Энэ нийтлэлд математикийн янз бүрийн салбарыг судлахад шаардлагатай хэмжээ ба Лебегийн интегралын ойлголтыг товч авч үзнэ.
Орох үг
Зайн орон зайн тоймд (нийтлэл үзэх) тасралтгүй функцийн орон зай \(C[a,\,b]\)-д жигд зай \(d\)-г нэвтрүүлж, зайн орон зай \((C[a,\,b],\,d)\) нь бүрэн байгааг авч үзсэн. Гэхдээ \(C[a,\,b]\)-д интегралаар тодорхойлогдох өөр ашигтай зай байдаг. \(\int_a^b f(x)\,dx\)-г үндсэн шинжилгээний курст тодорхойлогдсон адилаар функц \(f \in C[a,\,b]\)-ийн ердийн Риманы интеграл гэж үзье. Тэгвэл \(1 \leq p < \infty\) байх \(p\)-ийн хувьд функц \(d_p : C[a,\,b] \times C[a,\,b] \to \mathbb{R}\)-г дараах байдлаар тодорхойлж болно. \[d_p(f,\,g) = \left( \int_a^b |f(x) - g(x)|^p\,dx \right)^{1/p} .\] Энэ функц нь \(C[a,\,b]\)-д зай юм. Харамсалтай нь зайн орон зай \((C[a,\,b],\,d_p)\) нь бүрэн биш байдаг. Өөрөөр хэлбэл \((C[a,\,b],\,d_p)\)-д Кошийн дараалал нь \(C[a,\,b]\)-д харъяалагдахгүй бөгөөд Риманы интеграл авах боломжгүй функцэд "нэгдэж" болно гэсэн үг юм. Энэ нь Риманы интегралын сул тал тул үүнийг шийдэхийн тулд Риманы интегралыг "Лебегийн интеграл" гэж нэрлэгддэг интегралаар солих хэрэгтэй. Лебегийн интеграл нь илүү өргөн төрлийн функцэд интеграл авах боломжийг олгодог интеграл юм.
Энэ нийтлэлд Лебегийн интегралын ойлголт ба шинж чанарыг товч авч үзнэ. Лебегийн интегралын онолыг гүнзгий судлахыг зорьдоггүй хүн бол Риманы интегралаас илүү олон төрлийн функцэд интеграл авч болдог "Лебегийн интеграл" байдаг бөгөөд энэ интеграл нь доор тайлбарласан шинж чанаруудтай, эдгээр шинж чанарын ихэнх нь Риманы интегралын шинж чанарыг өргөжүүлсэнтэй адил гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх нь хангалттай байх болно.
Тасралтгүй функцийн орон зай \((C[a,\,b],\,d_p)\) нь бүрэн биш гэсэн асуудлыг зайн орон зай \(L^p[a,\,b]\)-г нэвтрүүлснээр шийддэг. Энэ орон зай нь \(C[a,\,b]\)-г агуулж, ижил зай \(d_p\)-тай байдаг. Түүнээс гадна \(C[a,\,b]\) нь \(L^p[a,\,b]\)-д нягт бөгөөд \(L^p[a,\,b]\) нь бүрэн зайн орон зай юм. (Хийсвэр зайн орон зайн онолын өөрвөөр \(L^p[a,\,b]\) нь орон зай \((C[a,\,b],\,d_p)\)-ийн "бүрэнжүүлэл" (completion) гэж хэлж болно.) Мөн \(\ell^p\) гэх мэт орон зай бас ихэвчлэн маш ашигтай хэрэглэгддэг.
Хэмжээний ойлголт
Лебегийн интегралын онолын үндэс нь олонлогийн хэмжээг илэрхийлэх "хэмжээ"-ний ойлголт юм. Жишээлбэл \(a\le b\) үед хязгаарлагдмал завсар \(I = [a,\,b]\)-ийн хувьд \(I\)-ийн уртыг \(\ell(I) = b - a\) гэж тодорхойлж болно. \(\mathbb{R}\)-д Лебегийн интегралыг тодорхойлохын тулд зөвхөн завсар төдийгүй илүү өргөн төрлийн олонлогт "хэмжээ" олгож чадах ёстой. Харамсалтай нь ерөнхийдөө \(\mathbb{R}\)-ийн бүх дэд олонлогт хэрэглэгддэг утга бүхий "хэмжээ" бүтээх боломжгүй байдаг. Үүний улмаас ашигтай шинж чанартай \(\mathbb{R}\)-ийн тодорхой төрлийн дэд олонлогуудыг цуглуулж, тэдгээр олонлогийн "хэмжээ"-г бүтээнэ. Тодорхой эхний алхам нь хоорондоо салангид хязгаарлагдмал тооны завсаруудын нэгдэл олонлогийн "хэмжээ"-г энгийнээр тэдгээрийн уртуудын нийлбэр гэж тодорхойлох явдал юм. Гэхдээ хязгаартай холбоотой зохих шинж чанартай интеграл тодорхойлохын тулд олонлогуудын тооллого нэгдлийн хэмжээг авч үзэх хэрэгтэй бөгөөд тэр хэмжээг бие даасан олонлогуудын хэмжээгээр тооцож чадах нь зүйтэй. Түүнээс гадна ерөнхий онолд \(\mathbb{R}\)-г хийсвэр олонлог \(X\)-ээр солиж, \(X\)-ийн тохирох дэд олонлогийн хийсвэр хэмжээг авч үзэх хэрэгтэй.
Хэмжээний тодорхойлолтыг авч үзэхээс өмнө хэмжээ нь хязгаарлагдмал бус олонлог байж болно гэдгийг бодоцгооё. Жишээлбэл \(\mathbb{R}\) нь хязгаарлагдмал бус урттай байдаг. Тиймээс хязгаарлагдмал бус утгыг хязгаарлагдмал бодит тоо шиг алгебрын хувьд авч үзэхийн тулд өргөжүүлсэн бодит тооны олонлог \(\overline{\mathbb{R}}\)-г нэвтрүүлэх нь тохиромжтой. Эхлээд эерэг хязгаарлагдмал бус ба сөрөг хязгаарлагдмал бус утгыг өргөжүүлсэн бодит тоонд оруулж \[\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\,\infty\}\] гэж тодорхойлно. Мөн \[\overline{\mathbb{R}}^+ = [0,\,\infty) \cup \{\infty\}\] гэж тодорхойлно. Стандарт алгебрын үйлдлүүд нь илт байдлаар тодорхойлогдоно. Жишээлбэл \(\infty+\infty = \infty\) байна. Харин \(0 \cdot \infty\) ба \(0 \cdot (-\infty)\) үржвэрийг \(0\) гэж тодорхойлж, \(\infty-\infty\) ба \(\infty/\infty\) үйлдлүүд тодорхойлогдохгүй.
Тодорхойлолт 1. (\(\sigma\)-алгебр)
\(X\) нь олонлог бөгөөд \(\Sigma\) нь \(X\)-ийн дэд олонлогуудын цуглуулга гэж үзье. \(\Sigma\) нь \(\sigma\)-алгебр (sigma algebra) гэх нь дараах шинж чанарыг бүгдийг хангах явдал юм.
- \(\varnothing \in \Sigma\) бөгөөд \(X \in \Sigma\) байна.
- \(S \in \Sigma\) бол \(X \setminus S \in \Sigma\) байна.
- \(S_1 ,\) \(S_2 ,\) \(\cdots\) нь \(\Sigma\)-ийн элементүүд бол \(\cup_{n=1}^{\infty} S_n \in \Sigma\) байна.
\(S \in \Sigma\) байх олонлог \(S\)-г хэмжих боломжтой олонлог (measurable set) гэж нэрлэнэ.
\(\sigma\)-алгебрыг "\(\sigma\)-талбар" (sigma field) гэж нэрлэх бас болно. Энэ нэр томъёонд '\(\sigma\)' гэсэн илэрхийлэл нь "тооллого тооны объект"-ыг авч үзнэ гэсэн утгаар ойлгох нь зүйтэй.
Тодорхойлолт 2. (Хэмжээ)
\(X\)-г олонлог гэж үзье, \(\Sigma\)-г \(X\)-ийн дэд олонлогуудын \(\sigma\)-алгебр гэж үзье. Функц \(\mu : \Sigma \to \overline{\mathbb{R}}^+\) нь дараах шинж чанартай бол \(\mu\)-г хэмжээ гэж нэрлэнэ.
- \(\mu(\varnothing) = 0 .\)
- \(\mu\) нь тооллого нэмэлт байдаг. Өөрөөр хэлбэл \(S_j \in \Sigma\), \(j = 1,\,2,\,\ldots\) нь хос бүрт салангид олонлогууд бол \[\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} S_j\right) = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(S_j).\]
Энэ үед олонлог \(X,\) \(\sigma\)-алгебр \(\Sigma, \) хэмжээ \(\mu\)-г эрэмбэ хос болгон нэгтгэсэн \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)-г хэмжээний орон зай гэж нэрлэнэ.
Нөхцөлөөс харахад \(\sigma\)-алгебр ба хэмжээ нь тодорхой эсвэл эдгээрийг ялгах шаардлагагүй үед хэмжээний орон зай \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)-г энгийнээр \(X\) гэж илэрхийлнэ.
Хэмжээний онолын олон хэрэглээнд хэмжээ нь \(0\) байх олонлогийг "үл тоомсорлож болох" гэж үздэг. Тийм олонлог нь байнга хэрэглэгддэг учраас ийм шинж чанартай олонлогийг нэрлэх нэр томъёо байдаг.
Тодорхойлолт 3. (Тэг хэмжээ ба "бараг бүх")
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)-г хэмжээний орон зай гэж үзье, \(S\in\Sigma\) гэж үзье. Хэрэв \(\mu(S) = 0\) бол "олонлог \(S\) нь тэг хэмжээ (measure zero)-тэй" гэж хэлнэ. Хэмжээ нь \(0\) байх олонлогийг тэг олонлог (null set) гэж нэрлэх бас болно.
\(P(x)\)-г цэг \(x \in X\)-ийн хувьд шинж чанар гэж үзье. (Өөрөөр хэлбэл \(x\)-ийн утгаас хамааран үнэн эсвэл худал гэж тодорхойлогддог өгүүлбэр гэж үзье.) Хэрэв олонлог \(\{x \,\vert\, P(x) \text{ is false}\}\) нь тэг хэмжээтэй бол "\(P(x)\) нь бараг бүх \(x\)-ийн хувьд биелнэ" гэж илэрхийлнэ. "Бараг бүх \(x\)-ийн хувьд"-г товчилж "a.e. \(x\)" гэж тэмдэглэнэ. (almost everywhere.)
Дээрх тодорхойлолтод 'тэг хэмжээ' нь хэмжээ нь \(0\) гэсэн утгатай байдаг. Математикч Young-ийн зохион бүтээсэн хэмжээг 'Young хэмжээ' гэж нэрлэдэг учраас 'тэг хэмжээ'-ний утга санааг будлиан гаргахгүй байхад анхаарах хэрэгтэй.
Жишээ 4. (Тоолох хэмжээ)
\(X = \mathbb{N}\) гэж үзье, \(\Sigma_c\)-г \(\mathbb{N}\)-ийн бүх дэд олонлогийн цуглуулга гэж үзье. Мөн дурын \(S \subset \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\mu_c(S)\)-г \(S\)-ийн элементийн тоо гэж тодорхойлье. (Харин \(S\) нь хязгаарлагдмал бус олонлог бол \(\mu _c (S) = \infty\) байна.) Тэгвэл \(\Sigma_c\) нь \(\sigma\)-алгебр бөгөөд \(\mu_c\) нь \(\Sigma_c\)-д хэмжээ юм. Энэ хэмжээг \(\mathbb{N}\)-д тоолох хэмжээ (counting measure) гэж нэрлэнэ. Энэ хэмжээний орон зайд тэг хэмжээтэй олонлог нь зөвхөн хоосон олонлог юм.
Жишээ 5. (Лебегийн хэмжээ)
\(\mathbb{R}\)-д \(\sigma\)-алгебр \(\Sigma_L\) ба \(\Sigma_L\)-д хэмжээ \(\mu_L\) байдаг бөгөөд дурын хязгаарлагдмал завсар \(I\)-ийн хувьд \(I = [a,\,b] \in \Sigma_L\) бөгөөд \(\mu_L(I) = \ell(I)\)-г хангана. Энэ орон зайд олонлог \(A\) нь тэг хэмжээтэй байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь дурын \(\epsilon > 0\)-ийн хувьд дараах нөхцлийг хангах завсруудын дараалал \(I_j \subset \mathbb{R}\), \(j = 1,\,2,\,\ldots\) байдаг байх явдал юм. \[A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} I_j \quad \text{and} \quad \sum_{j=1}^{\infty} \ell(I_j) < \epsilon.\] Энэ хэмжээг Лебегийн хэмжээ гэж нэрлэж, \(\Sigma_L\)-д харъяалагдах олонлогийг Лебегийн хэмжих боломжтой олонлог гэж нэрлэнэ.
Дээрх жишээнд Лебегийн хэмжээний хоёр шинж чанар нь Лебегийн хэмжээний орон зайг цорын ганцаар тодорхойлдог. Нөгөөтэйгүүр дурын завсарт Лебегийн хэмжээтэй тохирдог боловч бусад олонлог нь хэмжих боломжгүй байж болох хэмжээ (жишээлбэл Борелийн хэмжээ) байдаг. Үүнтэй холбоотой илүү гүн агуулгыг хэлэлцэхгүй.
Лебегийн интегралын ойлголт
Дурын бүхэл тоо \(k > 1\)-ийн хувьд \(\mathbb{R}^k\)-д \(\sigma\)-алгебр \(\Sigma_L\) ба Лебегийн хэмжээ \(\mu_L\) байдаг. Ялангуяа \(k = 2\) үед Лебегийн хэмжээ нь олонлогийн талбайг илэрхийлж, \(k = 3\) үед эзэлхүүнийг илэрхийлнэ. \(k \geq 4\) үед Лебегийн хэмжээ нь "ерөнхийлөгдсөн эзэлхүүн"-ийн ойлголттой байдаг.
Одоо тогтмол хэмжээний орон зай \((X,\,\Sigma,\,\mu)\) байгаа гэж үзье. Дарааллын үйл явцаар функц \(f : X \to \mathbb{R}\)-ийн интегралыг бүтээх гэж байна.
Дурын дэд олонлог \(A \subset X\)-ийн хувьд \(A\)-ийн шинж чанарын функц \(\chi_A : X \to \mathbb{R}\) нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно. (characteristic function.) \[\chi_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in A, \\ 0, & \text{if } x \not\in A. \end{cases}\] Функц \(\phi : X \to \mathbb{R}\) нь дараах хэлбэртэй бол энэ функцийг энгийн функц (simple function) гэж нэрлэнэ. \[\phi = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j \chi_{S_j}.\] Энд \(k \in \mathbb{N}\) бөгөөд \(\alpha_j \in \mathbb{R}\), \(S_j \in \Sigma\), \(j = 1,\,\ldots,\,k\) байна. Функц \(\phi\) нь сөрөг бус утгатай энгийн функц үед олонлог \(X\) дээр \(\mu\)-ийн хувьд \(\phi\)-ийн интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\int_X \phi \, d\mu = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j \, \mu(S_j) .\] Харин энд \(\mu(S_j) = \infty\) болохыг зөвшөөрч, өмнө дурдсан \(\overline{\mathbb{R}}^+\)-д алгебрын дүрмийг ашиглан баруун талыг тооцно. (\(\phi\) нь сөрөг бус учраас \(\infty-\infty\) хэлбэрийн хасах үйлдэл гарахгүй.) Интегралын утга нь \(\infty\) байж болно. Функц \(f : X \to \mathbb{R}\) нь бүх \(\alpha \in \mathbb{R}\)-ийн хувьд \(\{x \in X \,\vert\, f(x) > \alpha\} \in \Sigma\)-г хангавал \(f\)-г хэмжих боломжтой функц гэж нэрлэнэ.
Хэрэв \(f\) нь хэмжих боломжтой функц бол функц \(|f| : X \to \mathbb{R}\) ба функц \(f^{\pm} : X \to \mathbb{R}\) нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно. \[|f|(x) = |f(x)|, \quad f^{\pm}(x) = \max\{\pm f(x),\,\,0\}.\] Эдгээр гурван функц нь хэмжих боломжтой функц юм. \(f\) нь сөрөг бус бөгөөд хэмжих боломжтой бол \(f\)-ийн интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\int_X f \, d\mu = \sup \left\{ \int_X \phi \, d\mu \,\bigg\vert\, \phi \text{ is simple and } 0 \leq \phi \leq f \right\}.\] Функц \(f\) нь хэмжих боломжтой бөгөөд \(\int_X |f| \, d\mu < \infty\) үед "\(f\) нь интеграл авах боломжтой" гэж хэлж, энэ үед \(f\)-ийн интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\int_X f \, d\mu = \int_X f^+ \, d\mu - \int_X f^- \, d\mu\] Хэрэв \(f\) нь интеграл авах боломжтой бол энэ тодорхойлолтын баруун талын гишүүн бүр нь хязгаарлагдмал болохыг харуулж болох тул энэ тодорхойлолтод \(\infty-\infty\) гэх мэтийн хасах асуудал гарахгүй. Комплекс утгатай функц \(f\) нь интеграл авах боломжтой гэх нь бодит хэсэг \(\text{Re } f\) ба ойлгомж хэсэг \(\text{Im } f\) нь хоёулаа интеграл авах боломжтой гэсэн утгатай бөгөөд энэ үед \(f\)-ийн интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\int_X f \, d\mu = \int_X \text{Re } f \, d\mu + i \int_X \text{Im } f \, d\mu.\] Эцэст нь \(S \in \Sigma\) гэж үзье, \(f\)-г \(S\) дээр тодорхойлогдсон бодит эсвэл комплекс утгатай функц гэж үзье. \(f\)-г \(X\) дээр өргөжүүлсэн функц \(\tilde{f}\)-г бүтээж, \(x \not\in S\)-ийн хувьд \(\tilde{f}(x) = 0\) гэж тодорхойлье. Тэгвэл хэрэв \(\tilde{f}\) нь олонлог \(X\) дээр интеграл авах боломжтой бол \(f\) нь олонлог \(S\) дээр интеграл авах боломжтой гэж тодорхойлж, интегралын утгыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\int_S f \, d\mu = \int_X \tilde{f} \, d\mu.\] Олонлог \(X\) дээр \(\mathbb{F}\)-утгатай интеграл авах боломжтой функцүүдийн олонлогийг \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(X)\) эсвэл \(\mathcal{L}^1 ( X ,\, \mathbb{F} )\) гэж тэмдэглэнэ. \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(S)\) ба \(\mathcal{L}^1 ( S ,\, \mathbb{F} )\) бас адилхан тодорхойлогдоно. Өмнө орон зай \(C(M)\)-г авч үзэхэд дурдсан адилаар бодит тоо ба комплекс тооны хувилбарын орон зайг ялгах нь чухал тохиолдлыг эс тооцвол \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(X)\)-ээс \(\mathbb{F}\)-г орхиж энгийнээр \(\mathcal{L}^1(X)\) гэж тэмдэглэнэ. Мөн \(M\) нь компакт завсар \([a,\,b]\) үед \(\mathcal{L}^1 [a,\,b]\) гэж бичнэ.
Жишээ 6. (Тоолох хэмжээний орон зайд Лебегийн интеграл)
Хэмжээний орон зай \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{N},\,\Sigma_c,\,\mu_c)\)-г авч үзье. Функц \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{F}\) нь \(\mathbb{F}\)-ийн элементийг утга болгон авах дараалал \(\{a_n\}\) гэж үзэж болно. \(\mathbb{N}\)-ийн дурын дэд олонлог нь хэмжих боломжтой учраас тийм бүх дараалал \(\{a_n\}\) нь хэмжих боломжтой функц юм. Интеграл авах боломжийн тодорхойлолтоос дараалал \(\{a_n\}\) нь тоолох хэмжээний хувьд интеграл авах боломжтой гэх нь \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty\) гэсэн утгатай байдаг. Энэ тохиолдолд \(\{a_n\}\)-ийн интеграл нь энгийнээр нийлбэр \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) юм. Ерөнхий тэмдэглэгээ \(\mathcal{L}^1(\mathbb{N})\)-ийн оронд тийм дарааллуудын орон зайг \(\ell^1\) эсвэл \(\ell^1_{\mathbb{F}}\) гэж тэмдэглэнэ.
Тодорхойлолт 7. (Лебегийн интеграл)
Хэмжээний орон зай \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{R}^k,\,\Sigma_L,\,\mu_L)\) өгөгдсөн бөгөөд \(k \geq 1\) гэж үзье. \(f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^k)\) үед "функц \(f\) нь Лебегийн интеграл авах боломжтой" гэж хэлнэ.
\(\mathbb{R}^k\)-г \(\mathbb{R}^k\)-ийн дэд олонлог \(S\)-ээр солисон үед бас адилхан тодорхойлогдоно.
Лебегийн интеграл авах боломжтой функцүүдийн төрөл нь Риманы интеграл авах боломжтой функцүүдийн төрлөөс хамаагүй том байдаг. Гэхдээ хоёр интеграл бүгд тодорхойлогдох үед тэд тэнцүү байдаг.
Теорем 8. (Лебегийн интеграл ба Риманы интегралын харилцаа)
\(I = [a,\,b] \subset \mathbb{R}\) нь хязгаарлагдмал завсар бөгөөд функц \(f : I \to \mathbb{R}\) нь хязгаарлагдмал, Риманы интеграл авах боломжтой гэж үзье. Тэгвэл \(f\) нь \(I\)-д Лебегийн интеграл авах боломжтой бөгөөд \(I\)-д \(f\)-ийн Риманы интегралын утга ба Лебегийн интегралын утга тэнцүү байна. Ялангуяа \(I\)-д тасралтгүй функц бүр Лебегийн интеграл авах боломжтой байдаг.
Дээрх теоремын дагуу \(I = [a,\,b]\) дээрх \(f\)-ийн Лебегийн интегралыг Риманы интегралтай адилаар дараах байдлаар тэмдэглэнэ. \[\int_I f(x) \, dx \quad \text{or} \quad \int_a^b f(x) \, dx\] Мөн Риманы интеграл авах боломжтой функцийн Лебегийн интегралыг тооцохдоо Риманы интеграл тооцоход алдартай аргууд яг адилхан хэрэглэгддэг.
Лебегийн интегралын шинж чанар
Одоо Лебегийн интегралын үндсэн шинж чанарыг авч үзье.
Теорем 9. (Лебегийн интегралын үндсэн шинж чанар)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\) нь хэмжээний орон зай бөгөөд \(f \in \mathcal{L}^1(X)\) гэж үзье.
- Хэрэв \(f(x) = 0\) a.e. \(x\) бол \(f \in \mathcal{L}^1(X)\) бөгөөд \(\int_X f \, d\mu = 0\) байна.
- Хэрэв \(\alpha \in \mathbb{R}\) бөгөөд \(f, g \in \mathcal{L}^1(X)\) бол функц \(f + g\) ба \(\alpha f\) нь \(\mathcal{L}^1(X)\)-д харъяалагдаж дараах нь биелнэ. \[\begin{gathered}\int_X (f + g) \, d\mu = \int_X f \, d\mu + \int_X g \, d\mu, \\[6pt] \int_X \alpha f \, d\mu = \alpha \int_X f \, d\mu.\end{gathered}\] Ялангуяа \(\mathcal{L}^1(X)\) нь векторын орон зай юм.
- Хэрэв \(f,\,g \in \mathcal{L}^1(X)\) бөгөөд бүх \(x \in X\)-ийн хувьд \(f(x) \leq g(x)\) бол \(\int_X f \, d\mu \leq \int_X g \, d\mu\) байна. Мөн хэрэв \(\mu(S) > 0\) байх олонлог \(S\)-д харъяалагдах бүх \(x\)-ийн хувьд \(f(x) < g(x)\) бол \(\int_X f \, d\mu < \int_X g \, d\mu\) байна.
Дээрх теоремийн (a)-аас тэг хэмжээтэй олонлогт функц \(f\)-ийн утга нь \(f\)-ийн интегралын утгад нөлөөлөхгүй гэдгийг харж болно. Тиймээс функц \(f\)-ийн хязгаарлагдмал байдлыг тодорхойлохдоо \(f\)-ийн тодорхойлох мужийн бүх цэгийг авч үзэхээс илүүтэй \(f\)-ийн тодорхойлох мужийн бараг бүх цэгийг авч үзэх нь зохистой. Өөрөөр хэлбэл дараах тодорхойлолтыг нэвтрүүлнэ.
Тодорхойлолт 10. (Чухал дээд хязгаар)
\(f\) нь хэмжих боломжтой функц бөгөөд бодит тоо \(b\) байж \(f(x) \leq b\) a.e. \(x\)-г хангана гэж үзье. Энэ үед \(f\)-ийн чухал дээд хязгаар (essential supremum)-ыг дараах байдлаар тодорхойлно. \[\operatorname{esssup} f = \inf\{b \,\vert\, f(x) \leq b \text{ a.e. }x\}.\] Энэ тодорхойлолтын үр дүнд \(f(x) \leq \operatorname{esssup} f\) a.e. \(x\) болохыг харж болно. \(f\)-ийн чухал доод хязгаарыг бас ижил аргаар тодорхойлно.
Хэмжих боломжтой функц \(f\) нь чухал хязгаарлагдмал (essentially bounded) гэх нь \(|f(x)| \leq b\) a.e. \(x\)-г хангах тоо \(b\) байдаг байх явдал юм.
Одоо бид орон зай \(\mathcal{L}^1(X)\)-д зайг тодорхойлох гэж байна. Зайн илт нэр дэвшигч нь дараах функц юм. \[d_1(f,\,g) = \int_X |f - g| \, d\mu\] Интегралын шинж чанараас энэ функц нь нөхцөл \[d_1 (f,\,g)=0 \quad\Longrightarrow\quad f=g\] -ыг эс тооцвол зайн бүх шаардлагыг хангана. Харамсалтай нь \(f = g\) a.e. \(x\) боловч \(f \neq g\) байх функц \(f,\,g \in \mathcal{L}^1(X)\) байдаг. Өөрөөр хэлбэл дээр тодорхойлогдсон функц \(d_1\) нь \(L^1(X)\)-д зай биш байдаг. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бараг бүх \(x\)-ийн хувьд ижил хоёр функц \(f,\,g\)-г "ижилхэн" эсвэл "эквивалент" гэж үзэхээр болно. Илүү нарийвчлан хэлбэл \(\mathcal{L}^1(X)\)-д эквивалентын харилцаа \(\equiv\)-г дараах байдлаар тодорхойлно. \[f \equiv g \quad\Longleftrightarrow\quad f(x) = g(x) \text{ for a.e. } x \in X .\] Энэ эквивалентын харилцаагаар олонлог \(\mathcal{L}^1(X)\)-г эквивалентын ангиллаар хуваасан фактор орон зайг авч үзэж болно. Энэ фактор орон зайг \(L^1(X)\) гэж тэмдэглэе. Энэ фактор орон зайн эквивалентын ангилалд нэмэх болон скаляр үржих үйлдлийг зохих ёсоор тодорхойлснаар орон зай \(L^1(X)\) нь векторын орон зай болж, \(f \equiv g\) байхын шаардлагатай хангалттай нөхцөл нь \(d_1(f,\,g) = 0\) бөгөөд үр дүнд функц \(d_1\) нь олонлог \(\mathcal{L}^1(X)\)-ийн зай болно. Тиймээс эндээс орон зай \(\mathcal{L}^1(X)\)-ийн оронд орон зай \(L^1(X)\)-г хэрэглэнэ.
Хатуу хэлэхэд орон зай \(L^1(X)\)-г хэрэглэхэд \(\mathcal{L}^1(X)\)-ийн функц \(f\) болон бараг бүх \(x\)-ийн хувьд \(f\)-тэй тэнцүү бүх функцээс бүрдсэн \(L^1(X)\)-ийн харгалзах эквивалентын ангиллыг ялгах ёстой. Гэхдээ энэ нь төвөгтэй бөгөөд бодитоор бараг авч үздэггүй тул бид тогтвортой зохих эквивалентын ангиллын "функц" \(f \in L^1(X)\)-ийн тухай ярих бөгөөд энэ нь тэр эквивалентын ангиллын төлөөлөгч функцийг хэлнэ. Ялангуяа \(X = I\) нь \(\mathbb{R}\)-д эерэг урттай завсар үед эквивалентын ангилал нь дээд тал нь нэг тасралтгүй функц агуулж болно (тасралтгүй функц агуулахгүй байж бас болно), тийм тохиолдолд бид үргэлж энэ функцийг эквивалентын ангиллын төлөөлөгчөөр сонгоно. Ийм утгаар \(I\) нь компакт бол \(I\) дээрх тасралтгүй функц нь орон зай \(L^1(I)\)-д харъяалагдана.
Lp орон зай
Одоо өөр интеграл авах боломжтой функцийн орон зайг тодорхойлье.
Тодорхойлолт 11. (\(L^p\) орон зай)
\(0\le p < \infty\) байх \(p\)-ийн хувьд дараах орон зайг тодорхойлно. \[\begin{aligned} \mathcal{L}^p(X) &= \{f \,\vert\, f \text{ is measurable and } \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} < \infty\},\\[6pt] \mathcal{L}^{\infty}(X) &= \{f \,\vert\, f \text{ is measurable and } \operatorname{esssup} |f| < \infty\}. \end{aligned}\]
Мөн өмнөхтэй адилаар \(L^p(X)\) орон зайг тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл \(\mathcal{L}^p(X)\)-д бараг бүх цэг \(x\)-д ижил функцүүдийг ижилхэн гэж үзэж, харгалзах эквивалентын ангиллын фактор орон зайг \(L^p(X)\) гэж тодорхойлно.
\(X\) нь хязгаарлагдмал завсар \([a,\,b] \subset \mathbb{R}\) бөгөөд \(1 \leq p \leq \infty\) үед \(L^p (X)\)-г \(L^p[a,\,b]\) гэж тэмдэглэнэ.
Дээрх тодорхойлолтод \(p = 1\) тохиолдол нь өмнөх тодорхойлолттой тохирно.
Теорем 12. (\(L^p\)-тэй холбоотой тэнцэтгэл бус)
\(f\) ба \(g\) нь хэмжих боломжтой функц гэж үзье. Тэгвэл дараах тэнцэтгэл бус биелнэ. (Зүүн тал эсвэл баруун талын илэрхийлэл хязгаарлагдмал бус тохиолдлыг зөвшөөрнө.)
- Минковскийн тэнцэтгэл бус (\(1 \leq p < \infty\) тохиолдолд) \[\begin{gathered} \left(\int_X |f + g|^p \, d\mu\right)^{1/p} \leq \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} + \left(\int_X |g|^p \, d\mu\right)^{1/p},\\[6pt] \operatorname{esssup} |f + g| \leq \operatorname{esssup} |f| + \operatorname{esssup} |g|. \end{gathered} \]
- Хёлдерийн тэнцэтгэл бус (\(1 < p < \infty\) бөгөөд \(p^{-1} + q^{-1} = 1\) тохиолдолд) \[\begin{gathered} \int_X |fg| \, d\mu \leq \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} \left(\int_X |g|^q \, d\mu\right)^{1/q},\\[6pt] \int_X |fg| \, d\mu \leq \operatorname{esssup} |f| \int_X |g| \, d\mu. \end{gathered} \]
Минковскийн тэнцэтгэл бус ба интегралын шинж чанараас дараах үр дүнг авна.
Дагалдах теорем 13. (\(L^p\) зай)
\(1 \leq p \leq \infty\) гэж үзье.
- \(L^p(X)\) нь векторын орон зай юм.
- Функц \[d_p(f,\,g) = \begin{cases} \left(\int_X |f - g|^p \, d\mu\right)^{1/p}, & 1 \leq p < \infty, \\[6pt] \operatorname{esssup} |f - g|, & p = \infty, \end{cases}\] нь \(L^p(X)\)-д зай юм. Энэ зайг \(L^p(X)\)-ийн стандарт зай гэж нэрлэж, өөрөөр заагаагүй тохиолдолд \(L^p(X)\) нь энэ зайтай гэж тохиролцоно.
Жишээ 14. (Дарааллын орон зай \(\ell^p\))
\(1 \leq p \leq \infty\) гэж үзье. Тусгай тохиолдлоор хэмжээний орон зай \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{N},\,\Sigma_c,\,\mu_c)\)-д орон зай \(L^p(\mathbb{N})\) нь дараах шинж чанартай \(\mathbb{F}\)-д дараалал \(\{a_n\}\)-ийн олонлогоос бүрдэнэ.
- \(1\le p < \infty\) үед \[\left(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p\right)^{1/p} < \infty,\]
- \(p = \infty\) үед \[\sup\{|a_n| \,\vert\, n \in \mathbb{N}\} < \infty .\]
Энэ орон зайг \(\ell^p\) эсвэл \(\ell^p_{\mathbb{F}}\) гэж тэмдэглэнэ. Тоолох хэмжээ өгөгдсөн хэмжээний орон зайд хоосон олонлогоос бусад тэг хэмжээтэй олонлог байхгүй тул \(\ell^p\)-д эквивалентын ангилал авах асуудал байхгүй. Орон зай \(\ell^p\) нь векторын орон зай байхын зэрэгцээ зайн орон зай юм. \(\ell^p\)-д стандарт зай нь \(L^p\)-тэй адилаар тодорхойлогдоно.
Тоолох хэмжээ өгөгдсөн орон зайд \(\mathbb{F}\) эсвэл \(\mathbb{F}^k\)-ийн дараалал \(x\) ба \(y\)-г авч үзье. Тэгвэл \(L^p\)-тэй холбоотой тэнцэтгэл бус нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.
Дагалдах теорем 15. (\(\ell ^p\)-тэй холбоотой тэнцэтгэл бус)
- Минковскийн тэнцэтгэл бус (\(1 \leq p < \infty\) тохиолдолд) \[\left(\sum_{j=1}^{k} |x_j + y_j|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^p\right)^{1/p}.\]
- Хёлдерийн тэнцэтгэл бус (\(1 < p < \infty\) бөгөөд \(p^{-1} + q^{-1} = 1\) тохиолдолд) \[\sum_{j=1}^{k} |x_j y_j| \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^q\right)^{1/q}.\]
Энд \(k\) болон нийлбэрийн утга нь \(\infty\) байж болно.
Хёлдерийн тэнцэтгэл бусад \(p = q = 2\) тохиолдол ялангуяа байнга хэрэглэгддэг.
Дагалдах теорем 16. (Коши-Шварцын тэнцэтгэл бус)
\[\sum_{j=1}^{k} |x_j| |y_j| \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^2\right)^{1/2}.\]Орон зай \(\ell^p\)-ийн зарим тусгай элементүүдийг танилцуулье. Энэ олонлог нь шинжилгээний янз бүрийн нөхцөлд ашигтай хэрэглэгддэг.
Тодорхойлолт 17. (\(\ell^p\)-д стандарт суурийн дараалал)
\(\tilde{e}_n\)-г дараах байдлаар тодорхойлно. \[\begin{aligned} \tilde{e}_1 &= (1,\,0,\,0,\,0,\,\ldots), \\[6pt] \tilde{e}_2 &= (0,\,1,\,0,\,0,\,\ldots), \\[6pt] \tilde{e}_3 &= (0,\,0,\,1,\,0,\,\ldots), \\[6pt] &\vdots \end{aligned}\] \(1 \leq p \leq \infty\) үед дурын \(n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд \(\tilde{e}_n \in \ell^p\) байна.
Дээрх тодорхойлолтод танилцуулсан хязгаарлагдмал бус хэмжээст орон зай \(\ell^p\)-ийн вектор \(\tilde{e}_n\) нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай \(\mathbb{F}^k\)-ийн вектор \(\tilde{e}_n\)-тэй төстэй байдаг. Гэхдээ векторуудын цуглуулга \(\{\tilde{e}_1,\,\ldots,\,\tilde{e}_k\}\) нь \(\mathbb{F}^k\)-ийн суурь байхаас ялгаатай нь одоогоор олонлог \(\{\tilde{e}_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\)-ийн хувьд ижил төстэй мэдэгдлийг хэлж чадахгүй.
Эцэст нь дараах хоёр теоремийг танилцуулье.
Теорем 18. (\(L^p\) орон зайн бүрэн байдал)
\(1 \leq p \leq \infty\) гэж үзье. Тэгвэл зайн орон зай \(L^p(X)\) нь бүрэн байдаг. Ялангуяа дарааллын орон зай \(\ell^p\) нь бүрэн байдаг.
Теорем 19. (Тасралтгүй функцийн орон зай ба \(L^p\) орон зайн харилцаа)
\([a,\,b]\) нь хязгаарлагдмал завсар бөгөөд \(1 \leq p < \infty\) гэж үзье. Тэгвэл олонлог \(C[a,\,b]\) нь \(L^p[a,\,b]\)-д нягт байдаг.
Энэ нийтлэлийг эхлэхэд хэлсэн адилаар дээрх хоёр теорем нь орон зай \(L^p[a,\,b]\) нь зайн орон зай \((C[a,\,b],\,d_p)\)-ийн "бүрэнжүүлэл" (completion) болохыг харуулдаг. Ялангуяа теорем 19 нь орон зай \(L^p[a,\,b]\) нь орон зай \((C[a,\,b],\,d_p)\)-тэй маш төстэй болохыг харуулдаг. Өөрөөр хэлбэл \(f \in L^p[a,\,b]\) бол \(L^p[a,\,b]\) зайн орон зайд \(f\)-д нэгдэх \(C[a,\,b]\)-ийн функцийн дараалал \(\{f_n\}\) байдаг гэсэн үг юм. Энэ нь харьцангуй сул хэлбэрийн нэгдэх боловч маш ашигтай нэгдэх юм. Ялангуяа энэ нэгдэх нь цэг бүрт нэгдэхээс өөр бөгөөд бараг бүх \(x \in [a,\,b]\)-ийн хувьд цэг бүрт нэгдэхээс ч өөр байдаг.