Энэ нийтлэлд математикийн янз бүрийн салбарыг судлахад шаардлагатай зайн орон зайн сэдвийг товч авч үзнэ.
Зайн орон зайн ойлголт
Зайн орон зай нь дарааллын нэгдэх шинж чанар эсвэл функцийн тасралтгүй байдал гэх мэт шинжилгээний ойлголтуудыг авч үзэхэд зориулагдсан хийсвэр орон зай юм. Нэгдэх шинж чанар эсвэл тасралтгүй байдлыг хэлэлцэхэд шаардлагатай үндсэн багаж нь яг зайн ойлголт юм. Бодит тооны систем \(\mathbb{R}\) ба комплекс тооны систем \(\mathbb{C}\)-д хэрэглэгддэг абсолют утга, векторын орон зайн нормыг дараах шинж чанартай байна.
- Дурын \(x\)-ийн хувьд \(\lvert x \rvert \ge 0\) байна.
- Дурын \(x,\) \(y\)-ийн хувьд \(\lvert x-y \rvert = 0\) байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(x=y\) байх явдал юм.
- Дурын \(x,\) \(y\)-ийн хувьд \(\lvert x-y \rvert = \lvert y-x \rvert\) байна.
- Дурын \(x,\) \(y,\) \(z\)-ийн хувьд \(\lvert x-z \rvert \le \lvert x-y \rvert + \lvert y-z \rvert\) байна.
Дээрх байдлаар илэрхийлэх нь ямар орон зайг харгалзан үзэж байгаагаас хамааран \(x,\) \(y,\) \(z\) нь бодит тоо, комплекс тоо, эсвэл вектор байж болно. Ийм шинж чанарыг хийсвэрчлэн дараах байдлаар зайг тодорхойлно.
Тодорхойлолт 1. (Зай)
\(M\) нь олонлог гэж үзье. Хэрэв функц \(d:M\times M \rightarrow \mathbb{R}\) нь дараах дөрвөн нөхцлийг бүгдийг хангавал \(d\)-г \(M\) дээр тодорхойлогдсон зай гэж нэрлэнэ.
- Дурын \(x,\) \(y \in M\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) \geq 0\) байна.
- Дурын \(x,\) \(y \in M\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) = 0\) байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(x = y\) байх явдал юм.
- Дурын \(x,\) \(y \in M\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) = d(y,\,x)\) байна.
- Дурын \(x,\) \(y,\) \(z \in M\)-ийн хувьд \(d(x,\,z) \leq d(x,\,y) + d(y,\,z)\) байна. Энэ тэнцэтгэл бусыг гурвалжны тэнцэтгэл бус гэж нэрлэнэ.
Олонлог \(M\)-д зай \(d\) өгөгдсөн үед хос \((M ,\,d)\)-г зайн орон зай (metric space) гэж нэрлэнэ.
Олонлог \(M\)-ийн элемент хоёроос дээш байвал \(M\) дээр өөр өөр зай тодорхойлж болно. Хэрэв \(M\) дээр тодорхойлогдсон зай нь юу болох нь тодорхой тохиолдолд "зайн орон зай \((M,\,d)\)" гэхийн оронд энгийнээр "зайн орон зай \(M\)" гэж илэрхийлнэ.
Жишээ 2. (Евклидийн орон зай дээр тодорхойлогдсон зай)
Эерэг бүхэл тоо \(k \geq 1\)-ийн хувьд функц \(d : \mathbb{F}^k \times \mathbb{F}^k \to \mathbb{R}\)-г дараах байдлаар тодорхойлье. \[d(x,\,y) = \left( \sum_{j=1}^{k} |x_j - y_j|^2 \right)^{1/2} .\] Энэ функц нь олонлог \(\mathbb{F}^k\) дээр тодорхойлогдсон зай юм. Энэ зайг \(\mathbb{F}^k\)-ийн стандарт зай гэж нэрлэнэ. Өөрөөр заагаагүй тохиолдолд \(\mathbb{F}^k\)-г ийм стандарт зайтай зайн орон зай гэж үзнэ.
\(\mathbb{F}^k\) дээр тодорхойлж болох өөр зайн жишээ болгон функц \(d_1 : \mathbb{F}^k \times \mathbb{F}^k \to \mathbb{R}\)-г дараах байдлаар тодорхойлж болно. \[d_1(x,\,y) = \sum_{j=1}^{k} |x_j - y_j| .\]
\((M,\,d)\) нь зайн орон зай бөгөөд \(N\) нь \(M\)-ийн дэд олонлог үед \(M\) дээр тодорхойлогдсон зай \(d\)-г ашиглан \(N\) дээр тодорхойлогдсон зайг байгалийн жамаар гаргаж авч болно.
Тодорхойлолт 3. (Индукцлэгдсэн зай)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(N\)-г \(M\)-ийн дэд олонлог гэж үзье. \(d_N : N \times N \to \mathbb{R}\)-г
дурын \(x,\,y\in M\)-ийн хувьд \(d_N(x,\,y) = d(x,\,y)\)
гэж тодорхойлье. (Өөрөөр хэлбэл \(d_N\) нь \(d\)-ийн тодорхойлох мужийг \(N\times N\) хүртэл хязгаарласан функц юм.) Тэгвэл \(d_N\) нь \(N\) дээрх зай болно. Ийм зай \(d_N\)-г \(d\)-ээр \(N\) дээр индукцлэгдсэн зай гэж нэрлэнэ. Мөн ийм индукцлэгдсэн зай өгөгдсөн орон зай \(N\)-г \(M\)-ийн дэд орон зай гэж нэрлэнэ.
Зайн орон зайн дэд олонлогийг авч үзэхэд өөрөөр заагаагүй тохиолдолд индукцлэгдсөн зайтай зайн орон зай гэж үзнэ. Мөн ерөнхийдөө индукцлэгдсэн зайг илэрхийлэхэд анхны зайтай ижил тэмдэглэгээг хэрэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл дээрх тодорхойлолтын тэмдэглэгээнд индукцлэгдсэн зайг \(d_N\) гэхийн оронд зүгээр л \(d\) гэж бичнэ.
Дарааллын хязгаар
Албан ёсны хувьд олонлог \(X\)-д дараалал нь функц \(s : \mathbb{N} \to X\) гэж тодорхойлогдоно. Энд тодорхойлох муж \(\mathbb{N}\) нь \(\mathbb{N}\)-тэй эрэмбэ изоморф өөр олонлогоор солигдож болно. \(X\)-д дарааллыг \(X\)-ийн элементүүдээс бүрдсэн эрэмбэлэгдсэн жагсаалт \((x_1,\,x_2,\,\ldots)\) хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энд \(n \in \mathbb{N}\) бүрийн хувьд \(x_n = s(n)\) байна. Функцийг ашиглан хийсэн тодорхойлолт нь логикийн хувьд зөв боловч зөн совингийн хувьд элементүүдийн эрэмбэлэгдсэн жагсаалт гэсэн ойлголт илүү ашигтай байдаг.
Дарааллыг функц хэлбэрээр илэрхийлэхийн оронд товчхон \(\{x_n\}\) хэлбэрээр илэрхийлье. Хэрэв индекс хувьсагчийг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай бол дарааллыг \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) гэж илэрхийлнэ. Хатуу хэлэхэд энэ тэмдэглэгээ нь (эрэмбэтэй) дараалал \(\{x_n\}\) болон (эрэмбэгүй) гишүүдийн олонлог \(\{x_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\) эсвэл нэг элемент \(x_n\)-ээс бүрдсэн олонлогийн аль нэгийг илэрхийлж байгаа эсэхэд будлиан үүсгэж болох ч бодитоор бараг асуудал болдоггүй. Дарааллыг илэрхийлэхэд \((x_n)\) гэх мэтийн тэмдэглэгээг ихэвчлэн хэрэглэдэг боловч дарааллын функцийг авч үзэхэд энэ тэмдэглэгээ нь бие даасан элемент \(x_n\) нь функцийн аргумент мэт харагдаж болох тул болгоомжтой хэрэглэх хэрэгтэй.
Дараалал \(\{x_n\}\)-ийн дэд дараалал нь \(\{x_{n(r)}\}_{r=1}^{\infty}\) хэлбэрийн дараалал бөгөөд энд \(n(r) \in \mathbb{N}\) нь \(r \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд өсөн нэмэгдэх функц юм.
Жишээ 4. (Функцийн орон зай болох дарааллын орон зай)
\(\mathbb{N}\)-ээс \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн функц болох дарааллын тодорхойлолтыг ашиглавал орон зай \(F(\mathbb{N},\,\mathbb{F})\) нь \(\mathbb{F}\)-д тодорхойлогдсон бүх дарааллаас бүрдсэн орон зайтай ижил гэж үзэж болохыг харж болно.
Дарааллын хязгаар нь шинжилгээний хувьд авч үздэг үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Одоо зайн орон зайд дарааллын нэгдэх шинж чанарыг тодорхойлье. Эндээс \(\{x_n\}\) нь зайн орон зай \((M,\,d)\)-д дараалал гэж хэлэхэд энэ нь дараалал \(\{x_n\}\)-ийн бүх гишүүн нь олонлог \(M\)-д харъяалагдана гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт 5. (Дарааллын хязгаар ба Кошийн дараалал)
Зайн орон зай \((M,\,d)\)-д дараалал \(\{x_n\}\) ба цэг \(x \in M\)-г авч үзье.
Хэрэв дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд ямар нэгэн \(N\in\mathbb{N}\) байж
\(n > N\) \(\,\Longrightarrow\,\) \(d(x,\,x_n ) < \epsilon\)
тэгшитгэл биелвэл "дараалал \(\left\{ x_n \right\}\) нь \(x\)-д нэгдэнэ" гэж хэлнэ. Энэ үед \(x\)-г \(\left\{ x_n \right\}\)-ийн хязгаар гэж нэрлэнэ. Үүнийг тэмдэглээр \[\lim_{n \to \infty} x_n = x\] эсвэл \(x_n \to x\) гэж илэрхийлнэ.
Дараалал \(\{x_n\}\) нь Кошийн дараалал гэх нь дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд ямар нэгэн \(N \in \mathbb{N}\) байж
\(m > N ,\, n > N\) \(\,\Longrightarrow\,\) \(d(x_m,\,x_n) < \epsilon\)
тэгшитгэл биелэх явдал юм.
Бодит дарааллын нэгдэх ойлголтыг ашиглавал дээрх тодорхойлолт нь тус тус дараах байдалтай эквивалент байна.
- \(n \rightarrow \infty\) үед \(d(x,\,x_n ) \rightarrow 0\) байна.
- \(m ,\, n \rightarrow \infty\) үед \(d(x_m ,\, x_n ) \rightarrow 0\) байна.
Теорем 6. (Нэгдэх хязгаарын шинж чанар)
Зайн орон зай \((M,\,d)\)-д дараалал \(\{x_n\}\)-г авч үзье. Хэрэв \(\left\{ x_n \right\}\) нь \(x\)-д нэгдвэл дараах нь биелнэ.
Нээлттэй олонлог ба хаалттай олонлог
Зайн ойлголтыг үндэслэн зайн орон зайн дэд олонлогийн янз бүрийн шинж чанарыг тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт 7. (Нээлттэй бөмбөг ба хаалттай бөмбөг)
\((M,\,d)\) нь зайн орон зай бөгөөд \(x \in M,\) \(r > 0\) гэж үзье. Энэ үед олонлог \[B_r(x) = \{y \in M \,\vert\, d(x,\,y) < r\}\] -г төв нь \(x\) бөгөөд радиус нь \(r\) байх нээлттэй бөмбөг гэж нэрлэнэ. \(r = 1\) бол бөмбөг \(B_r(x)\)-г нээлттэй нэгж бөмбөг гэж нэрлэнэ.
Олонлог \(\{y \in M \,\vert\, d(x,\,y) \leq r\}\)-г төв нь \(x\) бөгөөд радиус нь \(r\) байх хаалттай бөмбөг гэж нэрлэнэ. \(r = 1\) бол энэ олонлогийг хаалттай нэгж бөмбөг гэж нэрлэнэ.
Номын дагуу төв нь \(x\) бөгөөд радиус нь \(r\) байх нээлттэй бөмбөгийг \(B_x (r)\) эсвэл \(B(x,\, r)\) гэж тэмдэглэх тохиолдол бас байдаг. Тиймээс тэмдэг \(B_x (r)\) байхад \(x\) ба \(r\)-ийн аль нь төв, аль нь радиусыг илэрхийлж байгааг анхааралтай ажиглах хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 8. (Зайн орон зайн дэд олонлогийн шинж чанар)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(A \subset M\) гэж үзье.
- \(A\) нь хязгаарлагдмал (bounded) гэх нь [бүх \(x,\,y \in A\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) < b\)]-г хангах тоо \(b > 0\) байх явдал юм.
- \(A\) нь нээлттэй олонлог гэх нь \(A\)-ийн цэг \(x\) бүрийн хувьд [\(B_\epsilon (x) \subset A\)-г хангах \(\epsilon > 0\) байдаг] байх явдал юм.
- \(A\) нь хаалттай олонлог гэх нь олонлог \(M \setminus A\) нь нээлттэй олонлог байх явдал юм.
- Цэг \(x \in M\) нь \(A\)-ийн адилбар цэг гэх нь дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) < \epsilon\)-г хангах цэг \(y \in A\) байдаг байх явдал юм. (Өөрөөр хэлбэл \(y_n \to x\)-г хангах дараалал \(\{y_n\} \subset A\) байдаг байх явдал юм.)
- \(A\)-ийн адилбар цэгүүдийг бүгдийг нь цуглуулсан олонлогийг \(A\)-ийн адилбар (closure) гэж нэрлэж \(\overline{A}\) эсвэл \(A^-\) гэж тэмдэглэнэ.
- \(A\) нь \(M\)-д нягт (dense) гэх нь \(\overline{A} = M\) байх явдал юм.
\(A\)-ийн адилбарыг илэрхийлэхийн тулд \(\overline{A}\) эсвэл \(A^-\) тэмдэглэгээг бүгдийг хэрэглэнэ. \(\overline{A}\) гэх мэтийн тэмдэглэгээ маш нийтлэг боловч \(A^-\) тэмдэглэгээ нь комплекс тооны хос сэжүүлэлттэй будлиан гаргахаас зайлсхийх эсвэл нарийн илэрхийлэлээр тодорхойлогдсон олонлогийн адилбарыг тэмдэглэхэд ашигтай байдаг.
\(x \in A\) бол \(x\) нь тодорхойлолтын дагуу \(A\)-ийн адилбар цэг юм. Тиймээс \(A \subset \overline{A}\) байна. Гэхдээ заавал \(A = \overline{A}\) байх шаардлагагүй.
Теорем 9. (Адилбар ба нягт олонлогийн шинж чанар)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(A \subset M\) гэж үзье.
- \(\overline{A}\) нь хаалттай олонлог бөгөөд \(A\)-г агуулсан бүх хаалттай олонлогийн огтлолцолтой тэнцүү байна. (Өөрөөр хэлбэл \(\overline{A}\) нь \(A\)-г агуулсан хамгийн жижиг хаалттай олонлог юм.)
- \(A\) нь хаалттай олонлог байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(A = \overline{A}\) байх явдал юм.
- \(A\) нь хаалттай олонлог байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(A\)-д дараалал \(\{x_n\}\) нь элемент \(x \in M\)-д нэгдэх болгонд \(x \in A\) байх явдал юм.
- \(x \in \overline{A}\) байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(\inf\{d(x,\,y) : y \in A\} = 0\) байх явдал юм.
- Дурын \(x \in M\) ба \(r > 0\)-ийн хувьд төв нь \(x\) бөгөөд радиус нь \(r\) байх нээлттэй бөмбөг ба хаалттай бөмбөг нь тус тус нээлттэй олонлог ба хаалттай олонлог юм. Мөн \[\overline{B_r (x)} \subset \{y \in M : d(x,\,y) \leq r\}\] боловч ерөнхийдөө эдгээр олонлогууд тэнцүү байх шаардлагагүй.
- \(A\) нь \(M\)-д нягт байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь дурын элемент \(x \in M\) ба дурын тоо \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд \(d(x,\,y) < \epsilon\)-г хангах цэг \(y \in A\) байдаг байх явдал юм. (Энэ нь дурын элемент \(x \in M\)-ийн хувьд \(y_n \to x\)-г хангах дараалал \(\{y_n\} \subset A\) байдаг байхтай эквивалент юм.)
Зөн совингийн хувьд олонлог \(A\) нь \(M\)-д нягт гэх нь \(M\)-ийн дурын элемент \(x\) нь \(M\)-ийн зайн утгаар "\(A\)-ийн элементүүдээр дурын ойрхон ойролцоо хийж болно" гэсэн утгатай байдаг.
\((M,\,d)\) нь зайн орон зай бөгөөд \(N \subset M\) бол \((N,\,d)\) бас зайн орон зай юм. Тиймээс дээрх бүх ойлголт нь \((N,\,d)\)-д бас утгатай байдаг. Гэхдээ өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр орон зайн аль нэгийг хэрэглэж байгааг тодорхой болгох нь чухал. Үр дүн нь өөр байж болно.
Жишээ 10. (Бүхэл орон зайн дагуу өөрчлөгддөг шинж чанар)
\(M = \mathbb{R}\)-г стандарт зайтай орон зай гэж үзье, \(N = (0,\,1] \subset M\) гэж үзье. \(A = (0,\,1)\) бол \(N\)-д \(A\)-ийн адилбар нь \(N\)-тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл \(A\) нь \(N\)-д нягт байна. Гэхдээ \(M\)-д \(A\)-ийн адилбар нь \([0,\,1]\) байна.
Тасралтгүй функц
Бодит шинжилгээнд "тасралтгүй функц"-ийн ойлголт нь \(\mathbb{R}\)-д стандарт зайг ашиглан тодорхойлогддог. Одоо энэ ойлголтыг ерөнхий зайн орон зайд тодорхойлогдсон функц хүртэл өргөжүүлье.
Тодорхойлолт 11. (Функцийн тасралтгүй байдал)
\((M,\,d_M)\) ба \((N,\,d_N)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(f : M \to N\)-г функц гэж үзье.
- \(f\) нь цэг \(x \in M\)-д тасралтгүй гэх нь дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд \(\delta > 0\) байж дурын \(y \in M\)-ийн хувьд \[d_M(x,\,y) < \delta \,\,\Longrightarrow \,\, d_N(f(x),\,f(y)) < \epsilon\] -г хангах явдал юм.
- \(f\) нь \(M\)-д тасралтгүй гэх нь \(f\) нь \(M\)-ийн цэг бүрэд тасралтгүй байх явдал юм.
- \(f\) нь \(M\)-д жигд тасралтгүй гэх нь дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд \(\delta > 0\) байж дурын \(x,\,y \in M\)-ийн хувьд \[d_M(x,\,y) < \delta \,\,\Longrightarrow \,\, d_N(f(x),\,f(y)) < \epsilon\] -г хангах явдал юм. (Өөрөөр хэлбэл \(\delta\)-г \(x,\,y \in M\)-аас үл хамааруулан бие даан сонгож болно.)
Бодит шинжилгээнийх шиг тасралтгүй байдлын ойлголт нь дараалал, нээлттэй олонлог болон хаалттай олонлогтой нягт холбоотой байдаг.
Теорем 12. (Тасралтгүй байдалтай эквивалент мэдэгдэл)
\((M,\,d_M)\), \((N,\,d_N)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(f : M \to N\)-г функц гэж үзье.
- \(f\) нь \(x \in M\)-д тасралтгүй байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(x_n \to x\)-г хангах \((M,\,d_M)\)-д дурын дараалал \(\{x_n\}\)-ийн хувьд \((N,\,d_N)\)-д дараалал \(\{f(x_n)\}\) нь \(f(x_n) \to f(x)\)-г хангах явдал юм.
- \(f\) нь \(M\)-д тасралтгүй байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(N\)-ийн дурын нээлттэй олонлог \(A\)-ийн хувьд олонлог \(f^{-1}(A) \subset M\) нь нээлттэй олонлог байх явдал юм.
- \(f\) нь \(M\)-д тасралтгүй байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(N\)-ийн дурын хаалттай олонлог \(B\)-ийн хувьд олонлог \(f^{-1}(B) \subset M\) нь хаалттай олонлог байх явдал юм.
Дагалдах теорем 13. (Тасралтгүй функцийн тэнцүү байдлын теорем)
\((M,\,d_M)\), \((N,\,d_N)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(A\)-г \(M\)-ийн нягт дэд олонлог гэж үзье, \(f,\,g : M \to N\)-г бүх \(x \in A\)-ийн хувьд \(f(x) = g(x)\)-г хангах тасралтгүй функц гэж үзье. Тэгвэл \(f = g\) байна. (Өөрөөр хэлбэл бүх \(x \in M\)-ийн хувьд \(f(x) = g(x)\) байна.)
Бүрэн зайн орон зай
Теорем 6-ийн (c)-ийн урвуу нь ерөнхийдөө биелдэггүй. Өөрөөр хэлбэл \((M,\,d)\) нь зайн орон зай бөгөөд \(\left\{ x_n \right\}\) нь \(M\)-д тодорхойлогдсон Кошийн дараалал боловч \(\left\{ x_n \right\}\) нь \(M\)-ийн ямар ч цэгт нэгдэхгүй байж болно.
Гэхдээ хэрэв зайн орон зай \((M,\,d)\)-д теорем 6-ийн (c)-ийн урвуу биелвэл энэ орон зай маш ашигтай хэрэглэгдэж болно.
Тодорхойлолт 14. (Бүрэн зайн орон зай)
Зайн орон зай \((M,\,d)\) нь бүрэн гэх нь \((M,\,d)\)-д дурын Кошийн дараалал нь \((M,\,d)\)-ийн цэгт нэгдэх явдал юм. Олонлог \(A \subset M\) нь \((M,\,d)\)-д бүрэн гэх нь \(A\)-д харъяалагдах бүх Кошийн дараалал нь \(A\)-ийн элементэд нэгдэх явдал юм.
Стандарт суурь өгөгдсөн хязгаарлагдмал хэмжээст Евклидийн зайн орон зай нь бүрэн байдаг.
Теорем 15. (Евклидийн орон зайн бүрэн байдал)
\(k \geq 1\) бүрийн хувьд стандарт зайтай орон зай \(\mathbb{F}^k\) нь бүрэн байдаг.
Дараах теорем нь зайн орон зайн онолын чухал үр дүн бөгөөд шинжилгээнд байнга хэрэглэгддэг. Энэ нь бүрэн зайн орон зай шинжилгээнд маш чухал байх шалтгаануудын нэг юм.
Теорем 16. (Бэрийн ангилалын теорем)
\((M,\,d)\) нь бүрэн зайн орон зай бөгөөд \(A_1 ,\) \(A_2 ,\) \(\ldots\) нь \(M\)-ийн хаалттай дэд олонлог, \(M = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j\) гэж үзье. Тэгвэл \(A_j\)-ийн дор хаяж нэг нь нээлттэй бөмбөг агуулна.
Компакт зайн орон зай
Бодит шинжилгээнд олонлогийн компакт шинж чанар нь жигд тасралтгүй байдал, жигд нэгдэх байдал зэрэг ойлголттой хослуулан чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Зайн орон зайд бас адилхан компакт шинж чанар нь маш чухал ойлголт юм.
Тодорхойлолт 17. (Компакт олонлог)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье. Олонлог \(A \subset M\) нь компакт гэх нь \(A\)-д бүх дараалал \(\{x_n\}\) нь \(A\)-ийн элементэд нэгдэх дэд дараалал агуулах явдал юм. Олонлог \(A \subset M\) нь харьцангуй компакт гэх нь адилбар \(\overline{A}\) нь компакт байх явдал юм. Олонлог \(M\) өөрөө компакт бол \((M,\,d)\)-г компакт зайн орон зай гэж нэрлэнэ.
"Нээлттэй бүрхүүл"-ийг ашиглан компакт шинж чанарыг тодорхойлж болно. Топологийн орон зайд "нээлттэй бүрхүүл"-ийг ашиглан хийсэн тодорхойлолт илүү нийтлэг байдаг. Гэхдээ зайн орон зайд нэгдэх дэд дарааллыг ашиглан хийсэн тодорхойлолт ба нээлттэй бүрхүүлийг ашиглан хийсэн тодорхойлолт нь эквивалент байдаг.
Теорем 18. (Бүрэн байдал ба компакт шинж чанартай холбоотой шинж чанар)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(A \subset M\) гэж үзье.
- \(A\) нь бүрэн бол \(A\) нь хаалттай олонлог юм.
- \(M\) нь бүрэн үед \(A\) нь бүрэн байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(A\) нь хаалттай олонлог байх явдал юм.
- \(A\) нь компакт бол \(A\) нь хаалттай олонлог бөгөөд хязгаарлагдмал байна.
- (Больцано-Вейерштрассын теорем) \(K\) нь \(\mathbb{F}^k\)-ийн дэд олонлог бөгөөд хязгаарлагдмал, хаалттай олонлог бол \(K\) нь компакт олонлог юм.
Компакт шинж чанар нь маш хүчирхэг бөгөөд ашигтай шинж чанар боловч аливаа олонлог компакт олонлог мөн эсэхийг батлах нь ихэвчлэн хэцүү байдаг. Больцано-Вейерштрассын теорем нь \(\mathbb{F}^k\)-д олонлогийн компакт шинж чанарыг тодорхойлох маш хялбар арга зам санал болгодог.
Теорем 19. (Компакт олонлог дээрх тасралтгүй функцийн хамгийн их хамгийн багын теорем)
\((M,\,d)\)-г компакт зайн орон зай гэж үзье, функц \(f : M \to \mathbb{F}\) нь тасралтгүй гэж үзье. Тэгвэл тогтмол \(b > 0\) байж дурын \(x \in M\)-ийн хувьд \(|f(x)| \leq b\)-г хангана. (Өөрөөр хэлбэл \(f\) нь хязгаарлагдмал байна.) Ялангуяа \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) бол \[\sup\{f(x) : x \in M\} , \quad \inf\{f(x) : x \in M\}\] байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал байна. Түүнээс гадна \[f(x_s) = \sup\{f(x) \,\vert\, x \in M\},\quad f(x_i) = \inf\{f(x) : x \in M\}\] -г хангах цэг \(x_s,\,x_i \in M\) байдаг.
Тодорхойлолт 20. (Тасралтгүй функцийн орон зай ба жигд зай)
\((M,\,d)\)-г компакт зайн орон зай гэж үзье. Тасралтгүй функц \(f : M \to \mathbb{F}\)-ийн олонлогийг \(C_{\mathbb{F}}(M)\) эсвэл \(C(M,\,\mathbb{F})\) гэж тэмдэглэнэ. \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-д дараах байдлаар зай тодорхойлно. \[d(f,\,g) = \sup\{|f(x) - g(x)| : x \in M\} .\] \(f,\,g \in C_{\mathbb{F}}(M)\) үед функц \(|f - g|\) нь тасралтгүй тул \(d(f,\,g)\) сайн тодорхойлогдож, \(d\) нь \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-д зай болохыг баталж болно. Энэ зайг жигд зай (uniform metric) гэж нэрлэж, өөрөөр заагаагүй тохиолдолд \(C_{\mathbb{F}}(M)\) нь үргэлж энэ зайтай гэж үзнэ.
Тасралтгүй функцийн орон зай \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-ийн ихэнх шинж чанар нь бодит тоо ба комплекс тооны тохиолдолд адилхан биелдэг тул эдгээр хоёр тохиолдлыг ялгах нь чухал тохиолдлыг эс тооцвол индексийг орхиж энгийнээр \(C(M)\) гэж тэмдэглэнэ. Мөн \(M\) нь хязгаарлагдмал хаалттай завсар \([a,\,b] \subset \mathbb{R}\) үед \(C[a,\,b]\) гэж тэмдэглэнэ.
Тодорхойлолт 21. (Функцийн дарааллын нэгдэх төрөл)
\((M,\,d)\)-г компакт зайн орон зай гэж үзье, \(\{f_n\}\)-г \(C(M)\)-д дараалал гэж үзье, \(f : M \to \mathbb{F}\)-г функц гэж үзье.
- \(\{f_n\}\) нь \(f\)-д цэг бүрт нэгдэнэ гэх нь бүх \(x \in M\)-ийн хувьд \(|f_n(x) - f(x)| \to 0\) байх явдал юм.
- \(\{f_n\}\) нь \(f\)-д жигд нэгдэнэ гэх нь \(\sup\{|f_n(x) - f(x)| \,\vert\, x \in M\} \to 0\) байх явдал юм.
\(M\)-д функцийн дараалал \(\left\{ f_n \right\}\) нь \(f\)-д жигд нэгдвэл энэ функцийн дараалал нь \(f\)-д цэг бүрт нэгдэнэ. Гэхдээ урвуу нь биелдэггүй. Мөн \(\left\{ f_n \right\}\) нь \(f\)-д жигд нэгдвэл \(f \in C(M)\) биелдэг боловч цэг бүрт нэгдэх үед энэ нь биелдэггүй. Тиймээс жигд нэгдэх нь цэг бүрт нэгдэхээс \(C(M)\)-д илүү ашигтай нэгдэх тодорхойлолт өгдөг.
Одоо \(C(M)\)-тай холбоотой дараах чухал үр дүнг шалгаж үзье.
Теорем 22. (Тасралтгүй функцийн орон зайн бүрэн байдал)
Зайн орон зай \(C(M)\) нь бүрэн байдаг.
\(M\) нь \(\mathbb{R}\)-ийн компакт дэд олонлог гэж үзье. Бодит олон гишүүнтийн олонлогийг \(P_{\mathbb{R}}\) гэж тэмдэглэе. Дурын олон гишүүнт \(p \in P_{\mathbb{R}}\) нь \(p\)-ийн тодорхойлох мужийг \(M\) хүртэл хязгаарлаж функц \(p : M \to \mathbb{R}\) гэж үзэж болох тул ийм утгаар \(P_{\mathbb{R}} \subset C_{\mathbb{R}}(M)\) байна. Дараах теорем нь ерөнхий тасралтгүй функцийг "энгийн" функц (өөрөөр хэлбэл олон гишүүнт)-ээр ойролцоолж болохыг тайлбарладаг.
Теорем 23. (Стоун-Вейерштрассын теорем)
\(\mathbb{R}\)-ийн дурын компакт олонлог \(M\)-ийн хувьд \(P_{\mathbb{R}}\) нь \(C_{\mathbb{R}}(M)\)-д нягт байдаг.
Энэ үр дүнг өөрөөр илэрхийлбэл \(f\) нь \(M\)-д бодит утгатай тасралтгүй функц бол олонлог \(M\)-д \(f\)-д жигд нэгдэх олон гишүүнт функцийн дараалал \(\{p_n\}\) байдаг гэсэн үг юм. Олон гишүүнт \(\{p_n\}\) нь мэдээжийн хэрэг \(\mathbb{R}\) бүхэлд тодорхойлогддог боловч олонлог \(M\)-ээс гадна энэ олон гишүүнтийн утга нь хамаагүй.
Салгах боломжтой орон зай
Ерөнхий зайн орон зай нь ямар нэгэн утгаар маш том бөгөөд эмгэг судлалын шинж чанартай байж болдог. Энэ нийтлэлд авч үзэх сүүлчийн тодорхойлолт нь бидний учирч буй зарим орон зайн "хэмжээ"-г хязгаарлаж, тодорхой төрлийн "муу" зан үйлээс зайлсхийхэд хэрэглэгдэх ойлголтыг тайлбарлана.
Тодорхойлолт 24. (Тооллого олонлог ба салгах боломжтой орон зай)
Олонлог \(X\) нь тооллого гэх нь хязгаарлагдмал тооны элементээс бүрдсэн эсвэл хязгаарлагдмал олон элементтэй бөгөөд \(X = \{x_n : n \in \mathbb{N}\}\) хэлбэрээр бичиж болох явдал юм. Сүүлчийн тохиолдолд \(X\)-г тооллого хязгаарлагдмал бус олонлог (countable infinite set) эсвэл сонгож болох олонлог гэж нэрлэнэ.
Зайн орон зай \((M,\,d)\) нь салгах боломжтой орон зай (separable) гэх нь тооллого бөгөөд нягт дэд олонлог агуулах явдал юм. Хоосон олонлогийг салгах боломжтой орон зай гэж үзнэ.
Зөн совингийн хувьд тооллого хязгаарлагдмал бус олонлог нь эерэг бүхэл тооны олонлог \(\mathbb{N}\)-тэй ижил хэмжээтэй тул "хамгийн жижиг" хязгаарлагдмал бус олонлог гэж үзэж болно. Мөн дээрх тодорхойлолтод олонлог \(X = \{x_n : n \in \mathbb{N}\}\)-г дараалал гэж үзэж болох бөгөөд бодитоор бид ихэвчлэн дараалал хэлбэрээр тооллого олонлогийг бүтээдэг. Тиймээс дээрх салгах боломжтой байдлын тодорхойлолтод "тооллого дэд олонлог"-ийг "дараалал"-аар солиж болно.
Жишээ 25. (Бодит шулууны салгах боломжтой байдал)
Орон зай \(\mathbb{R}\) нь иррационал тооны олонлог тооллого хязгаарлагдмал бус бөгөөд \(\mathbb{R}\)-д нягт байдаг учраас салгах боломжтой байдаг.
Салгах боломжтай орон зай нь бүх элемент нь "жижиг" (тооллого хязгаарлагдмал бус) олонлогийн элементүүдээр дурын ойрхон ойролцоолж болох орон зай юм. Бодитоор ийнхүү ойролцоолсон олонлогийн элементүүд нь орон зайн ерөнхий элементүүдээс "илүү сайн" шинж чанартай байна гэж найдах болно. Жишээлбэл теорем 23 нь \(C_{\mathbb{R}}(M)\) орон зайн ерөнхий элементүүдийг олон гишүүнтээр ойролцоолж болохыг харуулдаг. Олонлог \(P_{\mathbb{R}}\) нь тооллого биш боловч үүнээс \(C_{\mathbb{R}}(M)\) нь салгах боломжтой гэдгийг дагуулж авч болно.
Дараах нь байнга хэрэглэгддэг салгах боломжтой орон зайн шинж чанар юм.
Теорем 26. (Салгах боломжтой орон зайн шинж чанар)
\((M,\,d)\)-г зайн орон зай гэж үзье, \(A \subset M\) гэж үзье.
- \(A\) нь компакт бол \(A\) нь салгах боломжтой байдаг.
- \(A\) нь салгах боломжтай бөгөөд \(B \subset A\) бол \(B\) нь салгах боломжтай байдаг.