Шугаман алгебрийн тойм

292

Энэ нийтлэлд математикийн янз бүрийн салбарыг судлахад шаардлагатай шугаман алгебрийн агуулгыг товч авч үзнэ.

Векторын орон зай

Векторын орон зайн утга

\(\mathbb{F}\) нь талбар (field) бөгөөд \(V\) нь хоосон бус олонлог гэж үзье. \(V\) нь \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай (vector space) гэх нь, векторын нийлбэр (vector addition) гэж нэрлэгддэг \(V \times V\)-аас \(V\) руу чиглэсэн функц ба скаляр үржвэр (scalar product) гэж нэрлэгддэг \(\mathbb{F} \times V\)-аас \(V\) руу чиглэсэн функц өгөгдсөн бөгөөд эдгээр хоёр функц дараах нөхцлийг бүгдийг хангаж байгааг хэлнэ.

1. Дурын \(x,\,y,\,z\in V\)-ийн хувьд \(x + y = y + x\), \(x + (y + z) = (x + y) + z\) байна.
2. \(V\)-д цорын ганц элемент \(0\) байж бүх \(x \in V\)-ийн хувьд \(x + 0 = x\) тэгшитгэл биелнэ. (Энд \(0\)-г тэг вектор гэж нэрлэнэ.)
3. Бүх \(x \in V\)-ийн хувьд цорын ганц элемент \(-x \in V\) байж \(x + (-x) = 0\)-г хангана.
4. Дурын \(x\in V\) ба \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\)-ийн хувьд \(1x = x\), \(\alpha(\beta x) = (\alpha\beta)x\) байна. (Энд \(1\) нь \(\mathbb{F}\)-д үржвэрийн хувьд нэгж элемент юм.)
5. Дурын \(x,\,y\in V\) ба \(\alpha,\,\beta\in \mathbb{F}\)-ийн хувьд \(\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y\), \((\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x\) байна.

\(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) тохиолдолд \(V\)-г бодит векторын орон зай (real vector space) гэж нэрлэж, \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) тохиолдолд \(V\)-г комплекс векторын орон зай (complex vector space) гэж нэрлэнэ. \(\mathbb{F}\)-ийн элементийг скаляр (scalar) гэж нэрлэж, \(V\)-ийн элементийг вектор (vector) гэж нэрлэнэ.

Векторын орон зайг шугаман орон зай (linear space) гэж нэрлэх бас болно.

Тусгай дурдалгүйгээр "\(V\) нь векторын орон зай юм" гэж хэлэхэд \(V\) нь тохирох талбар \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлогдсон гэж үзнэ. Энд \(\mathbb{F}\)-г \(\mathbb{R}\) эсвэл \(\mathbb{C}\) гэж үзэх нь зүйтэй.

Номын дагуу векторыг \(\mathbf{u},\) \(\mathbf{v},\) \(\mathbf{w},\) \(\cdots\) гэх мэтийн фонтоор илэрхийлэх тохиолдол бас байдаг. Гэхдээ бид векторыг \(x,\) \(y,\) \(z,\) \(\cdots\) гэх мэт энгийн италик үсгээр илэрхийлнэ.

Дэд орон зай

\(V\) нь векторын орон зай бөгөөд \(U\) нь \(V\)-ийн дэд олонлог гэж үзье. \(U\) нь \(V\)-ийн дэд векторын орон зай (linear subspace) гэх нь \(U\) нь өөрөө векторын орон зай байгааг хэлнэ. Харин векторын нийлбэр ба скаляр үржвэр нь \(V\)-д өгөгдсөнтэй ижил гэж үзнэ. (Векторын нийлбэрийн тодорхойлох мужийг \(U\times U\) хүртэл хязгаарлаж, скаляр үржвэрийн тодорхойлох мужийг \(\mathbb{F}\times U\) хүртэл хязгаарласан.) Дэд векторын орон зайг шугаман дэд орон зай гэж нэрлэх бас болно, эсвэл энгийнээр дэд орон зай (subspace) гэж нэрлэнэ.

\(U\subseteq V\) бөгөөд \(U\ne\varnothing\) үед \(U\) нь \(V\)-ийн дэд орон зай байхад шаардлагатай хангалттай нөхцөл дараах байдлаар өгөгдөнө.

"Бүх \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\) ба бүх \(x,\,y \in U\)-ийн хувьд \(\alpha x + \beta y \in U\) байна."

Үүнийг дэд орон зайн шалгах арга гэж нэрлэнэ.

Векторын шугаман хослол ба векторын орон зайн хэмжээс

\(V\)-г векторын орон зай гэж үзье, \(\mathbf{v} = \{v_1, \ldots, v_k\} \subset V\)-г хоосон бус хязгаарлагдмал олонлог гэж үзье. Мөн \(A \subset V\)-г хоосон бус дурын олонлог гэж үзье.

1. \(\mathbf{v}\)-ийн элементүүдийн шугаман хослол (linear combination) нь дараах хэлбэрийн вектор юм. \[\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_k v_k \in V.\] Энд \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k\) нь дурын скалярын олонлог юм. Шугаман хослолыг шугаман нэгдэл гэж нэрлэх бас болно.
2. \(\mathbf{v}\) нь шугаман бие даасан (linearly independent) гэх нь дараах тэгшитгэл биелэх явдал юм. \[\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_k v_k = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_1 = \ldots = \alpha_k = 0.\] Мэдээжийн хэрэг \(\alpha_j \in \mathbb{F},\) \(v_j \in V\) байна.
3. Олонлог \(A\) нь шугаман бие даасан гэх нь \(A\)-ийн бүх хязгаарлагдмал дэд олонлог шугаман бие даасан байх явдал юм. (Харин хоосон олонлогийг шугаман бие даасан гэж тохиролцоно.) \(A\) нь шугаман бие даасан биш үед "\(A\) нь шугаман хамааралтай" гэж хэлнэ. Шугаман бие даасан болон шугаман хамааралтайг тус тус шугаман тусгаар, шугаман хамаарал гэж илэрхийлэх бас болно.
4. \(A\)-ийн бүх хязгаарлагдмал дэд олонлогийн бүх шугаман хослолын олонлогийг \(A\)-ийн үүсгэн байгуулах (span) эсвэл \(A\)-ээр үүсгэгдсэн олонлог (spanned set) гэж нэрлэж, \(\operatorname{Sp} A\) эсвэл \(\operatorname{Span} A\)-ээр тэмдэглэнэ. (Харин хоосон олонлогийн үүсгэн байгуулах олонлог нь \(\left\{ 0 \right\}\) гэж тохиролцоно.) \(\operatorname{Sp} A\) нь \(A\)-г агуулсан \(V\)-ийн бүх дэд орон зайн огтлолцлын адил байна. Өөрөөр хэлбэл \(\operatorname{Sp} A\) нь \(A\)-г агуулсан \(V\)-ийн дэд орон зайн хамгийн жижиг нь юм.
5. \(\mathbf{v}\) нь шугаман бие даасан бөгөөд \(\operatorname{Sp} \mathbf{v} = V\) үед \(\mathbf{v}\)-г \(V\)-ийн суурь (basis) гэж нэрлэнэ. (Харин тэг векторын орон зай \(\left\{ 0 \right\}\)-ийн суурийг хоосон олонлог гэж тодорхойлно.) Векторын орон зай \(V\) нь сууритай бол \(V\)-ийн бүх суурь ижил тооны элементтэй байна. Энэ тоо \(k\) бол "\(V\)-ийн хэмжээс (dimension)-ийг \(k\) гэж тодорхойлно. (Тэг орон зайн хэмжээс нь \(0\) юм.) Үүнийг тэмдэглээр \(\dim V = k\) гэж илэрхийлнэ. Хязгаарлагдмал олонлог суурьтай векторын орон зайг хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зай гэж нэрлэж, хязгаарлагдмал бус олонлог суурьтай векторын орон зайг хязгаарлагдмал бус хэмжээст векторын орон зай гэж нэрлэнэ.
6. \(\mathbf{v}\) нь \(V\)-ийн суурь үед дурын вектор \(x \in V\)-ийн хувьд цорын ганц скалярууд \(\alpha_j\), \(j = 1, \ldots, k\) байж, \(x\)-г \[x = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_k v_k\] хэлбэрээр шугаман хослолоор илэрхийлж болно. Эдгээр скалярыг суурь \(\mathbf{v}\)-ийн хувьд \(x\)-ийн бүрэлдэхүүн гэж нэрлэнэ. Вектор \(x\)-г суурь \(\mathbf{v}\)-г үндэслэн координатаар илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл \(k\times 1\) матриц \[[x]_\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{pmatrix} \] эсвэл \(k\)-эрэмбэ хос \[( \alpha_1 ,\, \alpha_2 ,\, \ldots ,\, \alpha_k )\] хэлбэрээр илэрхийлж болно.
7. Олонлог \(\mathbb{F}^k\) нь \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай бөгөөд вектор \[\begin{aligned} \hat{e}_1 &= (1,\,0,\,0,\,\ldots,\,0),\\[6pt] \hat{e}_2 &= (0,\,1,\,0,\,\ldots,\,0),\\[6pt] &\,\vdots\\[6pt] \hat{e}_k &= (0,\,0,\,0,\,\ldots,\,1) \end{aligned} \] хүүхдийн олонлог нь \(\mathbb{F}^k\)-ийн суурь юм. Энэ суурийг \(\mathbb{F}^k\)-ийн стандарт суурь (standard basis) гэж нэрлэнэ. Вектор \(x\)-г стандарт суурь \(\mathbf{b}\)-г үндэслэн координатаар илэрхийлэхдээ \([x]_\mathbf{b}\)-г энгийнээр \([x]\) гэж илэрхийлнэ.

Шууд үржвэр

\(V,\) \(W\)-г \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай гэж үзье. Энэ үед Декартын үржвэр \(V\times W\)-д векторын нийлбэр ба скаляр үржвэрийг зохих ёсоор тодорхойлж \(V\times W\) нь векторын орон зай болгож болно. Өөрөөр хэлбэл дурын \(\alpha \in \mathbb{F}\) ба дурын \((x_j, \, y_j) \in V \times W\), \(j = 1, \,2\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} (x_1,\,y_1) + (x_2,\,y_2) &= (x_1 + x_2,\,y_1 + y_2), \\[6pt] \alpha(x_1,\,y_1) &= (\alpha x_1,\,\alpha y_1) \end{aligned}\] гэж тодорхойлогдсон үйлдэл байхад векторын орон зай \(V\times W\)-г шууд үржвэр (direct product) гэж нэрлэнэ. Тэгшитгэл бүрийн баруун талын эрэмбэ хосын доторх үйлдэл нь \(V\) ба \(W\)-д өгөгдсөн векторын нийлбэр ба скаляр үржвэр үйлдэл юм.

Функцийн орон зай

\(S\)-г олонлог гэж үзье, \(V\)-г \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай гэж үзье. \(S\)-ээс \(V\) руу чиглэсэн функцүүдийн олонлогийг \(F(S,\,V)\)-ээр тэмдэглэнэ. Дурын \(\alpha \in \mathbb{F}\) ба дурын \(f,\,g \in F(S,\,V)\)-ийн хувьд \(F(S,\,V)\)-д функц \(f + g\) ба \(\alpha f\)-г дараах байдлаар тодорхойлно. \[\begin{aligned} \forall x \in V : \, (f + g)(x) &= f(x) + g(x),\\[6pt] \forall x \in V : \, (\alpha f)(x) &= \alpha f(x). \end{aligned}\] Ингэж тодорхойлогдсон векторын нийлбэр ба скаляр үржвэр өгөгдсөн олонлог \(F(S,\,V)\) нь \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай болно.

Хэрэв \(S\) нь бүхэл тооны олонлог \(\{1,\,\ldots,\,k\}\) бол олонлог \(F(S,\,\mathbb{F})\) нь орон зай \(\mathbb{F}^k\)-тай ижил гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл элемент \(x \in \mathbb{F}^k\) бүрийг \[f(j) = x_j ,\,\, 1\le j\le k\] гэж тодорхойлогдсон функц \(f \in F(S,\,\mathbb{F})\)-д харгалзуулснаар хоёр орон зай ижил бүтэцтэй болохыг харж болно.

Шугаман хувиргалт

Шугаман хувиргалтын ойлголт

\(V,\) \(W\)-г ижил талбар \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай гэж үзье. Функц \(T : V \to W\) нь шугаман хувиргалт (linear transformation) гэх нь дурын \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\) ба \(x,\,y \in V\)-ийн хувьд \[T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)\] тэгшитгэл биелэх явдал юм. Шугаман хувиргалтыг шугаман зураглал гэж нэрлэх бас болно.

\(V\)-ээс \(W\) руу чиглэсэн бүх шугаман хувиргалтын олонлогийг \(L(V,\,W)\)-ээр тэмдэглэнэ. Мэдэгдэх мужийн орон зай нь векторын орон зай байх функцийн олонлог нь векторын орон зай тул \(L(V,\,W)\) нь векторын орон зай юм. Мөн энэ орон зай нь \(F(V,\,W)\)-ийн дэд орон зай юм. \(V = W\) тохиолдолд \(L(V,\,V)\)-г \(L(V)\) гэж товчилно.

\(L(V)\)-д ялангуяа энгийн шугаман хувиргалт нь \[I_V (x) = x,\,\, x \in V\] гэж тодорхойлогдоно. Үүнийг \(V\) дээрх тодосгох хувиргалт гэж нэрлэнэ. Тодосгох хувиргалтын тодорхойлох муж тодорхой бөгөөд төөрөгдөх аюул байхгүй бол \(I_V\)-г энгийнээр \(I\) гэж тэмдэглэнэ.

Шугаман хувиргалтын нийлбэр

\(V,\) \(W,\) \(X\) нь векторын орон зай бөгөөд \(T \in L(V,\,W)\), \(S \in L(W,\,X)\) гэж үзье. Тэгвэл нийлбэр функц \(S\circ T\) нь шугаман хувиргалт юм. Өөрөөр хэлбэл \(S \circ T \in L(V,\,X)\) байна.

Шугаман хувиргалтын нийлбэр нь алгебрын хувьд ашигтай шинж чанартай байна. \(V\) нь векторын орон зай гэж үзье, \(R,\,S,\,T \in L(V)\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) гэж үзье. Тэгвэл дараах нь биелнэ.

1. \(R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T.\)
2. \(R \circ (S + T) = R \circ S + R \circ T.\)
3. \((S + T) \circ R = S \circ R + T \circ R.\)
4. \(I_V \circ T = T \circ I_V = T.\)
5. \((\alpha S) \circ T = \alpha (S \circ T) = S \circ (\alpha T).\)

Эдгээр шинж чанар нь нийлбэр үйлдэл тодорхойлогдох тохиолдолд өөр өөр орон зайн хооронд шугаман хувиргалтын хувьд бас биелнэ.

Шугаман хувиргалтын үндсэн шинж чанар

\(V,\) \(W\) нь векторын орон зай гэж үзье, \(T \in L(V,\,W)\) гэж үзье. Энэ үед дараах нь биелнэ.

1. \(T(0) = 0\).
2. \(U\) нь \(V\)-ийн дэд орон зай бол олонлог \(T(U)\) нь \(W\)-ийн дэд орон зай бөгөөд \(\dim T(U) \leq \dim U\) байна.
3. \(U\) нь \(W\)-ийн дэд орон зай бол олонлог \(\{x \in V \,\vert\, T(x) \in U\}\) нь \(V\)-ийн дэд орон зай юм.

Шугаман хувиргалттай холбоотой дэд орон зай

\(V,\) \(W\) нь векторын орон зай гэж үзье, \(T \in L(V,\,W)\) гэж үзье.

1. \(T\)-ийн дүр (image) нь дэд орон зай \(\operatorname{Im} T = T(V)\) юм. (\(T\)-ийн дүрийг \(T\)-ийн утгын муж (range) гэж нэрлэх бас болно.) \(T\)-ийн зэрэглэл (rank) нь тоо \(r(T) = \dim(\operatorname{Im} T)\) юм. (Зэрэглэлийг ранк эсвэл шатлал гэж нэрлэх бас болно. Мөн \(r(T)\)-г \(\operatorname{rank}(T)\) гэж тэмдэглэх бас болно.)
2. \(T\)-ийн цөм (kernel) нь дэд орон зай \(\operatorname{Ker} T = \{x \in V : T(x) = 0\}\) юм. (\(T\)-ийн цөмийг \(T\)-ийн тэг орон зай (null space) эсвэл кернэл гэж нэрлэх бас болно.) \(T\)-ийн тэгийн зэрэглэл (nullity) нь тоо \(n(T) = \dim(\operatorname{Ker} T)\) юм. (Тэгийн зэрэглэлийг доройтлын зэрэглэл эсвэл нуллити гэж нэрлэх бас болно. Мөн \(n(T)\)-г \(\operatorname{nullity}(T)\) гэж тэмдэглэх бас болно.)
3. Зэрэглэл ба тэгийн зэрэглэл \(\operatorname{rank}(T),\) \(\operatorname{nullity}(T)\) нь тус тус хязгаарлагдмал бус байж болно.
4. \(T\) нь хязгаарлагдмал зэрэглэлтэй гэх нь \(\operatorname{rank}(T)\) нь хязгаарлагдмал байх явдал юм.
5. \(T\) нь нэг ба нэгт шугаман хувиргалт (one-to-one linear transformation) гэх нь дурын \(y \in W\)-ийн хувьд тэгшитгэл \(T(x) = y\) нь дээд тал нь нэг шийдэл \(x\) гаргах явдал юм. Нэг ба нэгт шугаман хувиргалтыг бэлгээн (injective) шугаман хувиргалт гэж нэрлэх бас болно.
6. \(T\) нь \(W\) дээр шугаман хувиргалт (linear transformation onto \(W\)) гэх нь дурын \(y \in W\)-ийн хувьд тэгшитгэл \(T(x) = y\) нь наад зах нь нэг шийдэл \(x\) гаргах явдал юм. Мэдэгдэх мужийн дээр шугаман хувиргалтыг дээрээс (surjective) шугаман хувиргалт гэж нэрлэх бас болно.
7. \(T\) нь нэг ба нэгийн харгалзал (one-to-one correspondence) гэх нь дурын \(y \in W\)-ийн хувьд тэгшитгэл \(T(x) = y\) нь яг нэг шийдэл \(x\) гаргах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл \(T\) нь нэг ба нэгийн харгалзал гэх нь нэг ба нэгт бөгөөд дээр шугаман хувиргалт байх явдал юм. Нэг ба нэгийн харгалзлыг хоёр талт (bijective) гэж нэрлэх бас болно.

Шугаман хувиргалтын тэгийн зэрэглэл ба зэрэглэлтэй холбоотой шинж чанар

Шугаман хувиргалтын тэгийн зэрэглэл ба зэрэглэлтэй холбоотой дараах нь биелнэ. \(V,\) \(W\) нь векторын орон зай гэж үзье, \(T \in L(V,\,W)\) гэж үзье.

1. \(T\) нь нэг ба нэгт байхад шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь тэгшитгэл \(T(x) = 0\) нь зөвхөн тривиаль шийдэл \(x = 0\) гаргах явдал юм. Энэ нь \(\operatorname{Ker} T = \{0\}\) эсвэл \(\operatorname{nullity}(T) = 0\)-тай эквивалент юм.
2. \(T\) нь дээр шугаман хувиргалт байхад шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\operatorname{Im} T = W\) байх явдал юм. \(\dim W\) нь хязгаарлагдмал бол энэ нь \(\operatorname{rank}(T) = \dim W\)-тай эквивалент юм.
3. \(T \in L(V,\,W)\) нь нэг ба нэгийн харгалзал байхад шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь цорын ганц хувиргалт \(S \in L(W,\,V)\) байж энэ хувиргалт нь нэг ба нэгийн харгалзал бөгөөд \(S \circ T = I_V\), \(T \circ S = I_W\) байх явдал юм.
4. Хэрэв \(V\) нь \(k\) хэмжээст бол \[\operatorname{rank}(T) + \operatorname{nullity}(T) = k\] тэгшитгэл биелнэ. Үүнийг 'хэмжээсийн теорем' эсвэл 'Ранк-Нуллити теорем' гэж нэрлэнэ. Энэ теоремд \(\operatorname{rank}(T)\) нь \(W\)-ийн хэмжээс хязгаарлагдмал эсэхтэй үл хамааран заавал хязгаарлагдмал байна. Хэрэв \(W\) бас \(k\) хэмжээст бол \(T\) нь нэг ба нэгийн харгалзал байхад шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\operatorname{nullity}(T) = 0\) байх явдал юм.

Шугаман хувиргалтын матрицын илэрхийлэл

\(U\) ба \(V\) нь ижил талбар дээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зай бөгөөд тэдгээрийн хэмжээс нь эерэг бүхэл тоо \(n,\) \(m\) гэж үзье. Мөн \(U,\) \(V\)-д тус тус суурь \[\begin{aligned} \mathbf{u} &= \left\{ u_1 ,\, u_2 ,\, \ldots ,\, u_n \right\}, \\[6pt] \mathbf{v} &= \left\{ v_1 ,\, v_2 ,\, \ldots ,\, v_m \right\} \end{aligned}\] өгөгдсөн гэж үзье. Мөн \(T:U \rightarrow V\)-г шугаман хувиргалт гэж үзье. Энэ үед \(u_j ,\) \(j=1,\,2,\,\ldots ,\, n\) бүрийн хувьд \(T(u_j )\)-г суурь \(\mathbf{v}\)-г үндэслэн илэрхийлэхэд \(i\) дэх бүрэлдэхүүн \(a_{ij}\)-г бүрэлдэхүүн болгон агуулсан \(m\times n\) матрицыг \(\mathbf{u}\) ба \(\mathbf{v}\)-ийн хувьд \(T\)-ийн матрицын илэрхийлэл (matrix representation) гэж нэрлэж \(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}} (T )\) эсвэл \([ T ] _{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}} \) гэж тэмдэглэнэ. \(x\in U\) ба \(y\in V\)-ийн хувьд \(y=T(x)\) үед \[[y]_{\mathbf{v}} = [ T ] _{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}} \, [x]_{\mathbf{u}} \] өөрөөр хэлбэл \[[T(x)]_{\mathbf{v}} = [ T ] _{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}} \, [x]_{\mathbf{u}} \] тэгшитгэл биелнэ. Энд баруун тал нь матрицын үржвэр юм.

Шугаман хувиргалтын матрицын илэрхийлэл нь дараах шинж чанартай байна.

1. Харгалзуулга \(T \mapsto M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T)\) нь \(L(U,\,V)\)-ээс \(M_{mn}(\mathbb{F})\) руу чиглэсэн нэг ба нэгийн харгалзлын шугаман хувиргалт юм. Өөрөөр хэлбэл \(S,\,T \in L(U,\,V)\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) бол \[\begin{aligned} M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(\alpha T) &= \alpha M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T),\\[6pt] M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(S + T) &= M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(S) + M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T) \end{aligned}\] тэгшитгэл биелнэ.
2. \(W\) нь \(l\) хэмжээст векторын орон зай бөгөөд суурь \(\mathbf{w}\) бүхий гэж үзье. Мөн \(T \in L(U,\,V),\) \(S \in L(V,\,W)\) гэж үзье. Энэ үед \[M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{w}}(ST) = M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(S)M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T)\] тэгшитгэл биелнэ.

Хязгаарлагдмал хэмжээст векторын орон зайн хооронд тодорхойлогдсон шугаман хувиргалтыг матрицаар илэрхийлж болохын адил матриц үржих үйлдлээр дамжуулан шугаман хувиргалт тодорхойлж болно. Эдгээр хоёр хувиргалт нь харилцан бүрэн урвуу харгалзлын харилцаатай байна. Өөрөөр хэлбэл \(\mathbf{u}\)-г \(\mathbb{F}^n\)-ийн стандарт суурь гэж үзье, \(\mathbf{v}\)-г \(\mathbb{F}^m\)-ийн стандарт суурь гэж үзье. Мөн \(C \in M_{mn}(\mathbb{F})\) бөгөөд \(T \in L(\mathbb{F}^n,\,\mathbb{F}^m)\) гэж үзье. Тэгвэл дараах нь биелнэ.

1. \(M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T_C) = C .\)
2. \(T_B = T.\) (Энд \(B = M_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}(T)\) юм.)

Координатын хувиргалтын матриц

Векторын орон зай \(V\)-ийн хэмжээс нь эерэг бүхэл тоо \(k\) бөгөөд \(I\in L(V)\) нь тодосгох хувиргалт, \(\mathbf{u}\) ба \(\mathbf{v}\) нь тус тус \(V\)-ийн суурь гэж үзье. Тэгвэл дурын вектор \(x\in V\)-ийн хувьд \[ [x]_{\mathbf{v}} = [I]_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}} [x]_{\mathbf{u}} \] тэгшитгэл биелнэ. Өөрөөр хэлбэл тодосгох хувиргалтын матрицын илэрхийлэл \([I]_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}\) нь суурь \(\mathbf{u}\)-ийн хувьд вектор \(x\)-ийн координатыг суурь \(\mathbf{v}\)-ийн хувьд вектор \(x\)-ийн координат болгон хувиргах матриц болно. Энэ үед \([I]_{\mathbf{u}}^{\mathbf{v}}\)-г координатын хувиргалтын матриц (transition matrix) гэж нэрлэж \(P_{\mathbf{u} \rightarrow \mathbf{v}}\) гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр векторын орон зай \(U\) ба \(V\)-ийн хэмжээс нь тус тус эерэг бүхэл тоо \(n,\) \(m\) бөгөөд \(\mathbf{u}_1\) ба \(\mathbf{u}_2\) нь \(U\)-ийн суурь, \(\mathbf{v}_1\) ба \(\mathbf{v}_2\) нь \(V\)-ийн суурь гэж үзье. Мөн \(T\in L(U,\,V)\) гэж үзье. Энэ үед дараах нь биелнэ. \[ [T]_{\mathbf{u}_2}^{\mathbf{v}_2} = P_{\mathbf{v}_1 \rightarrow \mathbf{v}_2} \, [T]_{\mathbf{u}_1}^{\mathbf{v}_1} \, P_{\mathbf{u}_2 \rightarrow \mathbf{u}_1} . \]

Адилтгал матриц

\(A\) ба \(B\) нь \(k\times k\) дөрвөлжин матриц гэж үзье. Хэрэв \(k\times k\) урвуутай матриц \(P\) байж \[B = P^{-1} A P\] тэгшитгэлийг хангавал \(A\) ба \(B\)-г адилтгал матриц (similar matrix) гэж нэрлэнэ.

Векторын орон зай \(V\) нь \(k\) хэмжээст бөгөөд \(V\)-д суурь \(\mathbf{v}_1\) ба \(\mathbf{v}_2\) өгөгдсөн, \(T\in L(V)\) гэж үзье. Мөн \[\begin{aligned} A &= [T]_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_1} ,\\[6pt] B &= [T]_{\mathbf{v}_2}^{\mathbf{v}_2} ,\\[6pt] P &= P_{\mathbf{v}_2 \rightarrow \mathbf{v}_1 } \end{aligned}\] гэж үзье. Тэгвэл \[ [T]_{\mathbf{v}_2}^{\mathbf{v}_2} = ( P_{\mathbf{v}_2 \rightarrow \mathbf{v}_1} )^{-1} \, [T]_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_1} \, P_{\mathbf{v}_2 \rightarrow \mathbf{v}_1} \] өөрөөр хэлбэл \[B = P^{-1} A P\] тэгшитгэл биелнэ. Ийм өөрвөтөөр үзэхэд хоёр дөрвөлжин матриц \(A\) ба \(B\) нь адилтгал матриц гэх нь \(A\) ба \(B\) нь нэг шугаман хувиргалтын өөр өөр матрицын илэрхийлэл байх явдал юм.

Хувийн утга ба хувийн вектор

Хувийн утга ба хувийн вектор

\(V\)-г векторын орон зай гэж үзье, \(T \in L(V)\) гэж үзье. Скаляр \(\lambda \in \mathbb{F}\) нь \(T\)-ийн хувийн утга (eigenvalue) гэх нь тэгшитгэл \(T(x) = \lambda x\) нь тривиаль бус шийдэл (\(0\)-ээс өөр шийдэл) \(x \in V\) гаргах явдал юм. Энэ үед тийм нетривиаль шийдлийг \(\lambda\)-д харгалзах \(T\)-ийн хувийн вектор (eigenvector) гэж нэрлэнэ. Дэд орон зай \(\operatorname{Ker}(T - \lambda I) \subset V\)-г \(\lambda\)-д харгалзах хувийн орон зай (eigenspace) гэж нэрлэнэ. Энэ үед \(\lambda\)-ийн олширлын зэрэг (multiplicity)-ийг тоо \(m_\lambda = \operatorname{nullity}(T - \lambda I)\) гэж тодорхойлно.

Шинж чанарын олон гишүүнт

\(V\)-ийн хэмжээс нь эерэг бүхэл тоо бөгөөд \(\mathbf{b}\) нь \(V\)-ийн суурь, \(T\in L(V)\), \(A = [T]_{\mathbf{v}}\) гэж үзье. Энэ үед \[p_T (\lambda) = \det(tI-A)\] нь \(t\)-ийн хувьд \(k\) зэрэглэлийн олон гишүүнт болно. Энэ олон гишүүнтийг \(T\)-ийн шинж чанарын олон гишүүнт (characteristic polynomial) эсвэл \(A\)-ийн шинж чанарын олон гишүүнт гэж нэрлэнэ. Мөн тэгшитгэл \(p(t) = 0\)-г \(T\)-ийн шинж чанарын тэгшитгэл (characteristic equation) эсвэл \(A\)-ийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэнэ. \(V\)-ийн суурь \(\mathbf{b}\)-ийн дагуу \(T\)-ийн матрицын илэрхийлэл \(A\) нь өөр байж болох ч \(T\)-ийн шинж чанарын олон гишүүнт \(p_T (t)\) нь өөрчлөгдөхгүй.

Шугаман хувиргалт \(T\)-ийн шинж чанарын олон гишүүнт нь \(p_T (t)\) үед \(\lambda\) нь \(T\)-ийн хувийн утга болохын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\lambda\) нь шинж чанарын тэгшитгэл \(p_T (t)=0\)-ийн шийдэл байх явдал юм.

Шийдлийн муж нь \(\mathbb{R}\) эсвэл \(\mathbb{C}\) эсэхээс хамааран тэгшитгэлийн шийдэл өөр байж болно. Өөрөөр хэлбэл шинж чанарын тэгшитгэлийн шийдэл нь \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) тохиолдол ба \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) тохиолдолд өөр байж болно. Тиймээс талбарыг алийг нь сонгохоос хамааран \(T\)-ийн хувийн утга өөр байж болно.

\(\lambda\) нь \(T\)-ийн хувийн утга бөгөөд \(T\)-ийн шинж чанарын олон гишүүнт \(p_T (t)\) нь хүчин зүйл \((t-\lambda)^m\)-тай ч \((t-\lambda)^{m+1}\)-тай хүчин зүйлгүй үед \(m\)-г хувийн утга \(\lambda\)-ийн алгебрын олширлын зэрэг (algebraic multiplicity) гэж нэрлэнэ.

Олонлог \(E_\lambda = \left\{ x\in V \,\vert\, T(x) = \lambda x \right\}\) нь \(V\)-ийн дэд орон зай болдог бөгөөд энэ орон зай \(E_\lambda\)-г хувийн утга \(\lambda\)-д харгалзах хувийн орон зай (eigenspace) гэж нэрлэнэ. Энэ үед \(E_\lambda\)-ийн хэмжээсийг хувийн утга \(\lambda\)-ийн геометрын олширлын зэрэг (geometric multiplicity) эсвэл энгийнээр олширлын зэрэг гэж нэрлэнэ.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанар

\(V\)-г \(n\) хэмжээст векторын орон зай гэж үзье, \(T \in L(V)\) гэж үзье. \(\{\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k\}\)-г \(T\)-ийн өөр өөр хувийн утгуудын олонлог гэж үзье, \(j=1,\,2,\,\ldots,\,k\) бүрийн хувьд \(x_j\)-г \(\lambda_j\)-д харгалзах хувийн вектор гэж үзье. Тэгвэл олонлог \(\{x_1,\,\ldots,\,x_k\}\) нь шугаман бие даасан байна.

Хувийн утга \(\lambda_j\) бүрт харгалзах шугаман бие даасан \(m_j\) ширхэг хувийн вектор \[x_{j,1} ,\, x_{j,2} ,\, \ldots ,\, x_{j,m_j}\] байдаг. Энэ үед эдгээр вектор нь \(\lambda_j\)-ийн хувийн орон зай \(E_{\lambda_j}\)-ийн суурь болно. Хэрэв өөр өөр хувийн утга \(\lambda_j\)-ийн хувьд \[m_1 + m_2 + \ldots + m_k = n\] бол хувийн утга бүрт харгалзах хувийн векторыг бүгдийг нь цуглуулсан дараах векторууд нь \(V\)-ийн суурь болно. \[\begin{gathered} x_{1,1} ,\, x_{1,2} ,\, \ldots ,\, x_{1,m_1} ,\\[6pt] x_{2,1} ,\, x_{2,2} ,\, \ldots ,\, x_{2,m_2} ,\\[6pt] \vdots \\[6pt] x_{k,1} ,\, x_{k,2} ,\, \ldots ,\, x_{k,m_k} . \end{gathered}\] Өөрөөр хэлбэл \[V = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}\] тэгшитгэл биелнэ. Ийм суурийг \(T\)-ийн хувьд \(V\)-ийн хувийн суурь (eigenbasis) гэж нэрлэнэ.

Диагональчлал

\(V\) нь \(n\) хэмжээст векторын орон зай бөгөөд \(T\in L(V)\), \(T\)-ийн хувийн утга бүрийн алгебрын олширлын зэрэг ба геометрын олширлын зэрэг нь тэнцүү гэж үзье. Мөн \(T\)-ийн хувьд \(V\)-ийн хувийн суурь нь дараах байдлаар өгөгдсөн гэж үзье. \[\mathbf{b} = \left\{ x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}.\] Энэ үед суурь \(\mathbf{b}\)-ийн хувьд \(T\)-ийн матрицын илэрхийлэл \([ T ] _{\mathbf{b}}\) нь хувийн утгуудыг диагональ элемент болгон агуулсан \(n\times n\) диагональ матриц болно. Ингэж \([ T ] _{\mathbf{b}}\) нь диагональ матриц болгох \(V\)-ийн суурь \(\mathbf{b}\) байх үед "\(T\) нь диагональчлагдах боломжтой" (diagonalizable) гэж хэлнэ.

\(A\) нь \(n\times n\) матриц гэж үзье. Тэгвэл векторын орон зай \(\mathbb{F} ^n\)-ийн стандарт суурь \(\mathbf{e}\)-ийн хувьд \[T(x) = A \,[x]_{\mathbf{e}}\] гэж тодорхойлснаар \(T\) нь тодорхойлох муж ба мэдэгдэх муж нь \(\mathbb{F} ^n\) байх шугаман хувиргалт болно. Хэрэв \(T\) нь диагональчлагдах боломжтой бөгөөд \(\mathbf{b}\) нь \([T]_{\mathbf{b}}\) нь диагональ матриц болгох хувийн суурь бол \[ A = [T]_{\mathbf{e}} = (P_{\mathbf{e} \rightarrow \mathbf{b}})^{-1} \, [T]_{\mathbf{b}} \, P_{\mathbf{e} \rightarrow \mathbf{b}}\] тэгшитгэл биелнэ. Энд \(D = [T]_{\mathbf{b}} ,\) \(P = P_{\mathbf{e} \rightarrow \mathbf{b}}\) гэвэл \(D\) нь диагональ матриц бөгөөд \[A = P^{-1} D P\] тэгшитгэл биелнэ. Дээрх илэрхийллийн баруун талыг матриц \(A\)-ийн диагональчлал (diagonalization) гэж нэрлэнэ. Мөн матриц \(A = [T]_\mathbf{e}\) нь диагональчлагдах боломжтой гэх нь шугаман хувиргалт \(T\) нь диагональчлагдах боломжтой гэхтэй ижил утгаар тодорхойлно.

\(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) үед матриц \(A\) нь диагональчлагдах боломжтой бол "\(A\) нь бодитоор диагональчлагдах боломжтой" гэж хэлж, \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) үед матриц \(A\) нь диагональчлагдах боломжтой бол "\(A\) нь комплексээр диагональчлагдах боломжтой" гэж хэлнэ.

Дотоод үржвэр (inner product)-ийн ойлголтыг нэвтрүүлж векторын перпендикуляр шинж чанар (orthogonality)-ийг тодорхойлсны дараа шугаман хувиргалт ба матрицын перпендикуляр диагональчлалын боломжийг хэлэлцэж болно. Мөн диагональчлагдах боломжгүй матрицын тохиолдолд Жорданы стандарт хэлбэр (Jordan canonical form)-ийг ашиглан диагональчлалд ойрхон хэлбэрт хувиргаж болно. Мөн дөрвөлжин матриц биш матрицын тохиолдолд онцгой утгын задлал (singular value decomposition)-ыг оролдож болно.