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\mathcal{H}\) нормчилсан перпендикуляр сууритай байх явдал юм.
Батламж
- \(X\) нь хязгаартай хэмжээтэй бодит нормтой векторын орон зай бөгөөд \(\{e_1,\,\ldots,\,e_k\}\) нь \(X\)-ийн суурь байг. Тэгвэл \(\alpha_n\) оновчтой тоо үед \(\sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) хэлбэрийн векторын олонлог тоологдох бөгөөд өтгөн байна. Тиймээс \(X\) гарч болдог. Комплекс нормтой векторын орон зайн тохиолдолд комплекс оновчтой коэффициент \(\alpha_n\)-ийг ашигладаг.
- \(\mathcal{H}\) нь хязгааргүй хэмжээтэй бөгөөд гарч болох орон зай гэж үзье. \(\{x_n\}\)-ийг \(\mathcal{H}\) дэх тоологдох бөгөөд өтгөн дараалал байг. Дараалал \(\{x_n\}\)-ийн бүх элементийн дунд өмнөх элементүүдийн шугаман хослол болох элементийг хасаж шинэ дараалал \(\{y_n\}\)-ийг бүтээнэ. Ийм бүтээлгийн үр дүнд олсон дараалал \(\{y_n\}\) шугаман бие даасан байна. Одоо дараалал \(\{y_n\}\)-д Грам-Шмидтийн алгоритмыг индуктив байдлаар хэрэглэн \(k \geq 1\) бүрийн хувьд
\[\operatorname{span}\{e_1,\,\ldots,\,e_k\} = \operatorname{span}\{y_1,\,\ldots,\,y_k\}\]
болох шинж чанартай \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр дараалал \(\{e_n\}\)-ийг бүтээж болно. Тиймээс
\[\operatorname{span}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \operatorname{span}\{y_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \operatorname{span}\{x_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\]
болно. Дараалал \(\{x_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-д өтгөн тул \(\overline{\operatorname{span}}\{e_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} = \mathcal{H}\) болж \(\{e_n\}\) нь \(\mathcal{H}\)-ийн нормчилсан перпендикуляр суурь болно.
Одоо \(\mathcal{H}\) нормчилсан перпендикуляр суурь \(\{e_n\}\)-тэй гэж үзье. \(k\in\mathbb{N},\) \(\alpha_n \in \mathbb{Q}\)-ийн хувьд \(x = \sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн олонлог мэдээжийн хэрэг тоологдох. Одоо энэ олонлог өтгөн болохыг харуулбал \(\mathcal{H}\) гарч болдог болохыг мэдэх болно. Үүний тулд ямар ч \(y \in \mathcal{H}\) болон \(\epsilon > 0\) өгөгдсөн гэж үзье. Тэгвэл \(y\)-г \(y = \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n e_n\) хэлбэрээр бичиж болох ба \(\sum_{n=1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \infty\) болно. Тиймээс \(\sum_{n=N+1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \epsilon^2/2\) хангах бүхэл тоо \(N\) байна. Одоо \(n = 1,\,\ldots,\,N\) бүрийн хувьд \(|\beta_n - \alpha_n|^2 < \epsilon^2/2N\) хангах оновчтой коэффициент (эсвэл комплекс оновчтой коэффициент) \(\alpha_n\)-ийг сонгож \(x = \sum_{n=1}^N \alpha_n e_n\) гэж үзье. Тэгвэл \[\|y - x\|^2 = \sum_{n=1}^N |\beta_n - \alpha_n|^2 + \sum_{n=N+1}^{\infty} |\beta_n|^2 < \epsilon^2\] болно. Тиймээс \(k\in\mathbb{N},\) \(\alpha_n \in \mathbb{Q}\)-ийн хувьд \(x = \sum_{n=1}^k \alpha_n e_n\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэх \(x \in \mathcal{H}\)-ийн олонлог өтгөн байна.
Хилбертийн орон зай \(\ell^2\) нормчилсан перпендикуляр сууритай тул дээрх теоремээс дараах үр дүнг олно.
Жишээ 14. (\(\ell^2\)-ийн гарч болох байдал)
Хилбертийн орон зай \(\ell^2\) гарч болдог.