Векторын орон зай \(\mathbb{R}^2\) болон \(\mathbb{R}^3\)-ийг ердийн аргаар дүрслэхэд бид векторын уртыг бодож болно. Векторын 'урт'-ыг бодсноор векторын орон зайд хязгаарыг авч үзэх боломжтой болно. Хэмжээ хязгааргүй тохиолдлыг оруулсан ерөнхий векторын орон зайд векторын урттай төстэй ойлголтыг нэвтрүүлбэл векторын шинж чанарыг геометрийн хувьд илүү олон янзаар таамаглах боломжтой болж, ийм векторын орон зайд хязгаарыг авч үзэх боломжтой болно.
Энэ нийтлэлд нормтой векторын орон зайг тодорхойлж, шинжилгээн дэх ихэвчлэн хэрэглэгддэг векторын орон зайд тодорхойлогддог нормыг үзэх болно.
Эхлээд векторын орон зай \(\mathbb{R}^2\) болон \(\mathbb{R}^3\)-д авч үзсэн векторын 'урт' ойлголтыг ерөнхийлж дараах тодорхойлолтыг нэвтрүүлнэ.
Тодорхойлолт 1. (Норм ба нормтой векторын орон зай)
\(X\) нь \(\mathbb{F}\) талбар дээрх векторын орон зай байг. Функц \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\) нь \(X\) дээрх норм (norm) гэдэг нь энэ функц дараах шинж чанаруудыг бүгдийг хангадаг гэсэн үг юм.
- Ямар ч \(x\in X\)-ийн хувьд \(\|x\| \geq 0\) байна.
- \(x\in X\)-ийн хувьд \(\|x\| = 0\) бол \(x = 0\) байна.
- Ямар ч \(\alpha \in \mathbb{F}\) болон \(x\in X\)-ийн хувьд \(\|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|\) байна.
- Ямар ч \(x,\,y\in X\)-ийн хувьд \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\) байна.
Норм тодорхойлогдсон векторын орон зай \(X\)-ийг нормтой векторын орон зай (normed vector space) эсвэл энгийнээр нормын орон зай (normed space) гэж нэрлэнэ.
Нормын тодорхойлолтын (iv) нөхцөлийг ихэвчлэн гурвалжны тэнцэтгэл бус байдал (triangle inequality) гэж нэрлэдэг. Энэ нь \(\mathbb{R}^2\)-д гурвалжны нэг талын урт нь бусад хоёр талын уртын нийлбэрээс бага эсвэл тэнцүү байдгийг илэрхийлдэг.
Векторын орон зайн вектор тэг вектор л байх үед, өөрөөр хэлбэл \(X=\left\{ \mathbf{0} \right\}\) үед \(X\)-д тодорхойлж болох норм нь \(\lVert \mathbf{0} \rVert = 0\) гэж тодорхойлогдсон функц ганцхан байна. Одооноос үзэх нормууд нь векторын орон зайн хэмжээ \(0\) үед өгөгдсөн томъёогоор сайн тодорхойлогдохгүй байж болно. Гэхдээ хэмжээ \(0\) үед жишээнд өгөгдсөн томъёо сайн тодорхойлогдохгүй бол энгийнээр \(\lVert \mathbf{0} \rVert = 0\) гэж үзнэ.
Жишээ 2. (Евклидийн орон зайн стандарт норм)
Дараах байдлаар тодорхойлогдсон функц \(\|\cdot\| : \mathbb{F}^n \to \mathbb{R}\) нь \(\mathbb{F}^n\) дээрх норм юм. \[\|(x_1,\,\ldots,\,x_n)\| = \left( \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \right)^{1/2} .\] Үүнийг \(\mathbb{F}^n\)-ийн стандарт норм (standard norm) гэж нэрлэнэ.
Хэмжээ хязгаартай ямар ч векторын орон зайд норм тодорхойлж болно. Дараах жишээг үзье.
Жишээ 3. (Ямар ч хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зайн норм)
\(X\) нь суурь \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\) бүхий \(\mathbb{F}\) талбар дээрх хязгаартай хэмжээтэй векторын орон зай байг. Ямар ч \(x \in X\)-ийн хувьд \(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n \in \mathbb{F}\) байж \(x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j\) хэлбэрээр илэрхийлж болох ба энд \(j\) бүрийн хувьд \(\lambda_j\) цор ганц тодорхойлогдоно. Энэ үед дараах байдлаар тодорхойлогдсон функц \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\) нь \(X\) дээрх норм юм. \[\|x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} .\]
Батламж
Вектор \(x,\,y \in X\) өгөгдсөн бөгөөд эдгээр векторууд дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ гэе. \[x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j ,\quad y = \sum_{j=1}^n \mu_j e_j .\] Мөн \(\alpha \in \mathbb{F}\) байг. Тэгвэл \[\alpha x = \sum_{j=1}^n \alpha\lambda_j \,e_j\] болно. Одоо \(\lVert \cdot \rVert\) нь нормын нөхцлүүдийг бүгдийг хангадгийг харуулъя.
- \(\|x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} \geq 0\).
- \(x = 0\) бол \(\|x\| = 0\) болно. Эсрэгээр \(\|x\| = 0\) бол \(\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} = 0\) болохоор \(1 \leq j \leq n\) байх бүх \(j\)-ийн хувьд \(\lambda_j = 0\) болно. Тиймээс \(x = 0\) болно.
- \(\|\alpha x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\alpha\lambda_j|^2\right)^{1/2} = |\alpha|\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} = |\alpha|\|x\|\).
- Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус байдлаас дараах нь бий болно. \[\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j + \mu_j|^2 \\[3pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + \sum_{j=1}^n \lambda_j\overline{\mu_j} + \sum_{j=1}^n \overline{\lambda_j}\mu_j + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\sum_{j=1}^n \Re(\lambda_j\overline{\mu_j}) + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &\leq \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\sum_{j=1}^n |\lambda_j||\mu_j| + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &\leq \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n |\mu_j|^2\right)^{1/2} + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[6pt] &= \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\[6pt] &= (\|x\| + \|y\|)^2 . \end{aligned}\] Тиймээс \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\) болно.
Одоо хэмжээ хязгааргүй векторын орон зайд тодорхойлогддог нормын жишээг үзье.
Жишээ 4. (Тасралтгүй функцийн орон зайн стандарт норм)
\(M\)-ийг компакт зайны орон зай байг гэж үзээд \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-ийг \(M\) дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй \(\mathbb{F}\)-утгат функцуудын векторын орон зай байг. Мөн функц \(\|\cdot\| : C_{\mathbb{F}}(M) \to \mathbb{R}\) нь дараах байдлаар тодорхойлогдсон байг. \[\|f\| = \sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in M\}\] Энэ функц нь \(C_{\mathbb{F}}(M)\) дээрх норм юм. Энэ нормыг \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-ийн стандарт норм (standard norm) гэж нэрлэнэ.
Батламж
\(f,\,g \in C_{\mathbb{F}}(M)\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) байг.
- \(\|f\| = \sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in M\} \geq 0\).
- \(f\) нь тэг функц (функцийн утга үргэлж \(0\) байх тогтмол функц) бол бүх \(x \in M\)-ийн хувьд \(f(x) = 0\) болохоор \[\|f\| = \sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in M\} = 0\] болно. Эсрэгээр \(\|f\| = 0\) бол \[\sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in M\} = 0\] болохоор бүх \(x \in M\)-ийн хувьд \(f(x) = 0\) болно. Тиймээс \(f\) нь тэг функц юм.
- \(\|\alpha f\| =\)\(\sup\{|\alpha f(x)| \,\vert\, x \in M\} =\)\(|\alpha|\sup\{|f(x)| \,\vert\, x \in M\} =\)\(|\alpha|\|f\|\).
- \(y \in M\) бол \[|(f + g)(y)| \leq |f(y)| + |g(y)| \leq \|f\| + \|g\|.\] Тиймээс \[\|f + g\| = \sup\{|(f + g)(x)| \,\vert\, x \in M\} \leq \|f\| + \|g\|\] болно.
Дараах жишээнд тодорхойлсан интеграл боломжтой функцуудын векторын орон зайн зарим хэсэг норм гарч байгааг харуулна. \((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай бөгөөд \(1 \leq p \leq \infty\) үед \( | f |^p\)-ийн интеграл хязгаартай функцийн цуглуулгад зэрэг харьцааг өгч үүсгэсэн орон зай \(L^p (X)\)-ийг бодоно.
Жишээ 5. (\(L^p\) орон зайн стандарт норм)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай байг.
- \(1 \leq p < \infty\) үед \[\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p d\mu\right)^{1/p}\] нь \(L^p(X)\) дээрх норм юм. Энэ нормыг \(L^p(X)\)-ийн стандарт норм гэж нэрлэнэ.
- \(\|f\|_{\infty} = \operatorname{esssup}\{|f(x)| \,\vert\, x \in X\}\) нь \(L^{\infty}(X)\) дээрх норм юм. Энэ нормыг \(L^{\infty}(X)\)-ийн стандарт норм гэж нэрлэнэ.
Батламж
(a) \(f,\,g \in L^p(X)\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) байг. Тэгвэл \(\|f\|_p \geq 0\) болно. Мөн \(\|f\|_p = 0\) бол бараг бүх газар \(f = 0\) болно. Дараа нь \[\|\alpha f\|_p = \left(\int_X |\alpha f|^p d\mu\right)^{1/p} = |\alpha|\left(\int_X |f|^p d\mu\right)^{1/p} = |\alpha|\|f\|_p\] болно. Мөн гурвалжны тэнцэтгэл бус байдал нь Минковскийн тэнцэтгэл бус байдлаас үүдэн биелнэ.
(b) \(f,\,g \in L^{\infty}(X)\) бөгөөд \(\alpha \in \mathbb{F}\) байг. Тэгвэл \(\|f\|_{\infty} \geq 0\) болно. Нэмэхээр \(\|f\|_{\infty} = 0\) бол бараг бүх газар \(f = 0\) болно. \(\alpha = 0\) бол мэдээжийн хэрэг \(\|\alpha f\|_{\infty} = |\alpha|\|f\|_{\infty}\) болохоор \(\alpha \neq 0\) гэж үзье. \(|\alpha f(x)| \leq |\alpha|\|f\|_{\infty}\) a.e. \(x\) болохоор \[\|\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha|\|f\|_{\infty}\] болно. Ижил аргыг \(\alpha^{-1}f\)-д хэрэглэхэд дараахыг олно. \[\|f\|_{\infty} = \|\alpha^{-1}\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha^{-1}|\|\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha^{-1}||\alpha|\|f\|_{\infty} = \|f\|_{\infty}.\] Тиймээс \(\|\alpha f\|_{\infty} = |\alpha|\|f\|_{\infty}\) болно. Гурвалжны тэнцэтгэл бус байдал нь Минковскийн тэнцэтгэл бус байдлаас үүдэн биелнэ.
Орон зай \(\mathbb{N}\)-д тоолуурын хэмжээ (counting measure) өгөгдсөн гэе. \(1 \leq p < \infty\) үед \(\ell^p\) нь \(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty\)-ийг хангах \(\mathbb{F}\)-ийн бүх дараалал \(\{x_n\}\)-ийн векторын орон зай бөгөөд \(\ell^{\infty}\) нь \(\mathbb{F}\)-ийн хязгаартай бүх дарааллын векторын орон зай юм.
Жишээ 6. (\(\ell ^p\) орон зайн стандарт норм)
\(1 \leq p < \infty\) байг.
- \(\|\{x_n\}\|_p = \left(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p\right)^{1/p}\) нь \(\ell^p\) дээрх норм юм. Энэ нормыг \(\ell^p\)-ийн стандарт норм гэж нэрлэнэ.
- \(\|\{x_n\}\|_{\infty} = \sup\{|x_n| \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\) нь \(\ell^{\infty}\) дээрх норм юм. Энэ нормыг \(\ell^{\infty}\)-ийн стандарт норм гэж нэрлэнэ.
Өнөөг хүртэл үзсэн орон зайд "стандарт норм"-ыг тодорхойлсон. Өөр дурдалгагүй бол эдгээр орон зайг авч үзэхэд дээрх жишээнд тодорхойлсон стандарт норм өгөгдсөн гэж үзнэ.
Векторын орон зайн дэд орон зай болон зайны орон зайн дэд орон зайг бодсонтой адил нормын орон зайн дэд орон зайг бодож болно.
Жишээ 7. (Нормын орон зайн дэд орон зай)
\(X\) нь норм \(\|\cdot\|\) бүхий векторын орон зай бөгөөд \(S\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай байг. Мөн \(\|\cdot\|_S\)-ийг \(\|\cdot\|\)-ийн \(S\)-д хязгаарласан функц байг. Тэгвэл \(\|\cdot\|_S\) нь \(S\) дээрх норм юм.
Тиймээс \(X\) нь нормын орон зай бөгөөд \(S\) нь \(X\)-ийн дэд олонлог бол өөр дурдалгагүйгээр \(S\)-ийг дээрх жишээтэй адил норм өгөгдсөн нормын орон зай гэж үзнэ. Ийм үүднээс \(S\)-ийг \(X\)-ийн дэд орон зай (subspace) гэж нэрлэнэ.
Жишээ 8. (Таксины зай)
\(X\) болон \(Y\) нь \(\mathbb{F}\) дээрх векторын орон зай бөгөөд \(Z = X \times Y\) нь \(X\) болон \(Y\)-ийн Декартын үржвэр байг. Тэгвэл \(X\times Y\) нь үржвэрийн орон зай болох векторын орон зай юм. \(\|\cdot\|_1\) нь \(X\) дээрх норм бөгөөд \(\|\cdot\|_2\) нь \(Y\) дээрх норм байг. Тэгвэл \(\|(x,\,y)\| = \|x\|_1 + \|y\|_2\) нь \(Z\) дээрх норм юм.
Дотоод үржвэрийг ашиглан норм тодорхойлж болохтой адил нормыг ашиглан зайг тодорхойлж болно.
Теорем 9. (Нормоос үүдэн гарах зай)
\(X\) нь норм \(\|\cdot\|\) бүхий векторын орон зай байг. Хэрэв функц \(d : X \times X \to \mathbb{R}\)-ийг \[d(x,\,y) = \|x - y\|\] гэж тодорхойлбол \(d\) нь \(X\)-ийн зай бөгөөд \((X,\,d)\) нь зайны орон зай болно.
Батламж
\(x,\,y,\,z \in X\) байг. Нормын шинж чанарыг ашиглахад дараахыг мэдэх болно.
- \(d(x,\,y) = \|x - y\| \geq 0 .\)
- \(d(x,\,y) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \|x - y\| = 0 \)\(\,\,\Leftrightarrow\,\, x - y = 0 \)\(\,\,\Leftrightarrow\,\, x = y .\)
- \(d(x,\,y) = \|x - y\| =\)\( \|(-1)(y - x)\| =\)\( |(-1)|\|y - x\| = \)\(\|y - x\| = d(y,\,x). \)
- \(d(x,\,z) = \|x - z\| =\)\( \|(x - y) + (y - z)\| \leq \)\( \|(x - y)\| + \|(y - z)\| = \)\( d(x,\,y) + d(y,\,z) .\)
Тиймээс \(d\) нь зайны нөхцлийг хангана.
\(X\) нь норм \(\|\cdot\|\) бүхий векторын орон зай бөгөөд \(d\) нь \(d(x,\,y) = \|x - y\|\) гэж тодорхойлогдсон зай бол \(d\)-ийг \(\|\cdot\|\)-тэй холбоотой зай эсвэл \(\|\cdot\|\)-оос үүдэн гарсан зай гэж нэрлэнэ.
Нормын орон зайд дарааллын болон функцийн нийлэл, тасралтгүй байдал, бүрэн байдал зэрэг зайны орон зайн ойлголтыг хэрэглэх бүрт үргэлж тодорхой дурдахгүй байсан ч нормоос үүдэн гарсан зайг хэрэглэнэ.
Жишээ 10. (Стандарт норм ба стандарт зайн харьцаа)
Дараах орон зайн стандарт нормоос үүдэн гарсан зай нь стандарт зай юм.
- \(\mathbb{F}^n\)
- \(M\) нь компакт зайны орон зай үед \(C_{\mathbb{F}}(M)\)
- \((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай бөгөөд \(1 \leq p < \infty\) үед \(L^p(X)\)
- \((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай үед \(L^{\infty}(X)\)
Батламж
- \(x,\,y \in \mathbb{F}^n\) бол \[d(x,\,y) = \|x - y\| = \left(\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\right)^{1/2},\] тиймээс \(d\) нь \(\mathbb{F}^n\)-ийн стандарт зай юм.
- \(f,\,g \in C_{\mathbb{F}}(M)\) бол \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \sup\{|f(x) - g(x)| \,\vert\, x \in M\},\] тиймээс \(d\) нь \(C_{\mathbb{F}}(M)\)-ийн стандарт зай юм.
- \(f,\,g \in L^p(X)\) бол \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \left(\int_X |f - g|^p d\mu\right)^{1/p},\] тиймээс \(d\) нь \(L^p(X)\)-ийн стандарт зай юм.
- \(f,\,g \in L^{\infty}(X)\) бол \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \operatorname{esssup}\{|f(x) - g(x)| \,\vert\, x \in X\},\] тиймээс \(d\) нь \(L^{\infty}(X)\)-ийн стандарт зай юм.
\(\mathbb{N}\) дээрх тоолуурын хэмжээг ашиглахад \(\ell^p\) болон \(\ell^{\infty}\)-ийн стандарт нормтой холбоотой зай ч мөн эдгээр орон зайн стандарт зай болохыг мэдэж болно.
Эцэст нь нормтой векторын орон зайд дарааллын нийлэлтийн шинж чанарыг үзье.
Теорем 11. (Нормын орон зайд дарааллын хязгаар)
\(X\) нь норм \(\|\cdot\|\) бүхий \(\mathbb{F}\) талбар дээрх векторын орон зай байг. \(\{x_n\}\) болон \(\{y_n\}\) нь тус тус \(X\)-д \(x\) ба \(y\) рүү нийлэх дараалал бөгөөд \(\{\alpha_n\}\) нь \(\mathbb{F}\)-д \(\alpha\) рүү нийлэх дараалал байг. Тэгвэл дараах нь биелнэ.
- \(|\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\|\)
- \(\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|\)
- \(\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x + y\)
- \(\lim_{n \to \infty} \alpha_n x_n = \alpha x\)
Батламж
- Гурвалжны тэнцэтгэл бус байдлаас \[\|x\| = \|(x - y) + y\| \leq \|x - y\| + \|y\|\] болохоор \[\|x\| - \|y\| \leq \|x - y\|\] болно. \(x\) болон \(y\)-г солиход \[\|y\| - \|x\| \leq \|y - x\|\] гэж олно. Гэхдээ \[\|x - y\| = \|(-1)(y - x)\| = \|y - x\|\] болохоор \[-\|x - y\| \leq \|x\| - \|y\| \leq \|x - y\|\] болно. Тиймээс \[|\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\|\] болно.
- \(\lim_{n \to \infty} x_n = x\) бөгөөд бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[|\|x\| - \|x_n\|| \leq \|x - x_n\|\] болохоор \(\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|\) болно.
- \(\lim_{n \to \infty} x_n = x\), \(\lim_{n \to \infty} y_n = y\) бөгөөд ямар ч \(n\in\mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} \|(x_n + y_n) - (x + y)\| &= \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \\[6pt] &\leq \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \end{aligned}\] болохоор \[\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x + y\] болно.
- \(\{\alpha_n\}\) нь нийлэх тул энэ дараалал хязгаартай байна. Өөрөөр хэлбэл "бүх \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(|\alpha_n| \leq K\)" байх эерэг тоо \(K\) байна. Мөн ямар ч \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \[\begin{aligned} \|\alpha_n x_n - \alpha x\| &= \|\alpha_n (x_n - x) + (\alpha_n - \alpha)x\|\\[6pt] &\leq |\alpha_n|\|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha|\|x\| \\[6pt] &\leq K\|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha|\|x\| \end{aligned}\] биелнэ. Тиймээс \[\lim_{n \to \infty} \alpha_n x_n = \alpha x\] болно.
Дээрх теоремын (b), (c), (d) нь норм, нэмэх, скаляр үржвэр нь тасралтгүй функц гэсэн үг юм.