Хэрмит оператор нь олон төрлийн операторын шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог үзэл баримтлал юм. Ялангуяа хэрмит операторыг ашиглан хэвийн оператор, өөрийн хэрмит оператор, унитар операторыг тодорхойлж болно. Эдгээр операторууд нь шугаман алгебр болон функц анализд байнга гарч ирдэг. Эхлээд хэвийн операторыг харъя. Тодорхойлолт 1. (Хэвийн оператор ба хэвийн матриц) \(\mathcal{H}\) …
-
-
Гильберт орон зайд тодорхойлсон операторын орон зайд тодорхой бүтэц өгснөөр операторын урвуу байдлын тодорхойлолттой холбоотой хэрэгтэй үр дүнг олж болно. Энэ нь яг “хэрмит оператор” юм. Энэ нийтлэлд хэрмит операторын үзэл баримтлалыг авч үзээд хэрмит операторыг олох хэдэн жишээг харна. Дараа нь хэрмит операторын шинж чанарыг авч үзээд ийм шинж …
-
\(\mathbb{R}\) эсвэл \(\mathbb{C}\) дээр тодорхойлсон хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зайн дэд олонлог компакт байхын зайлшгүй хангалттай нөхцөл нь хязгаарлагдмал бөгөөд хаалттай олонлог байх явдал юм. Гэвч хязгааргүй хэмжээст орон зайд ийм зайлшгүй хангалттай нөхцөл биелдэггүй. Энэ нийтлэлд хүртэл ашигласан конвергенцээс сул конвергенцийн тодорхойлолтыг оруулж, ийм тодорхойлолтыг үндэслэн олонлог компакт байхын …
-
Гильберт орон зай \(\mathcal{H}\)-ийн хаалттай дэд вектор орон зай \(Y\) өгөгдсөн үед \(Y\)-ийн ортогонал комплемент орон зай \(Y^{\perp}\)-г тодорхойлж болно. Мөн \(x \in \mathcal{H}\) бүрийн хувьд \(x = y + z\) болох \(y \in Y\) ба \(z \in Y^{\perp}\) тус тус өвөрмөцөөр оршин байна. Ийм задралын хэлбэр нь комплемент орон …
-
\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлсон вектор орон зай байх үед, \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн шугаман хувиргалтуудын цуглуулга нь вектор орон зай болно. Ялангуяа \(X\) нь норм орон зай байх үед \(X\)-с \(\mathbb{F}\) руу чиглэсэн тасралтгүй шугаман функционалуудын цуглуулгыг \(X\)-ийн хослол орон зай гэж нэрлэж \(X’\)-ээр тэмдэглэнэ. \(X’\) нь оператор нормоор …
-
Өмнөх нийтлэлд нотолгоогүйгээр Хан-Банахын теоремийг танилцуулсан. Мөн тусгай тохиолдол болгон норм векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийн нотолгоог танилцуулсан. Энэ нийтлэлд ерөнхий тохиолдлын Хан-Банахын теоремын нотолгоог танилцуулна. Тодорхойлолт 1. (Хэсэгчилсэн эрэмбэ ба бүрэн эрэмбэ) \(\mathcal{M}\) нь хоосон биш олонлог ба \(\prec\) нь \(M\) дэх эрэмбийн харилцаа гэж үзье. Хэрэв \(\prec\) …
-
Энэ нийтлэлд норм орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судлая. Аль хэдийн өмнөх нийтлэлд комплекс векторын орон зай дэх Хан-Банахын теоремийг судалсан ба энэ нийтлэлд судлах теорем нь өмнөх нийтлэлийн теоремын тусгай тохиолдол боловч норм орон зай дэх Хан-Банахын теорем нь олон янзын хэрэглээний үйл явцад ихэвчлэн ашиглагддаг тул тусад нь …
-
\(X\) нь \(\mathbb{F}\) дээр тодорхойлогдсон векторын орон зай ба \(W\) нь \(X\)-ийн дэд орон зай байг. \(W\) дээр тодорхойлогдсон шугаман функционал \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)-г авч үзэхэд ихэвчлэн энэ функцын тодорхойлогдох мужийг \(X\) бүхэлд нь өргөтгөх шаардлага гардаг. Тодорхойлолт 1. (Шугаман функционалын өргөтгөл) \(X\) нь векторын орон зай, \(W\) …
-
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгыг \(B(X,\,Y)\) гэж тэмдэглэнэ. Ялангуяа \(Y=\mathbb{F}\) байх тохиолдолд \(B(X,\,\mathbb{F})\)-г \(X\)-ийн хосмол орон зай гэж нэрлэж \(X ‘ \) гэж тэмдэглэнэ. Ерөнхийдөө хосмол орон зайн элементийг тус тусад нь судлах нь харьцангуй амархан боловч хосмол орон …
-
\(A\) нь \(k\) зэрэгтэй дөрвөлжин матриц ба \(x\in\mathbb{F}^k\) үед шугаман тэгшитгэлийн системийг \[Ax = y\] шийдэх аргын нэг нь урвуу матриц \(A^{-1}\)-г олж, шийдийг \(x = A^{-1}y\) болгон олох юм. Энэ нь \(A\)-ийн урвуу матриц оршин байх үед боломжтой. Энэ нийтлэлд ийм нөхцөлийг хязгааргүй хэмжээст орон зай руу өргөтгөн судлая. …
-
Өмнөх нийтлэлд операторын нормтой холбоотой жишээг судалсан тул норм орон зай \(X\) ба \(Y\)-ийн хоорондох тасралтгүй шугаман операторын цуглуулгаас бүрдсэн орон зай \(B(X,\,Y)\)-ийн бүтцийг илүү дэлгэрэнгүй судлая. Норм орон зай бүрэн байхад илүү ашигтай шинж чанартай болдог тул \(B(X,\,Y)\) хэзээ Банахын орон зай болохыг судлах нь зүйтэй юм. Теорем 1. …
-
\(X\) ба \(Y\) нь норм орон зай үед \(B(X,\,Y)\) нь векторын орон зай байна. Энэ нийтлэлд \(B(X,\,Y)\) нь норм орон зай болохыг харуулах болно. Үүний тулд гурван өөр нормыг нэгэн зэрэг авч үзэх болох бөгөөд зарчмын хувьд эдгээр гурван нормыг ялгах ёстой. Бодитоор элемент аль орон зайд харьяалагддаг нь амархан …