ROSÉ

Энэ нийтлэлд норм орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судлая. Аль хэдийн өмнөх нийтлэлд комплекс векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судалсан ба энэ нийтлэлд судлах теорем нь өмнөх нийтлэлийн теоремын тусгай тохиолдол боловч норм орон зай дэх Хан-Банахын теорем нь олон янзын хэрэглээний үйл явцад ихэвчлэн ашиглагддаг тул тусад нь …

\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлогдсон векторын орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай байг. \(W\) дээр тодорхойлогдсон шугаман функционал \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)-г авч үзэхэд ихэвчлэн энэ функцын тодорхойлогдох мужийг \(X\) бүхэлд нь өргөтгөх шаардлага гардаг. Тодорхойлолт 1. (Шугаман функционалын өргөтгөл) \(X\) нь векторын орон зай, \(W\) …

\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгыг \(B(X,\,Y)\) гэж тэмдэглэнэ. Ялангуяа \(Y=\mathbb{F}\) байх тохиолдолд \(B(X,\,\mathbb{F})\)-г \(X\)-ийн хосмол орон зай гэж нэрлэж \(X ‘ \) гэж тэмдэглэнэ. Ерөнхийдөө хосмол орон зайн элементийг тус тусад нь судлах нь харьцангуй амархан боловч хосмол орон …

\(A\) нь \(k\) зэрэгтэй дөрвөлжин матриц ба \(x\in\mathbb{F}^k\) үед шугаман тэгшитгэлийн системийг \[Ax = y\] шийдэх аргын нэг нь урвуу матриц \(A^{-1}\)-г олж, шийдийг \(x = A^{-1}y\) болгон олох юм. Энэ нь \(A\)-ийн урвуу матриц оршин байх үед боломжтой. Энэ нийтлэлд ийм нөхцөлийг хязгааргүй хэмжээст орон зай руу өргөтгөн судлая. …

Өмнөх нийтлэлд операторын нормтой холбоотой жишээг судалсан тул норм орон зай \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгаас бүрдсэн орон зай \(B(X,\,Y)\)-ийн бүтцийг илүү дэлгэрэнгүй судлая. Норм орон зай бүрэн байхад илүү ашигтай шинж чанартай болдог тул \(B(X,\,Y)\) хэзээ Банахын орон зай болохыг судлах нь зүйтэй юм. Теорем 1. …

\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(B(X,\,Y)\) нь векторын орон зай байна. Энэ нийтлэлд \(B(X,\,Y)\) нь норм орон зай болохыг харуулах болно. Үүний тулд гурван өөр нормыг нэгэн зэрэг авч үзэх болох бөгөөд зарчмын хувьд эдгээр гурван нормыг ялгах ёстой. Бодитоор элемент аль орон зайд харьяалагддаг нь амархан …

Норм орон зайн өөрийн шинж чанар шиг чухал зүйл бол норм орон зайнуудын хооронд тодорхойлогдсон функцын шинж чанар юм. Хоёр векторын орон зайн хооронд тодорхойлогддог хамгийн энгийн функц бол векторын орон зайн бүтцийг хадгалдаг функц буюу шугаман хувиргалт юм. Хоёр векторын орон зай \(X\) ба \(Y\) байгаа бөгөөд \(X\)-ээс \(Y\) …

Дотоод үржвэрийн орон зайн нормчилсан перпендикуляр дараалал болон сууринд холбогдох онолын үндсэн дээр Хилбертийн орон зай дахь Фурьегийн цувааны онолын үндэслэлийг хөгжүүлж болно. Энэ бичвэрт комплекс экспонент функцийн нормчилсан перпендикуляр дараалал нь дотоод үржвэрийн орон зай \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)-ийн суурь үүсгэдэг болохыг батлаж \(L^2\) орон зай дахь янз бүрийн нормчилсан перпендикуляр сууриудыг …

Өмнөх бичвэрт хязгаартай хэмжээтэй дотоод үржвэрийн орон зай дахь перпендикуляр байдлын ойлголт болон перпендикулярын комплемент орон зайг үзсэн. Энэ бичвэрт хязгаартай хэмжээтэй орон зайд үзсэн нормчилсан перпендикуляр сууриийн ойлголтыг хязгааргүй хэмжээтэй орон зайд өргөжүүлсэн ойлголтыг танилцуулна. Тодорхойлолт 1. (Нормчилсан перпендикуляр дараалал) \(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(\{e_n\} \subset X\) …

Дотоод үржвэрийн орон зайд хоёр векторын перпендикуляр байдлыг тодорхойлж болно. Энэ ойлголтыг өргөжүүлэн өгөгдсөн векторт перпендикуляр байх векторын олонлогийг бодож болох эсвэл векторын олонлог өгөгдсөн үед тэр олонлогийн бүх векторт перпендикуляр байх векторын олонлогийг бодож болно. Тодорхойлолт 1. (Олонлогийн перпендикулярын комплемент орон зай) \(X\)-ийг дотоод үржвэрийн орон зай бөгөөд \(A\)-г …

Векторын орон зайд дотоод үржвэр тодорхойлогдсон үед дотоод үржвэрийг ашиглан норм тодорхойлж ‘векторын урт’ ойлголтыг ашиглаж болно. Гэхдээ дотоод үржвэрийн орон зай нь ‘векторын урт’-ын гадна векторын перпендикуляр байдал гэсэн ойлголтыг нэмэлтээр ашиглаж болох ба энэ ойлголтоос баялаг шинж чанаруудыг гаргаж авч болно. \(X\) нь бодит дотоод үржвэрийн орон зай …

Векторын орон зайд норм (norm) тодорхойлбол векторын уртыг авч үзэх боломжтой болно. Гэхдээ Евклидийн орон зай \(\mathbb{R}^2\) эсвэл \(\mathbb{R}^3\)-д харж болохоор векторын геометрийн шинж чанар зөвхөн урт байдаггүй. Хэрэв \(x = (x_1,\,x_2,\,x_3)\) болон \(y = (y_1,\,y_2,\,y_3)\) нь \(\mathbb{R}^3\)-ийн вектор бол тэдгээрийн хоорондын өнцөг \(\theta\)-ийг дотоод үржвэр \[\langle x,\,y \rangle = …